Перов А.И., Харисов В.Н. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования (4-е издание, 2010) (1142025), страница 111
Текст из файла (страница 111)
При изготовлении ИИБ выполняется частичная компенсация нелинейностей 1'„„,1'„, а также кросс — чувствительности акселерометров и гироскопов, выраженной функциями и„~ и е „. При синтезе алгоритмов, соответствующие погрешности полагаются несущественными. Также обычно считается, что полоса пропускания инерциальных датчиков много шире полосы пропускания интеграционного фильтра, поэтому К„(р) = 1, К (р) = 1. И, наконец, внедиагональные элементы матриц М,, М зачастую полагаются нулевыми из-за плохой наблюдаемости. Таким образом, модель измерений инерциальных датчиков можно записать в упрощенном виде Интегрированные инерциально-спутниковые навигационные системы 150 СКО шума акселерометра, м/с 0,0024 5 10 500 100 Модель ошибок выходных навигационных параметров в ПЗСК Приведем одну из возможных моделей ошибок ИНС, ориентированную на применение в ПЗСК.
Модель дается в непрерывном времени и учитывает только составляющие погрешности датчиков в„е, и„, и Счисленные координаты г„, вектор скорости У„и матрица ориентации 11," определяются с ошибками и, учитывая малость ошибок, могут быть запи- саны в виде г„= г„+ ог, Ъ'„= У„+ дУ, где ог — ошибка координат; д"Ч вЂ” ошибка по скорости; [у х] — матрица векторного произведения, соответствующая вектору у ошибок углов ориента- ции: 1Ух1= Учитывая (П17.31) — (П17.33), для линеаризованной модели ошибок ИНС запишем С1'Оà — =6У, й (П17.18) 697 СКО набега ошибки скорости акселерометра за интервал вре- мени, мкд/~/Гц Точность масштабного коэффициента акселерометра (СКО) Точность привязки осей акселерометров к осям блока (СКО), мк ад Неортогональность осей акселерометров (СКО), мкрад Уз У2 уз 0 у2 у1 0 — — — юг — 2[а„" ~] 7ъ'+ю," [а„, х]у+ С, "1я, ~.л,1, АУ дф„ и у = — й„"х~1 у + в + и„, ~п (П17.15) (П17.16) (П17.17) (П17.19) (П17.20) Интегрированные инерииально-спутниковые навигаиионные системы т т„,, Ф, =Ф,, —, ', +сое,,т+ (Я, +й,) Т а~„, Ф, =Ф...
—, ', +вн;,Т+и . (Я, +и,) Фцр ~ = Фцр ~-! + соцр ~-1Т + пфцр ~ э ®цр ~ = о~цр ~-1 + падр ~ ~ (П17.22) сое, = о~е,, + п~е,, о~н, — — о~у,, + п<,н„. 699 где 1 — номер отсчета; Т вЂ” интервал дискретизации модели; д — ускорение свободного падения в диапазоне рабочих высот; Я, — средний радиус Земли; Ь вЂ” высота;  — широта; ЛЕ,ЬУ, Л'е", Я'~',", Фц, Фе, Ф„, ш„~,ше, ид, — параметры модели из которых можно выделить: Ы, о — погрешности долготы и широты соответственно; ЛЕ, АУ вЂ” восточная и северная составляющие погрешности координат в метрах; Фц — погрешность угла курса; Я'е", Я'~" — шулеровские погрешности восточной и северной составляющих скорости; и „, пф , пф р — независимые ДБГШ с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями оф ', и,, и„, и — независимые ДБГШ с нулевым математическими 2, ожиданиями и дисперсиями о 2 Величины оф~ и о 2 являются обобщением динамики погрешностей инерциальных датчиков и могут быть подобраны для каждого конкретного случая.
Так, для авиационной ИНС с уходом порядка 10 км / час эти значения составили сГф = 1 2'10 Т О" = 0 [17.32]. Несмотря на приведенные примеры, вряд ли можно сформулировать общие рекомендации по выводу модели ошибок ИНС. Наиболее полная модель измерений инерциальных датчиков (П17.11)-(П17.12) практически непригодна для такого вывода из-за своей сложности. Для каждого конкретного случая структура и параметры модели ошибок подбираются опытным путем и являются результатом математического моделирования, экспериментальных исследований и эксплуатации. При использовании для синтеза оптимальных ИСНС теории оптимальной фильтрации для описания моделей смещения нулей, ошибок масштабных коэффициентов акселерометров и гироскопов обычно выбирают модели в виде случайных констант 117.14, 17.191 или экспоненциально-коррелированных процессов первого порядка 117.16, 17.19~.
Для описания ошибок углов ориентации используются модели второго порядка 117.2, 17.3, 17.11, 17.161. Глава 17 П17.3. Кватернионы Я = Ч1 + Ч21+ Ч31+ Ч4К, (П17.23) где Ч, ...Ч4 — действительные числа, а 1, 1, 1с — мнимые единицы такие, что 1 = 1 = К = — 1, Ц = - У = К, 1К = — Ц = 1, И = — 11с = 1. ° 2 2 2 Алгебра кватернионов впервые была введена ирландским физиком и математиком У.Р.
Гамильтоном в 1843 г применительно к механике. Важным свойством кватернионов является способность описывать вращения в трехмерном пространстве в виде точек на поверхности четырехмерной сферы. С появлением бесплатформенных ИНС кватернионы быстро стали общепринятой формой представления ориентации в подобных системах. Также кватернионы нашли широкое применение в компьютерной анимации. Векторно-матричные представления кватеронионов Кватернион может быть представлен кватернион — вектором 41, или же изоморфной ему кватернион — матрицей 9. Реже используется преобразованный вид кватернион — матрицы () . % Ч2 Чз Ч4 Ч2 Ч1 Ч4 ЧЗ Ч4 Ч1 Ч4 Чз Ч2 % Ч1 Ч2 ЧЗ Ч4 Ч2 % Ч4 Чз ЧЗ Ч4 Ч! Ч2 Ч4 Чз Ч2 % (П17.24) Чз Операции над кватернионами т т Если а=~а1 а2аз а4~, Ь=~61 Ь2 6, 64~ - кватернионы, то сложение а и Ь определяется обычными правилами векторно-матричного сложения а, + Ь, а2+ 62 "3+Ьз а4+ 64 (П17.25) а+Ь= Произведение двух кватернионов а и Ь определяется как 161 262 363 464 а261 + а162 а463 + аЗЬ4 а361 + а462 + а!63 а264 а4Ь! — аз Ь2 + а263 + а1Ь4 а®Ь=А Ь=В а= (П17.26) 700 В математике кватернионы рассматриваются как гиперкомплексные числа вида Глава /7 соя(!!р!!/2) — 'яп (!!р!! /2) !!Р!! — ~яп(!!р!!/2) !!Р!! Не/ Ч(Р) = (П17.33) — ~яп(!!р!!/2) !!Р!! т Пусть требуется повернуть «обычный» вектор ~ =!з', з2 зз! вокруг вектора вращения р на угол !!р!!.
С привлечением аппарата кватернионов решение данной задачи имеет вид ВЧ'(Р), =Ч(Р)Е (П17.34) з'з и'з т где и;,м2,и~ — компоненты результирующего вектора зч =!и, ж2 и~з! Если поворот вектора ч осуществляется в виде серии нескольких (п) вращений, заданных векторами р,,р2...р„, то компоненты результирующего вектора ю будут находиться как = ч(р.) ®" ® Ч(р|) ® ЭЧ'(Р,) ®...®Ч*(Р„).
(П17.35) з'з Следовательно, кватернион полного поворота в результате серии вращений р,,р, ...Р„вычисляется как Чх =Ч(Р )®".®Ч(Р2)®Ч(Р~). (П17.36) В инерциальной навигации один элементарный поворот соответствует одному отсчету сигнала с выхода триады датчиков угловой скорости, а текущая 702 длина численно равна углу поворота, а направление вращения определяется по т правилу правой руки.
Обозначим вектор вращения как р = !р, р2 рз! Кватернион, описывающий тот же самый поворот, что и вектор р, определяется как 1П17.131 Интегрированные инерциально-спутниковые навигационные системы ориентация является результатом серии таких поворотов относительно начального момента времени. Широкое применение кватернионов вызвано тем, что они лишены недостатков, присущих другим формам представления вращений и ориентации. Конкретизируем суть данного вопроса.
Кватернионы и векторы вращения. Недостаток векторов вращения заключается в том, что при представлении серии вращений р,,р~...р„результирующий вектор вращения р~ не является простой функцией от р,,р2 ...р„. В кватернионном представлении данная проблема решается относительно просто путем последовательного умножения соответствующих кватернионов (П17.36). Кватернионы и матрицы преобразования координат.
Недостаток матрицы преобразования координат заключается в том, что она содержит большее число параметров — 9, тогда как кватернион содержит только 4 параметра. Кватернионы и углы Эйлера. Углы Эйлера по своей природе разрывны. Например, малое изменение положения объекта при тангаже около 90' приводит резкому изменению углов крена и рыскания, их скачкам на 180'. Кватернион же является непрерывной функцией ориентации объекта (малый поворот влечет малое изменение кватерниона). П17.4. Математические соотношения между различными формами представления ориентации су ср — сг ву+зг су.зр в .ву+сг.су вр зу ср сг су+я" зу вр — я" су+с~ зу зр, (П17.37) в~ ср сг ср 703 При разработке алгоритмов работы систем навигации можно пользоваться различными формами представления ориентации объекта. К ним относятся: - углы Эйлера; - матрица преобразований координат (матрица направляющих косинусов); - кватернион; - вектор вращения.
Задание ориентации предполагает введение однозначного преобразования координат между ССК объекта и целевой СК. В качестве целевой будем рассматривать локальную систему координат (ЛСК) «север — восток — низ», как наиболее частый в навигационной практике случай. В этом случае углы Эйлера, задающие ориентацию объекта, называются углами крена (Я ), тангажа (Р) и рыскания (У ) (раздел 3.1, рис.
3.7). 1. Если заданы углы Я, Р и У, то матрица преобразований координат из ССК в ЛСК рассчитывается по формуле 117.131 Глава 17 сЯ сР-сУ+зЯ зР.зУ И.сР сУ вЂ” сЯ зР зУ сЯ.зР сУ+И сР зУ сЯ сР зУ вЂ” И зР сУ (П17.38) Я . Я Р . Р У, У где сЯ = соя —, И = яп —, сР = соз —, зР = яп —, сУ = соя —, зУ = яп —. 2 2 2 2 2 2 Запись !1," означает кватернион поворота осей ЛСК к осям ССК (выполняемого относительно ЛСК), что соответствует преобразованию координат из ССК в ЛСК.
2. Если задана матрица преобразований координат из ССК в ЛСК— ~' 1,1 ~' 1,2 ~1,3 ~с ~2,1 к' 2,2 к' 2,3 ~' 3,1 ~' 3,2 ~3,3 то углы крена, тангажа и рыскания рассчитываются по формулам лк = аааП 2(т.т 3 2, т-т 3 3 ) Р = агап 2 У = а1ап 2 (!.12 1, !1! ! ), (П17.39) где агап 2(уак) — функция вычисления полного угла арктангенса. 3.
Если калаи кватерииои поворота д," =)д, д, д, д,), !)Л," != !, то углы крена, тангажа и рыскания рассчитываются по формулам Я=асапт(2(д1да едала!,(! — 2~да ед1))), Р = агсяп(2(д1дЗ д2д4)) У=асап212!д~деедтдз) (! — 2!да ад„))). (П17.40) 704 где сг=соаЯ, зг=япЯ, ср=созР, зр=япР, су=соаУ, зу=япУ. Индексы систем координат: «л»-ЛСК, «с»-ССК. Кватернион поворота, рассчитывается по формуле Интегрированные инерциально-спутниковые навигационные системы Матрица преобразований координат из ССК в ЛСК рассчитывается по формуле 2 2 2 2 % +Цг Цз ч4 2(Д2'73 + %'74 ) 2(ЧгЧ4 %%) 21,чгчз %ч4) 2 2 2 2 ч1 +93 Чг ч4 2(д1дг + дзд4) 2(Ч Ч + Чгч4) 2(Чзч4 Ч!чг) 2 2 2 2 % +94 ЧЗ чг (П17.41) 4. Если в ЛСК задан вектор поворота осей ЛСК к осям ССК, р', = ~р1 рг рз~, то соответствующий кватернион поворота рассчитывается по формуле сов р," /2 — а1п р," /2 — гяп р,' /2 3 31п рл /2 Чс (П17.42) где р,1 = р, + рг + рз — абсолютная величина угла поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
