Автореферат (1138401), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Чтобы сделать сопоставления стоимости хеджирования свероятностью успеха возможным, проблема оптимизации (2) переводится в вероятностный видпосредством производных Радона-Никодима:где а - отношение начального капитала к стоимости совершенного хеджа. •В общем случае она решается с помощью численного метода. В каждом состоянии а>рассматривается отношение вклада репликации выплат в физическую вероятность успехахеджирования к приращению в левой части ограничения в проблеме (3):Коэффициент λ (ω) представляет собой относительный вклад в успех хеджирующейстратегии, который дает воспроизведение выплат опциона в состоянии со.
В первую очередь .репликация проводится в состояниях с наивысшими коэффициентами λ (ω)На основе множества хеджируемых состояний рассчитывается структура выплатхеджирующего портфеля. Затем она воспроизводится посредством стратегии динамическогохеджирования.
Для заданного уровня начального капитала вероятность успеха хеджированиязависит от вида и параметров опциона, свойств базового процесса и величины процентнойставки. Проследить успех хеджирующей стратегии в зависимости от этих параметров можно врамках модели Блэка-Шоулса.Оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования заключается в репликацииплатежного обязательства с функцией выплат НTIA., где множество успешного хеджирования Aзадается как:где константа у зависит от допустимого уровня риска, заданного хеджером.
Формамножества успешного хеджирования определяется степенью, в которую возводится курсбазового актива. В случае опциона колл с ценой исполнения К возможны два варианта:Множество успешного хеджирования состоит из одной непрерывной области слева от точкипресечения h (рис.
2). Такая структура выплат воспроизводится комбинацией из двух:стандартных опционов колл СT(К) и CT{h) с ценами исполнения К и h и бинарного опционаколл CoN t(h)10 с ценой исполнения h:__________________________________________________________10 Обозначение бинарного опциона CoN является сокращением от его альтернативного английского названия"cash-or-nothing".Стоимость первых двух составляющих рассчитывается по формуле Блэка-Шоулса.стоимость бинарного опциона колл определяется на основе мартингального подхода.Выплаты хеджирующего портфеля на момент исполнения опциона (рис.
3). можновоспроизвести с помощью комбинации из трех опционов колл СT и двух бинарных опционовВ данном случае не существует однозначной зависимости между вероятностью успехахеджирования и затратами капитала. Решение этой проблемы возможно с помощьючисленных методов.Численный анализ подтверждает, что зависимость относительного успеха хеджирования λ (ω) откурса базового актива определяется соотношением (μ -r)/ ơ2 (рис. 4).
В первом случае среднийтемп роста μ составляет 0.09. и выполняется условие (μ -r)/ ơ2≤1. Во втором случае средний темпроста равен 0.12. и имеет место (μ -r)/ ơ2 >1/ В рассматриваемом примере цена исполнения К=100.ставка процента r=0.06, срок действия T=1. начальный курс базового актива S0=100.волатильность ơ =0.2.Если выполняется условие (μ -r)/ ơ2≤1, сначала хеджируются состояния, близкие к ценелсполнения. При увеличении затрат на защиту от риска во множество успешногохеджирования добавляются состояния, находящиеся по соседству друг с другом.Заштрихованная область на рис. 5 представляет собой структуру множества успешногохеджирования в зависимости от вероятности успеха.Если имеет место (μ -r)/ ơ2 >1, при усилении защиты от риска состояния с низким и высокимкурсом базового актива чередуются.
Тогда множество успешного хеджирования состоит издвух областей, расстояние между которыми сокращается при возрастании вероятностиуспеха (рис. 6).Метод квантильного хеджирования позволяет держателю опционной позиции гибкоопределять оптимальную хеджирующую стратегию на основании своих представлений отемпах роста базового актива, отношении к риску и имеющемся начальном капитале. Вдиссертации с помощью численного анализа исследована зависимость вероятности успеха отсреднего темпа роста, волатильности, срока и цены исполнения, процентной ставки.Основной эффект заключается в воздействии этих показателей на вероятность того, чтоопцион окажется в деньгах. К примеру, при прочих равных более вероятно, что опцион коллокажется в деньгах, если средний темп роста базового актива высок или цена исполнениянизка.
Воздействие других параметров на эффективность защиты от риска может бытьсложнее. Вероятность успеха положительно зависит от волатильности базового актива и срокаисполнения контракта, если средний темп роста положителен. Если он отрицателен, то срокисполнения оказывает негативное воздействие на вероятность успеха. Увеличениеволатильности в этом случае сначала понижает вероятность успеха, а затем, последостижения минимума, снова увеличивает ее. Процентная ставка оказывает положительноевлияние на степень вогнутости зависимости вероятности успеха от стоимости хеджирования.В третьей главе обсуждается метод хеджирования ожидаемых потерь.
Он основывается напонимании риска как ожидаемого убытка. Ожидаемый убыток Ψ равен математическомуожиданию при физической мере вероятности Р от потерь, возможных в незащищенныхсостояниях. Использование критерия ожидаемого убытка в качестве меры риска позволяетконтролировать не только вероятность возникновения потерь, но и их величину. Величинагде IA обозначает индикатор множества незащищенных состояний А.
Это множествосодержит состояния, в которых выплаты опциона превышают выплаты хеджирующегопортфеля. Предположим, что держатель опциона располагает ограниченным капиталомV0,меньшим, чем стоимость совершенного хеджа V0. Перед экономическим агентом возникаетзадача минимизации ожидаемых потерь при ограничении на капитал:Перейдем от минимизации ожидаемых потерь к максимизации ожидаемого успеха, чтопозволит определить целевую функцию и функцию ограничения на одном и том жемножестве. Чтобы сделать возможным сравнение успеха и стоимости хеджирования, задачутакже нужно преобразовать в вероятностный вид:где a равен отношению начального капитала к стоимости платежного обязательства.Как правило, для ее решения применяется численный метод. В каждом состоянии ωопределяется коэффициент λ (ω), равный отношению целевой функции Р* (ω) к ограничениюQ* (ω).
Коэффициент λ (ω)представляет собой относительный вклад в снижение ожидаемогоубытка. Множество успешного хеджирования включает состояния с высокими значениями этогопоказателя, а его размер зависит от величины начального капитала.Наглядно проследить особенности применения метода хеджирования ожидаемых потерь взависимости от параметров опциона позволяет модель Блэка-Шоулса. По аналогии сдискретным временем, в непрерывном времени множество успешного хеджирования состоитиз состояний с высоким относительным вкладом в успех хеджирования, а его размер зависитотвеличиныначальногокапитала(отраженовконстантес):Отметим, что в отличие от аналогичного показателя в случае квантильного хеджирования здесьвеличина параметра у не зависит от состояния ω.
В зависимости от степенивозможны две формы множества успешного хеджирования:Множество успешного хеджирования состоит из состояний, в которых курс превышаетнекоторую границу h. Форма множества успешного хеджирования не зависит от выплатплатежного обязательства. Выплаты опциона колл с ценой исполнения К на множествеуспешного хеджирования воспроизводятся комбинацией из стандартного и бинарногоопционов колл с ценами исполнения h и К:Стоимость опциона колл рассчитывается по формуле Блэка-Шоулса, для оценки бинарногоопциона используется мартингальный подходом.Нижняя граница множества успешного хеджирования h зависит от величины начальногокапитала, соответствующей допустимому уровню ожидаемых потерь. Если опционполностью защищен от риска, то она равна цене исполнения.
С другой стороны, граница Астремится к бесконечности, если держатель опциона отказывается от защиты от риска. Тогдастоимость хеджирующего портфеля равна нулю, а ожидаемый убыток максимален:Максимальный убыток можно использовать для нормализации ожидаемых потерь. Этопозволяет представить их в относительном виде, что делает возможным ихпротивопоставление со стоимостью хеджирования. Определим ожидаемый успеххеджирующей стратегии как разницу между максимальным убытком и допустимым уровнеможидаемых потерь.Вариант 2: μ≤r функция S T (μ-r)/ ơ2 монотонно убываетМножество успешного хеджирования в этом случае охватывает состояния ниже некоторойграницы h. Выплаты опциона колл на этом множестве воспроизводятся при помощикомбинации из двух стандартных опционов колл Ст с ценами исполнения h и К и бинарногоопциона колл CONT С ценой исполнения h:Чтобы полностью защитить опционную позицию от риска, ее выплаты должнывоспроизводиться во всех состояниях.
Верхняя граница множества успешного хеджированиястремится к бесконечности в этом случае, а ожидаемый убыток - к нулю. С другой стороны,множество успешного хеджирования пусто, если держатель опциона отказывается от защиты отриска. Верхняя граница множества h совпадает с ценой исполнения, и ожидаемый убытокдостигает своего максимального уровня (12).На численном примере можно проиллюстрировать относительный вклад в успеххеджирования в зависимости от курса базового актива. Предположим, цена исполненияравна 100, волатильность 0.10, начальный курс 100, срок исполнения равен единице, ставкапроцента 0.06. Если средний темп роста превышает процентную ставку (вариант 1, среднийтемп роста 0,14), то коэффициент λ (ω) возрастает при увеличении курса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
