Диссертация (1144222), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Если теперь сделать замену U  x, y, z   Uˆ x, y, z   U 0 ln x  x 2  y 2  z 2 R ,(П2.4)104где R — нормировочная константа, задающая масштаб длины, то изтождества U r   U r   ln    U 0 следует условие Uˆ r   Uˆ r   0 , что являетсятождеством однородности нулевого порядка для функции Uˆ x, y, z  . Темсамым наш скалярный потенциал будет обязан иметь вид (П2.4), где Uˆ x, y, z являетсяфункцией,однороднойпоЭйлеруснулевымпорядкомоднородности. Очевидно и обратное утверждение: при любом выбореконстанты U 0 потенциалы вида (П2.4), где Uˆ x, y, z  однородная по Эйлеруфункция с нулевым порядком однородности, порождают однородные поЭйлеру электрические поля нулевого порядка.

Следует также отметить, чтовыражение (П2.4) может быть интерпретировано как логарифм функции,однородной по Эйлеру с порядком однородности, равным expU 0  .Логарифмическаяпоправкавформуле(П2.4)удовлетворяетуравнению Лапласа. Поэтому для того, чтобы уравнению ЛапласаудовлетворялафункцияU  x, y, z  ,необходимоидостаточно,чтобыуравнению Лапласа удовлетворяла функция Uˆ x, y, z  . Вопрос о наиболееобщем представлении функций Uˆ x, y, z  , гармонических и однородных поЭйлеру с нулевым порядком однородности, решается с помощью формулыДонкина [118, 119, 131-136]:yzUˆ  x, y, z   F ,2222 x  x  y  z x  x  y2  z2,(П2.5)где F  p, q  — произвольная функция, удовлетворяющая двумерномууравнению Лапласа  2 F p 2   2 F q 2  0 .Фиксированная логарифмическая добавка в формуле (П2.4) можетбыть записана и в другом виде.

Например, потенциал бесконечной иравномерно заряженной нити U 0 ln y 2  z 2 R при подстановке в условиеU  r   U r   ln    U 0 работает ничуть не хуже. На роль логарифмическойдобавки годится любая функция вида (П2.4), где в качестве Uˆ x, y, z 105используется фиксированная гармоническая функция нулевого порядка,вычисленная по формуле Донкина (П2.5). Однако, как показывает пример спотенциалом U 0 ln y 2  z 2 R , не всегда с первого взгляда можно разглядетьв математическом выражении его эквивалентную форму, выраженную черезподстановки (П2.4) и (П2.5).Приложение 3. Выведение формулы для потенциала в плоскиходнородных поляхРассмотрим двумерный электрический потенциал U x, y  . ФункцияU  x, y  гармоническая, то есть должна удовлетворять уравнению ЛапласаU xx  U yy  0 .

Кроме того, эта функция должна быть однородной по Эйлеру,что равносильно выполнению дифференциального признака однородностипо Эйлеру [129, 130] xU x  yU y  kU , где k  const — порядок однородности.Продифференцировав данное выражение посоотношенияxU xx  yU xy  k  1U xиxи поy,xU xy  yU yy  k  1U y .гармоничности потенциала ( U xx  U yy  0 ), получим, что U xx  k  1U xy  k  1yU x  xU y2x y2, U yy  k  1 xU x  yU yx2  y2получимВсилуxU x  yU yx2  y2,.

Легко проверить, что привыполнении этих трёх соотношений автоматически будут выполненытождестваU xx  y   U xy  x ,U xy  y  U yy  xдляпроизводныхследующего порядка, так что полученная переопределённая системауравненийотносительнонеизвестнойфункцииU  x, y находитсявинволюции и разрешима [137, 138].Чтобы найти решение системы уравнений в явном виде, перейдём кполярным координатам x  r cos , y  r sin  ( r  x 2  y 2 ,   arctg  y x  ).

В106этихпеременныхсистемауравненийсущественноупрощается:U rr  k  1U r r , U r  k U  r , U    krU r . Из первого уравнения следует, чтоU r r ,    r k 1 f   , так что U r ,   1 kr f    g   , где f   и g   некоторыеkпока неизвестные функции. После подстановки этого решения во второеуравнение получаем условие r k f    rg    r k f    kg   , из которогоg    g 0  const . Однако из дифференциальногоg    0 ,следует, чтопризнака однородности по Эйлеру до дифференцирования xU x  yU y  kUполучается условие U r  k U r , так что на самом делеg0  0(придифференцировании дифференциального тождества Эйлера добавилисьпаразитныерешения).Наконец,третьеуравнениедаётусловиеr k f     k 2 r k f   , откуда следует, что f    a cosk   b sin k  , где a , b —константы.Послеобратнойзаменыпеременныхврезультатенепосредственной проверки убеждаемся, что функцияU  x, y  x2 y2 UkCcosk arctg  y x   U S sin k arctg  y x  (П3.1)действительно является функцией, однородной по Эйлеру с порядкомоднородности, равнымk(не обязательно целочисленным), а такжеудовлетворяет двумерному уравнению Лапласа.С помощью поворота плоскости относительно начала координатвыражениеxU  x, y   U  xU C  x, y   U 0S0(П3.1)22может cosk arctg  y x y  sin k arctg  y x , y22kkбытьприведенолибокквидувидутак что свобода управлять формойпотенциала (П3.1) с помощью имеющихся свободных констант весьмаусловна.

Первая форма представления поля даёт потенциал, симметричныйпо координате y : U C x, y   U C x, y  . Вторая форма записи даёт потенциал,антисимметричный по координате y : U S x, y   U S x, y  . Оба потенциаласимметричны относительно координаты z , но во втором случае имеется107удобная эквипотенциальная поверхность в виде плоскости y  0 , которуюможно использовать в качестве одного из электродов. В роли двумерныхзеркалдляэлектростатическогоспектрографическомрежиме,энергоанализатора,такиеработающегоэлектрическиевпотенциалыисследовались в [111, 112, 116, 117].Возможен вариант использования этих двумерных потенциалов, когдакоординаты~U C  x, z   U 0иyменяютсяz x  z  cosk arctg z x22kэлектростатическоеполе.местами[117].порождаетПотенциал~U S  x, z   U 0Потенциалсимметричноеx2 z2 sin k arctg z xkпорождает симметричное магнитное поле.

Соответствующие оптическиесистемы,работающиеврежимеспектрографическихзеркал,рассматриваются в [3, 6, 10, 115-117].Формулу (П3.1) можно получить другим способом [117]. Любаяоднородная по Эйлеру функция порядка k от двух переменных может бытьпредставлена в виде U x, y  функцияодногоkx 2  y 2 F arctg  y x  , где F   — некотораяпеременного.(Даннаяформулаявляетсямодифицированной формой универсального представления однородныхфункций в виде f x1 , x2 ,  xn   x1k g x2 x1 ,  xn x1  [129, 130]).

Подставив этовыражение в двумерное уравнение Лапласа, получим необходимое идостаточное условие, которое надо обеспечить, чтобы U x, y  былагармонической функцией: F    k 2 F    0 . Из этого дифференциальногоуравнения сразу следует, что функции вида (1) являются искомыми и чтодругих подобных функций не существует. (Исключением является случайk  0 , когда единственными однородными гармоническими функцияминулевого порядка оказываются функции U a  U b arctg  y x  ).Есть и другой способ получить искомый результат. Как известно, длялюбой краевой задачи с границей s   x g s , y g s  существует функция108Грина G x g , y g , x, y  [139-141], обладающая свойством, что для любойгармонической функции U x, y  справедливо тождествоU  x, y    G x g s , y g s , x, y U x g s , y g s nG x g s , y g s , x, y U x g s , y g s dsnds  (П3.2)Для двумерного уравнения Лапласа с границей в виде прямой линииy  0 функция Грина известна в аналитическом виде [139]:x  x   y g  y  .

(П3.3)1log g4xg  x 2  y g  y 22G x g , y g , x, y  2Про симметричное решение U C x, y  , нам известно, что оно ведёт себявдоль прямой y  0 как однородная функция переменной x с порядком,kравным k — то есть, как U C x,0  A x . Кроме того, из соображенийсимметрии мы знаем, что нормальная производная U C x, y  , вдоль прямойy  0 равна нулю — то есть, U C x,0 y  0 . В результате по формулам(П3.2), (П3.3) можно восстановить полностью это решение:AykU C  x, y    sds  const    x  s 2  y 2x2 y2 cosk arctg  y x (П3.4)k(правда, этот интеграл сходится не при всех k , а только при  1  k  1 , ивычислить его в аналитической форме весьма непросто).Приложение 4. Выведение формулы для потенциала восесимметричных однородных электростатических поляхПотенциал осесимметричного поля, записанный в цилиндрическихкоординатах r  x 2  y 2 ,   arctg  y x  , z  z , не зависит от азимутальногоуглаиудовлетворяетосесимметричному 2U r , z  z 2   2U r , z  r 2  1 r  U r , z  r  0 .уравнениюЗапишемпотенциалЛапласаU r , z  ,который должен являться функцией, однородной по Эйлеру с порядком109 kоднородности, равным k , в форме U r , z   r 2  z 2 F zr 2  z 2 , где F   —надлежащим образом подобранная функция одного переменного [129, 130].Подставив это выражение в осесимметричное уравнение Лапласа, получимнеобходимое и достаточное условие, которое надо обеспечить, чтобы U r , z была осесимметричной гармонической функцией:1   F    2F    k k  1F    0 .

Характеристики

Список файлов диссертации