Диссертация (1144222), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Бейтмен,А. Эрдейи.– Изд. 2-е.– М.: Наука, 1973.– 296 с.144. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками иматематическими таблицами / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган.–М.: Наука, 1979.– 832 с.145. NIST Handbook of Mathematical Functions / F. W. J. Olver [et al.].– NISTand Cambridge University Press, 2010.– 952 p.146. Олвер, Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер.– Москва:Наука, 1990.– 528 с.147. Саулит, В.

Р. Пространственное распределение поля в магнитныхспектрометрах и форма полюсных наконечников / В. Р. Саулит //Вестник ЛГУ. Серия физики и химии.– 1962.– № 22.– с. 29-44.148. Саулит, В. Р. Пространственное распределение поля в магнитныхспектрометрах и форма полюсных наконечников (случай осевойсимметрии) / В. Р. Саулит // Вестник Ленинградского университета.Серия физики и химии.– 1966.– №16, вып. 3.– с. 30-52.149.

Голиков, Ю. К. Псевдооднородные электростатические поля сзаданнымиэлектронно-оптическимихарактеристиками/Ю. К. Голиков // Труды ЛПИ.– 1983.– №397.– с. 82-85.150. Голиков, Ю. К. Пространственная фокусировка в трансаксиальныхсистемах с ИФПС / Ю. К. Голиков, В. В. Чепарухин, М.

И. Чуваев //Труды ЛПИ.– 1989.– №429.– с. 70-72.98151. A parallel radial mirror energy analyzer attachment for the scanningelectron microscope / K. H. Cheong [et al.] // Abstracts of CPO-9.– Brno(Czech Rep.).– p. 11.152. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников иинженеров / Г. Корн, Т. Корн.– М.: Наука, 1973.– 832 с.99Приложение 1. Однородные функцииРассмотрим электрические потенциалы U x, y, z  , которые однородныпо Эйлеру. То есть если мы масштабируем координаты x, y, z на некоторыйкоэффициент, то потенциал U x, y, z  также масштабируется на этот жекоэффициент:U kx, ky, kz   k nU  x, y , z  .(П1.1)Это означает, в частности, что градиент удовлетворяет аналогичномуравенству, но с другим порядком однородности: *U kx, ky, kz   k n 1  U  x, y , z  .(П1.2)где обозначение  * означает, что мы дифференцируем функцию поотношению к масштабированным координатам kx, ky, kz .Траектории описываются стандартными уравнениями движениягдеr   q U r  .mrобозначает(П1.3)координатныймасштабированную функциюмасштабированноевремявектор t   k  r t  ,x, y, z  .которая также используетс другим множителем  tРассмотрим.Найдемдифференциальное уравнение для  t  :  k2  rqk2 q2 q  k  U r   k  U  k    n1  U   ; .mmmkt  t2t  t2   k  q U   .k n1 m(П1.4)Уравнение (П1.4) тождественно уравнению (П1.3), когда   k n 2  2 .Это означает, что  t  снова является траекторией в том же электрическомполе, но с другими начальными условиями.

То есть его начальныекоординаты масштабируются, его начальные углы остаются теми же, егоначальная кинетическая энергия равна1002m E' k 22 2mr2 k 2 2  E  k n  E2(П1.5)t 0t 0по сравнению с предыдущей начальной энергией. Обратное утверждениетакже верно: Если мы начинаем траекторию с одинаковыми начальнымиуглами,смасштабированнымикоординатамиkx, ky, kzиначальнаякинетическая энергия определяется как (П1.5), то результатом являетсягеометрически масштабированная траектория.Приложение 2. Теорема об однородности скалярных потенциалов дляполей, однородных по ЭйлеруВозьмёмэлектростатическоеполеE  x, y, z  .В соответствии суравнениями Максвелла, записанными в дифференциальной форме [125,126],дляэлектростатическогополявезде,заисключениемточекrot E  x, y, z   0 .

Обращениенедифференцируемости, выполнено условиеротора векторного поля f x, y, z  в ноль в соответствии с формулой Стокса fdl   rot f dS [127] гарантирует обращение в ноль интеграла по любомуSSзамкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области, в каждойточкекоторойвекторноеполеимеетнепрерывныепроизводныенадлежащего порядка. Отсюда следует, что криволинейный интеграл отвекторного поля от точки до точки не зависит от пути интегрирования, атолько от расположения точек. Тем самым скалярная функция координат —криволинейный интеграл векторного поля от фиксированной точки допроизвольнойточкипространства —будетопределенакорректнымобразом, а градиентом (точнее, антиградиентом) такой функции, которая ипредставляетсобойискомыйскалярныйпотенциал,ибудетрассматриваемое векторное поле. (Односвязность области, на которую не101всегда обращают должное внимание, является важным моментом, равно каки существование в любой точке области непрерывных частных производныхнужного порядка, но рассмотрение подобных математических деталейвыходит за пределы основной темы.)Если электрический потенциал U x, y, z  [128] является однородной поЭйлеру функцией, то очевидно, что соответствующее электрическое полебудет однородным по Эйлеру (это следует из правила дифференцированияоднородных по Эйлеру функций [129, 130]).

Обратное, вообще говоря, необязательноверноинуждаетсявобосновании.Вэтомразделематематически строго доказывается, что для электрических и магнитныхполей, однородных по Эйлеру с ненулевым порядком однородности,скалярный потенциал обязан быть функцией, однородной по Эйлеру спорядком однородности, равным порядку однородности электрического илимагнитного поля, если правильно выбрать аддитивную константу дляпотенциала. В случае же k  0 , который рассматривается отдельно, кромефункции, однородной по Эйлеру с нулевым показателем однородности,потенциал может содержать аддитивную логарифмическую добавку, неявляющуюся однородной функцией.Рассмотрим случай k  0 . Из условий U x, y, z     E x, y, z dsE x, y , z   k 1 E  x, y, z  при интегрировании вдоль лучаиx, y, z  следует,что k  1 U x, y, z   U  x, y, z     E x,y,z   r  x, y, z d  E  x, y , z   r  x, y, z  ,1k(П2.1)где r x, y, z   x, y, z  — это вектор, направленный из начала координат вначальную точку интегрирования x, y, z  (длина отрезка между x,y ,z  и  d x,   d y,   d z  , как легко проверить, равнаr d ).

Рассмотрим теперь интеграл E x, y, z dsd x 2  y 2  z 2 , т.е.между двумя точками102ra   xa , y a , z a  и rb   xb , y b , z b  , лежащими на поверхности зафиксированнойсферы x 2  y 2  z 2  const . Его можно вычислить вдоль пути S , целикомлежащем на поверхности сферы, а можно сначала пройти по лучу ra , помасштабированному в  раз пути S   S и вернуться назад по лучу rb —результат должен быть одинаковым. В итоге для приращения потенциала  U  U rb   U ra     E s ds между двумя точками рассматриваемой сферыSвыполнено равенство    1    U    E ra   ra d   E s ds    E rb   rb dS1 1      E ra   ra  E rb   rbkk  1      E ra   ra  E rb   rbk  (здесьE ra    k 1 E ra  ,k    E s dsk   Uk   E s   E s   k 1 E s   E rb    k 1 E rb  ,ds   d s   ds ).

Тем самым, при(П2.2)S ra , rbk0ивыполняется равенство1      E rb   rb  E ra   ra  U rb   U ra  и, следовательно, для всех точек сферыk1   U r    E r   r  U 0 , где константа U 0 пока что зависит от выбранной сферыk2r  const . С учётом (1) получаем соотношенияk  1   k  1    1   k   U r   E r   r  U r   E r   r  E r   r  U 0   E r   r  U 0 ,kkkkk   U r   E r   r  U 0 ,kU r   U 0  k U r   U 0  ,гдеrпринадлежитk    U r   E r   r  U 0 ,kвыбраннойсфере,а,  —произвольныеположительные числа.

Но когда радиус-вектор r пробегает поверхностьвыбранной сферы, то радиус-вектор rпробегает всё пространство.Поэтомупревращаетсязаключительноесоотношениевтождество103U  r   U 0  k U r   U 0  , справедливое теперь уже для любой точкиrрассматриваемой области пространства, а константа U 0 оказывается независящей от выбранной эталонной сферы. Аддитивную константу U 0можноприсоединитькпотенциалуU r  ,поэтомудляправильнонормированного потенциала будет выполнено соотношение U r   kU r  ,представляющее из себя условие однородности по Эйлеру с порядкомоднородностиk.Следовательно, среди всех возможных скалярныхпотенциалов однородного электрического поля обязательно найдётсяскалярный потенциал, однородный по Эйлеру.Проделанные нами выкладки перестают работать при k  0 , то есть дляэлектрических и магнитных полей, однородные по Эйлеру с нулевымпорядком однородности. В случае k  0 соотношение (П2.1) приобретает вид    U r   U r     E r   r d   ln    E r   r ,(П2.3)1а формула (П2.2), выражающая независимость приращения потенциала отпути интегрирования, превращаетсяв тождество     E ra   ra  E rb   rb  0 .  Поэтому E r   r  U 0 , где константа U 0 пока что зависит от выбранной2сферы r  const , но не от положения точки r на поверхности этой сферы.После этого с помощью формулы (П2.3) получаем цепочку соотношенийU  r   U r   ln    U 0 ,U r   U r   ln    U 0 , и вконечном итоге равенство U r   U r   ln   U 0 , где r принадлежитвыбраннойсфере,U r   U r   ln    U 0 ,а ,  — произвольные положительные числа.Следовательно, U r   U r   ln    U 0 , где r — теперь уже произвольнаяточка пространства (когда r пробегает поверхность сферы, то r пробегаетвсё пространство), а константа U 0 оказывается не зависящей от эталоннойсферы.

Характеристики

Список файлов диссертации