Диссертация (1138663), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Исходя из этих соображений в формуле 1П1.5) в компонент, описывающий сдвиг, был добавлен параметр у. Модель Лафтона и Якоби используется в экономике сырьевых товаров и известна как модель прогнозирования стохастически изменяющихся цен. Этот подход используется для прогнозирования цен на сырьевые товары и оценки проектов по разработке нефтегазовых месторождений 175, 82, 107, 137, 1441. В данный момент в большинстве подходов для оценки параметров при прогнозировании цен на сырьевые товары используются эконометричес кис модели. Рекомендуется проводить тест Дики-Фуллера прежде чем использовать любые оценки для эконометрических моделей при работе со стохастическими данными. Пиндайк использовал тест Дики-Фуллера и отклонил гипотезу о случайном блуждании для сверхдлинных временных рядов 1более 100 лет) ~1301. Модель возвращения к среднему со скачкоооразиой диффузией Модель возвращения к среднему применяется лля прогнозирования стохастической динамики цен на сырьевые товары.
Основным допущением предыдущих моделей является то, что логарифм ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ нАаион~льный иасладоаАт~льскай унаагрситет цен описывается процессом возвращения к среднему или возвращения к медиане. Однако данное допущение не соответствует практике, так как, анализируя исторические данные, нетрудно заметить ценовые скачки. Например, в период с 2007 по 2008 годы наблюдалось болыпое количество скачков цен на ископаемые топлива, Данные скачки цен на сырьевые товары хорошо объясняются с помощью моделей возвращения к среднему со скачкообразной диффузией 1931.
В таких моделях «скачки» подчиняются Пуассоновскому процессу распределения с заданным количеством событий, Другими словами, логарифм цен имеет распределение с эксцессом больше или меньше нормального. Несмотря на то, что данная модель достаточно сложна для примепепия, па сегодпя она является наилучшим вариантом для предсказания скачкообразных отклонений цен на сырьевые товары от тренда. В 1965 году Фама доказал, что распределение доходности финансовых активов обладает более толстыми хвостами, чем нормальное, тем самым опровергнув предпосылку о постоянстве волатильности 110Ц, Пресс в 1967 обнаружил ряд скачков в распределении доходности американских акций 113 Ц. После этого Блэк и Шоулз разработали модель ценообразования опционов в 1973.
В основе данной модели лежат предпосылка о постоянстве параметров, влияющих на цену, таких как безрисковая процентная ставка, ожидаемая доходность и волатильность 18Ц. Данные предпосылки не учитывают скачкообразные изменения тренда цен, но позволяют с легкостью оценить параметры модели. Мертон утверждает, что логарифм доходности имеет нормальное распределение с постоянной волатильностью, хотя иногда в распределении доходности могут возникать разрывы, называемые скачками, Он также предположил, что риск возникновения скачков является несистематическим и не учтен в доходности безрискового портфеля 1124]. Модель Мертона выглядит следующим образом: ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Г н,<цион~льныя иаследоаАт~дьскяя университет 1В7 Где: К- ожидаемая величина скачка; — пуассоновский процесс (семейство случайных величин»»„такое, что разность д, — у,,»>л, имеет распределение Пуассона с параметром А(» — з) ); 1 — количество скачков за период.
Согласно уравнению (П1.7)„модель Мертона может быть преобразована в модель ГБД (П1,2), если допустить, что; 1,=0. В этой модели присутствует также корректирующий член — Ы . Скорректированный пуассоновский процесс позволяет сделать ожидаемое значение»Ь независимым от параметров скачка 1951. Модель ценообразования со скачкообразной диффузией можно разделить на две части, Первая часть описывает процесс непрерывного изменения цены, представляемой моделью ГБД с возвращением к среднему и изменяющейся временной структурой. Объединение временной структуры будущей волатильности вместе с возращением к среднему уровню позволяет описать динамику цен на природные ресурсы без выбросов.
Вторая часть определяет скачкообразные разрывы, моделируемые пуассоновским процессом. Основным ограничением модели со скачкообразной диффузией Мертона применительно к энергетическим рынкам является предположение о независимости процесса непрерывной логнормальной диффузии и процесса, имеющего пуассоновское распределение, Данное предположение неверно применительно к ценам на природные ресурсы Применение модели возвращения к среднему со скачкообразной диффузией на практике обладает рядом ограничений.
Во-первых, непонятно, каким образом определить размер скачка на основании исторических данных. Во-вторых, определение направления скачка на ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ нлцмоньльныя исспядов»тельский университет основании исторических данных не учитывает ожиданий о дальнейшем движении. В-третьих, параметры, определяющие прыжок, не постоянны во времени. В-четвертых, значения среднего, к которому возвращается цена, различны для скачков и для обычных изменений цены. Процесс скачкообразной диффузии предполагает только одну скорость возвращения к среднему, однако скорость возвращения после некоторых шоков различна, Наконец, скачки цен на энергоносители непостоянны, В Табл.
П1Л представлена хронология основных моделей ценообразования, разработанных за последние десятилетия. Данные модели можно разделить на три основные группы: 1. классические модели (модели возвращения к среднему уровшо и геометрического Броуновского движения); 2. стохастическне модели прогнозирования цен; 3. модель возвращения к среднему со скачкообразной диффузией. Комбинированные модели Чтобы смоделировать достаточно сложную динамику рыночных цен на энергоносители, используются составные стохастические процессы, являющиеся комбинацией более простых случайных процессов. Например, Шварц в работе ~1381 для моделирования динамики цен на энергоносители использовал стохастическую модель следующего вида: В рассматриваемой модели рыночная цена Х описывается уравнением броуновского движения со средним и и волатильностью о „ поправленным на дополнительный член 4, который, в свою очередь, задается процессом возвращения к среднему уровню а с коэффициентом возвращения й и волатильностью ~~,, Здесь я; и я, представляют собой независимые стандартные винеровские случайные процессы.
Другим примером комбинированной модели является модель, изложенная в статье Шварца и Смита ~139~. В ней изменение логарифмов цен Х представляется комбинацией двух процессов; процесса ~, описывающего краткосрочную динамику цен, и процесса,'„определяющего дол~о~р~~~у~ динамику. Краткосрочная динамика модели описывается процессом возвращения к среднему уровню; В то время как долгосрочная динамика описывается процессом Броуновского движения: Причем оба процесса коррелируют между собой; ~И',сИ' =,ай, Комбинированные модели позволяют моделировать динамику со сложным поведением.
С другой стороны, оценивание параметров модели требует большего количества статистических данных, является более трудоемким, а параметры модели менее устойчивы по сравнению с более простыми традиционными моделями. Авторегрессиоинае модели Авторегрессионные модели связывают текущие значения рыночных цен на энергоносители с предыдущими значениями. В общем виде форма авторегрессионной модели выглядит следующим образом: Х1 аО+а1Х- +а2Х-2+*.
+аФХ- +Е1 где а'„а„",а„— параметры модели, — порядок авторегрессионной модели, а е, — случайный остаток. Обычно предполагается, что случайные остатки независимы и одинаково распределены. В ряде случаев авторегресснонные модели возникают в результате дискретизации стохастических моделей с непрерывным временем. Например, результат дискретизации случайного процесса с возвращением к среднему может быть записан в виде: ~й'„= Му — Х,'де+аР МодельАЯСО Линейные стохастические модели, к числу которых относятся авторегрессионные модели,не в состоянии описать некоторые особенности динамики финансовых динамических рядов„ такие как фрактальное поведение и отклонение эмпирического распределения значений цен от нормального ~«толстые хвостью). По этой причине Энгелем ~99~ в 1982 году была предложена модель авторегрессионной условной гетероскедастичности АЙСН, в последствие обобщенная Боллерслевом ~86), Суть модели АКСН заключается в том, что волатильность динамического ряда «средне квадратическое отклонение от тренда) представляет собой авторегрессионный процесс.
Чем больше значение авторегрес сион ной связи„тем продолжительней периоды высокой волатильностн. В случае отрицательной авторегрессионной связи высокая волатнльность подавляет сама себя, и колебания цен быстро затухают. Формальное определение модели АКСН выглядит следующим образом: 1пХ =,и+о;е„ где Х вЂ” значение цены в момент ~, — уровень тренда, о;; — случайное отклонение от тренда, причем величины 8, предполагаются независимымн случайными величинами, имеющими стандартное нормальное распределение, а волатнльность О; вычи~ля~тся по рекуррентной формул~ Здесь Л,а„...,а,„Д,„.,Ф, — параметры модели. Приложение 2. Обоснование вида модели динамики цен на газ и определение параметров модели Для моделирования динамики рыночной цены на газ будет использована модель геометрического броуновского движения ~69~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
