Автореферат (1145282), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Длясравнения с расчетами, представленными в работе А. Ф. Воеводина, были выбраны параметры этой модельной задачи, приведенные в работе А. Ф. Воеводина.Совпадение расчета задачи заполнения газопровода по программному комплексу «SGPITM» с расчетом, представленным в работе А.
Ф. Воеводина, служитподтверждением достоверности и приемлемой точности численного алгоритма,лежащего в основе программного комплекса «SGPITM».Приведено решение задачи об изменении режима отбора газа в морском газопроводе, представлен расчет динамики изменения давления, плотности потока22газа и динамики нарастания морского льда на внешней поверхности газопровода.
Для этой задачи на рис. 4 продемонстрирована динамика нарастания льда навнешней поверхности газопровода в течение первых пяти суток. По оси абсциссотложена координата z, по оси ординат — толщины слоя льда y в разные моментывремени: t = t0 (начальное распределение y0 (z)), t = 10 часов, t = 20 часов, t = 1,2, 3 и 5 суток.Рис. 4 – Динамика нарастания льда на внешней поверхности газопровода втечение пяти суток.В параграфе 3.4 исследовано влияние рельефа трассы на характеристики потока на начальном участке газопровода (где роль силы тяжести наиболее существенна).
Влияние рельефа трассы исследовано для следующих режимов течений:установившееся течение; неустановившееся течение при изменении отбора газа наконце газопровода для квазистационарной модели теплообмена; неустановившееся течение при изменении отбора газа на конце газопровода для нестационарноймодели теплообмена газа с окружающей средой. Проведенные расчеты показали,что для всех рассмотренных режимов трасса прокладки морского газопровода,имеющая в начале резкий подъем (допустимый по технологическим ограничениям) и затем длинный пологий спуск гидравлически предпочтительнее, чем аналогичная по длине трасса, имеющая в начале длинный пологий подъем и затемрезкий спуск.Четвертая глава посвящена математическому моделированию нестационарных неизотермических процессов в движущейся среде.
Подобные процессы в расширяющемся сферическом слое жидкости лежат в основе одного из методов создания космических зеркал.В параграфах 4.1, 4.2 дан краткий обзор известных методов создания космических зеркал, сформулирована физическая модель процесса расширения жидкогослоя в невесомости, перечислены условия (близкие к реальным), лежащие в основе упрощений математической модели процесса.
Показано, что эта модель сучетом упрощений имеет следующий вид (модель 6):1 ∂ 2(r u) = 0;r ∂r23(29) p∂u∂∂u;+u=−∂t∂r∂r ρb0 ];ut=0 = 0, r ∈ [R0 , Rḃ t ∈ [0, tk ];ur=R = Ṙ, ur=R̂ = R,∂u 2æ− −p + 2µ, t ∈ [0, tk ];= Pg −∂r r=RR∂u 2æ−p + 2µ, t ∈ [0, tk ];= −Pn −b∂r r=R̂R(30)(31)(32)(33)(34)b3 − R3 = const = K, t ∈ [0, tk ];R! 2 u 2∂T2µ∂T∂Tλ 1 ∂∂ur2+;+u=+2∂t∂rρcv r2 ∂r∂rρcv∂rr(35)b0 ];t = 0 : T (r) = T0 ,r ∈ [R0 , R ∂T t ∈ (0, tk ] : λ= α T− Tg ;∂r r=Rr=R ∂T 44− Tn .= β T− Tn + ǫ ∗ σ T −λ∂r r=R̂r=R̂r=R̂(37)(36)(38)(39)Здесь u = u(r, t) – радиальная составляющая вектора скорости жидкости в слое,который в любой момент времени t ограничен сферическими поверхностями сb = R(t)bвнутренним и внешним радиусами R = R(t), Rсоответственно; R0 — начальное значение радиуса внутреннего слоя; p = p(r, t) — давление в жидкости;ρ, µ, æ — плотность, коэффициент динамической вязкости и коэффициент поверхностного натяжения жидкости, считающиеся неизменными; Pg = Pg (t), Pn —давления в газе внутри полости, ограниченной слоем жидкости, и вне слоя соответственно; K — константа, пропорциональная объему V жидкого слоя, кторыйостается неизменным; tk — время окончания процесса расширения; α, β — коэффициенты теплообмена на внутренней и внешней поверхностях жидкого слоясоответственно; Tg , Tn — заданные температуры газа внутри полости, ограниченной слоем жидкости, и вне слоя соответственно; T = T (r, t) — температура вжидком слое; σ — постоянная Стефана–Больцмана; ǫ∗ — коэффициент «серости»материала слоя.
Динамические граничные условия (33), (34) основаны на формуле Лапласа, определяющей величину скачка вектора напряжения при переходе через искривленную поверхность. В граничном условии для температуры навнешней поверхности слоя (39) учтен механизм теплообмена с разреженным газомискусственной оболочки и потери тепла за счет излучения по закону Стефана–Больцмана. Плотность и вязкость жидкости считаются постоянными, это позволяет расщепить решение общей системы модели 6 на решение гидродинамическойчасти (29)–(35) и тепловой части (36)–(39).24В параграфе 4.3 представлен вывод дифференциального уравнения, моделирующего в соответствии с уравнениями (29)–(35) изменение внутреннего радиусаR(t) слоя:ṘṘ2 2 2h h − 4h + 6 + 2 Am h h2 − 3h + 3 =hR̈ +2RRAs (2 − h) Ap Φ+,(40)=−R2R1H(41)h = h (R) = 1 −= ,(1 + RK3 )1/3R̂Φ = Φ(Pg (t), Pn ).(42)H = H(t) = R̂(t) − R(t).Точкой обозначено дифференцирование по времени; H(t) — толщина слоя;в работе приведены явные выражения безразмерных комплексов K, Am , As , Apчерез параметры задачи и характерные величины rx , px , tx ; Φ(t) — управляющаяфункция, связанная с режимом подачи газа.
Частный случай уравнения (40) былрассмотрен в работах В. О. Бытева, а именно, при условиях: Pn = Pg = 0, æ = 0,Ṙ(t = 0) 6= 0 в работе получено точное аналитическое решение уравнения (40).Но, как показано в работе В. О. Бытева, при условиях Pn 6= 0, Pg 6= 0 точногорешения этой задачи не существует. Для неньютоновских жидкостей похожиезадачи рассматривались в работах В. Р. Душина.Как показано в диссертации, уравнение (40) является жестким неавтономным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Безразмерные комплексы Am , As , Ap характеризуют относительный вклад сил вязкости,поверхностного натяжения и давления соответственно. Для уравнения (40) ставится задача Коши с начальными данными:R(0) = R0 ,Ṙ(0) = 0,(43)R0 — безразмерный начальный внутренний радиус слоя. Сформулированы прямая и обратная задачи динамики расширения жидкого слоя. Прямая задача —расчет по уравнению (40) закона поведения внутреннего радиуса R(t) при заданной управляющей функции Φ(t) (42) при выбранных параметрах задачи µ, ρ, æ,K, R0 , Pn , tk на интервале времени [0, tk ], tk — безразмерное время окончания процесса.
Обратная задача — расчет по заданному поведению внутреннего радиусаслоя R(t) управляющей функции Φ(t) из уравнения (40) при выбранном наборе параметров. Решение обратной задачи рассматривалось в диссертации В. Н.Старкова.Решение обратной задачи позволяет найти управляющую функцию Φ(t), теоретически обеспечивающую заданное поведение радиуса слоя R(t). Однако оценить влияние возможных отклонений реальных режимов подачи газа от желаемого на поведение оболочки можно только из решения прямой задачи.25Найденный из решения прямой задачи закон поведения внутреннего радиусаR(t) позволяет полностью решить гидродинамическую часть задачи — рассчитатьполя скорости u(r, t) и давления p(r, t) в жидком слое. В параграфе 4.3 доказано,что они выражаются через внутренний радиус R(t) слоя по формулам:u(r, t) = R2 Ṙ/r2 ,p(r, t) = Φ(t) + Pn −AsAm Ṙ−−Ap R Ap R−2Ṙ2 + RR̈Apr ∈ [R, R + H],!R1−rṘ2+2Ap1−Rr4 !,t ∈ [0, tk ].Функция R(t) находится из решения прямой задачи.
Для постановки прямой задачи требуется выбрать управляющую функцию Φ(t). Управление, приводящее кразрыву жидкого слоя, считается недопустимым. В диссертации получено неравенство, выполнение которого обеспечивает положительность давления на внутренней поверхности расширяющегося слоя и является необходимым условием допустимости выбранного управления:!RAsṘ2 2 2Am ṘR2p(R, t) = Pn ++> 0,hR̈ +h (h − 4h + 6) −b3bAp2RAp RAp RR = R(t, Φ(t)), h = h(t),∀t ∈ [0, tk ],r ∈ [R(t), K + R(t)31/3].Найденное выражение для давления позволяет оценить роль сил вязкости, поверхностного натяжения и внешнего давления в динамике расширения жидкогослоя. Проведенный анализ привел к ряду практических рекомендации по выборуматериала и условий проведения процесса: 1) из всех материалов с необходимыми реологическими свойствами предпочтительнее те, у которых минимальновозможная вязкость и максимально возможный коэффициент поверхностного натяжения; 2) следует обеспечить максимально допустимое противодавление Pn вгазовой фазе искусственной оболочки за бортом космического летательного аппарата.Свойства дифференциального уравнения (40) зависят от значений безразмерных комплексов Am , As , Ap , K и от выбранной управляющей функции Φ(t).В работе показано, что для большинства параметров задачи, представляющихпрактический интерес, это нелинейное неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение является жестким.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
