Диссертация (1144222), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

(П4.1)2При k  0 и k  1 решениями уравнения (П4.1) будут функцииF    C0  C1 ln 1    1    , сингулярные на оси r  0 при C1  0 . В остальныхслучаях решением уравнениями (П4.1) будут функции Лежандра первого ивторого рода Pk   и Qk   [136, 142-146]. С учётом того, что Pk 1    Pk   ,Qk 1    Qk   , достаточно определить функции Лежандра при k   1 2 . Принатуральных значенияхЛежандра: Pk   помощьюkфункцияPk  оказывается многочленомk1 dk 2  1 . Функция Qk   выражается через Pk   сkk2 k! dW    Qk  Pk    Qk  Pk  вронскианауравнению W   2W  1  2формуле Qk    Pk  (подчиняющегосяи поэтому равному W    W0 1   2  ), поd.

Функции Pk   имеют конечные значения21   Pk  2при   1 (то есть на оси системы r  0 ), функции Qk   сингулярны. ПринатуральныхзначенияхQk    Qak    Qbk   lnkфункцияQk  имеетвид1, где Qak   и Qbk   многочлены. Более подробно о1 функциях Лежандра первого и второго рода см. в соответствующейлитературе [136, 142-145].Имеется интегральная формула Уиттекера ([136], примеры в конце гл.18), которая взаимно-однозначным образом выражает осесимметричныйпотенциал  r, z  , регулярный на оси r  0 , через двумерный симметричный110f  x, y  ,потенциалудовлетворяющий двумерному уравнению Лапласа 2 f x 2   2 f y 2  0 и условию f  x, y   f x, y  : r , z  12f r cos , z d 0ПодставивU C  x, y   U 0 2 f r cos , z d .

(П4.2)0f  x, y вместоx2  y2 cosk arctg  y x ,kоднороднуюполучимрегулярнуюфункциюнаосиосесимметричную однородную по Эйлеру функцию  r, z  . Отсюда легкополучить интегральное представление для функции Лагранжа первого рода,а затем через квадратурную формулу Qk    Pk  dвычислить и21   Pk  2функцию Лагранжа второго рода, то есть полностью восстановитьосесимметричную однородную функцию в интегральной форме.Другие интегральные формулы для осесимметричных однородныхфункцийконструируютсяпозволяющихспомощьювосстанавливатьформулосесимметричныйСаулитапотенциал[147-150],поегозначению на диске z  0 (где однородная по Эйлеру функция ведёт себя какr k ), а не по значению вдоль оси r  0 (где однородная по Эйлеру функцияведёт себя как z k ), как в формуле (П1.3).

Ещё одна разновидностьинтегральных формул для осесимметричных однородных потенциаловможет быть получена с помощью функций Грина по схеме, описанной вПриложении 3, так как функция Грина для осесимметричного уравненияЛапласа и границы в виде плоского диска z  0 может быть получена изфункции Грина для трёхмерного уравнения Лапласа с границей в видебесконечной плоскости z  0 [139].В конечном счёте, общая формула для осесимметричного потенциала,однородного по Эйлеру с порядком однородности k  0 , будет иметь видU r , z  r2 z2 U P zkCkr 2  z 2  U S Qk zr 2  z 2 , (П4.3)111где r  x 2  y 2 , а U C и U S — произвольные константы. В отличие отдвумерного случая, где изменение констант U C и U S приводит к поворотудвумерного потенциала как единого целого, здесь изменение констант U C иU S создаёт принципиально новые решения.

Однако некоторая аналогиявращения присутствует и здесь. А именно, у функций U r , z  , однородных поЭйлеру, имеются эквипотенциальные линии в виде прямых, проходящихчерез начало координат (если U r0 , z0   0 в точке r0 , z0  , отличной от началакоординат, то и вдоль всей прямой r0 , z0  будет выполнено U r , z   0 ).

Этилинии разбивают координатную плоскость r, z  на сектора, в пределахкоторых функция U r , z  сохраняет свой знак. Изменение констант U C и U Sприводит к трансформации указанных секторов и разграничивающих ихпрямых эквипотенциальных линий U r , z   0 , напоминающей процедурувращения относительно центра координат.Приложение 5. Про трёхмерные электростатияческие поля,однородные по ЭйлеруВ упомянутой выше работе [12] предложен новый алгоритм длясинтезатрехмерныхпотенциальныхструктурсцельюсозданияэффективных электрических и магнитных спектрографов на их основе. Этуметодику можно применять для синтеза потенциальных структур соднороднымипоЭйлеруфункциямиспроизвольнымпорядкомоднородности k .

Однако получить структуры с однородными по Эйлеруфункциями с целочисленным порядком однородности k по этому алгоритмуне удается. На одном из этапов данного алгоритма синтеза следует изменитьутверждение о выбираемом частном решении. Поэтому ниже приведемпоэтапное выполнение процедуры нахождения искомых трехмерныхпотенциальных структур.112Первый этап. Строим трехмерный потенциал в виде полиномаконечной степени 2n или 2n  1 по координате y с коэффициентами,которые являются однородными функциями соответствующего порядка отдвух других координат: x и z .

Здесь возможно построение потенциала как вчетной, так и в нечетной форме. Они распадаются на два непересекающихсясемейства:U  x, y, z   U 0,k  x, z  1 21 2ny U 2,k 2  x, z   ... y U 2 n ,k  2 n  x, z 2!2n !U  x, y, z   yU1,m1  x, z  1 31y U 3,m 3  x, z   ... y 2 n1U 2 n1,m2 n1  x, z 3!2n  1!(8)(9)Второй этап. Подстановка желаемого разложения (8) или (9) втрехмерное уравнение ЛапласаU xx  U yy  U zz  0и группировка членов при одинаковых степенях y приводит к тому,что уравнение распадается на цепочку равенств, по форме представляющихсобой уравнения Пуассона для соответствующих функций-коэффициентов.Исключением является равенство, отвечающее коэффициенту при старшейстепени полинома.

В результате получаем набор равенств для разложения(8): 2U 0,k 2U 0, k U 2 ,k  2 ,x 2z 2 2U 2,k  2  2U 2, k 2 U 4 ,k  4 ,x 2z 2.............................................2 U 2 n  2 ,k  2 n  2x2 2U 2 n,k  2nx 2(10)2 U 2 n  2, k  2 n  2z 2 2U 2 n,k 2 nz 2 U 2 n ,k  2 n , 0.а также другого разложения, дающего нечетный полином (9):113 2U 1,m 1x 2 2U 3,m3 2U 1,m1z 2 2U 3,m3 U 3,m 3 , U 5, m5 ,x 2z 2............................................. 2U 2 n3,m 2n1x 2 2U 2 n1,m 2 n1x 2 2U 2n3,m 2n1 U 2n1,m 2 n1 ,z 2 2U 2n1,m 2n1z 2 0.Третий этап.

Решаем уравнение Лапласа, последнее в даннойцепочке, и в качестве генерирующей функции берем однородную по Эйлеругармоническую функцию со степенью однородности p  k  2n (в случаепостроения четного полинома) или s  m  2n  1 (для нечетного полинома):U 2 n, p  x, z   c0  r pилиU 2 n1, s  x, z   c0  r sгде r  x 2  z 2 ,   arctg z x  ; c0   - неизвестная функция, четная илинечетная по аргументу y (вместо c0 r p cos p либо c0 r s sin s , т.

е. вместо техфункций, которые мы использовали в работе [15]).Четвертый и последующие этапы. Далее находим все оставшиесямножителиU 2 n j , p  j  x, z U 2 n j 1, s  j  x, z при меньших степеняхy,решая последовательно соответствующиеуравнения Пуассона с правой частью, найденной на предыдущем этапе иотвечающей условию быть симметричной или антисимметричной покоординате z .Заметим, что неопределенные функции-коэффициенты мы будемискать как частное решение, представленное в следующей форме:114c j  r p jЭта форма имеет самый общий вид для функции двух переменных,однородных по Эйлеру с соответствующим порядком однородности.Описанная процедура продолжается, пока цепочка рекуррентныхвычислений не замкнется на первом члене разложения (8) или (9).Кроме того, возможны варианты, когда множитель при старшейстепени y оказывается гармонической функцией с нулевым порядкомоднородности и, следовательно, будет задаваться формуламиU  x, z   U 0  constилиzU  x, z   U 0 arctg    U 0xвместо формулU  x, z   U 0x2U  x, z   U 0x2 z2 cos k  arctg xz    U r z2 sin  k  arctg xz    U rkkcos kksin k0k0как это было в случае с произвольным значением порядка однородностиk или m [15].Окончательный результат представлен далее (записаны только теслучаи,которыепринципиальноотличаютсяотобщихприведенных в статье [12]).Потенциалы, симметричные по z и с четными степенями yформул,115k  0 : U 0  x, y, z   1 x, y , z    y r 2 cos k  1 :U r sin r1k  2 : U 2  x, y, z   y 2  r 22 y43  3k  2 : U 4  x, y, z   cos 2  2  3 y 2  r 2   r 2 sin 24  2r22 y49  3k  3 : U 4  x, y , z   cos    6 y 2 r  r 3    r 3  6 y 2 r  sin   r 3 cos 38  2 r y 6 15 y 4 45 y 2 r 5 3  15 3k  3 : U  x, y , z   cos 3  3  r   r  sin 3rr88  83k  4 : U 4  x, y, z   y 4  3 y 2 r 2  r 486 y 1545 2 2 5 4 k  4 : U 6  x, y, z   cos 2  2  y 4 y r  r  248 r645 2 2 45 15  r4 y r  sin 2  r 4 cos 42324 y 8 14 y 6 35 4 35 2 2 35 4  35 4k  4 : U  x, y, z   cos 4  4 y y r  r   r  sin 43 r2 4464  16r8Потенциалы, симметричные по z и с нечетными степенями yk  1 : U 1  x, y , z   yy 3  3 yr 2cos   3 yr sin r3k  3 : U 3  x, y , z   y 3  yr 225y1515k  3 : U 5  x, y , z    2  5 y 3  yr 2  cos 2  yr 2 sin 242rk  2 : U 3  x, y, z  k  4 :U5x, y, z    y5 r 10 y 3 r 45 3  15yr  cos    yr 3  10 y 3 r  sin   5 yr 3 cos 382 y 7 21 y 5 105 3 35 3 105 3k  4 : U 7  x, y, z    3 y r  yr  cos 3 yr  sin 34 r888rПотенциалы, антисимметричные по z и с четными степенями y116k  0 : U 0  x, y , z   y 2 sin k  1 : U  x, y, z   r cos r1 k  2 : U 2  x, y, z    y 2  r 2 2 2 y4 3r 2k  2 : U 4  x, y, z   sin 2  2  3 y 2   cos 2r 2 y4 3 3   2 3 3 k  3 : U  x, y, z   sin    r    6 y r  r  cos 2  r 8  4 y 6 15 y 4 45 y 2 r  15 3  r  cos 3k  3 : U 6  x, y, z   sin 3  3 4r8  8r3 k  4 : U 4  x, y, z    y 4  3 y 2 r 2  r 4 8  y 6 1545 2 2 5 4 k  4 : U 6  x, y, z   sin 2  2  y 4 y r  r  248 r15 45 45  y 2 r 2  r 4  cos 2  r 4 sin 44 32 2 y 8 14 y 6 35 4 35 2 2  35 4k  4 : U 8  x, y, z   sin 4  4  y  y r   r  cos 43 r2 44r 16Потенциалы, антисимметричные по z и с нечетными степенями yk  1 : U 1  x, y, z   yy3k  2 : U  x, y , z   sin   3 yr cos r3k  3 : U 3  x, y, z    y 3  yr 2 23 y515k  3 : U 5  x, y, z    2  5 y 3  sin 2  yr 2 cos 22r y 5 1515k  4 : U 5  x, y , z     yr 3  sin   10 y 3 r  yr 3  cos 82 r y 7 21 y 5 105 3 105 3k  4 : U 7  x, y , z    3 y r  sin 3 yr  cos 34 r88rПолученныйцелочисленныминаборпотенциалов,значениямипорядкаоднородный:однородностипоk,Эйлерусявляетсядополнением к семейству квазиполиномиальных трехмерных потенциалов,однородных с любыми другими порядками однородности [12].

Характеристики

Список файлов диссертации