Диссертация (1137895), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При попытке включить в модельбольшееколичествопеременныхможностолкнутьсяспроблемойнеустойчивости получаемых результатов. В литературе, посвященнойанализу денежно-кредитной политики в России, встречается использованиемоделей векторной авторегрессии для анализа влияния различных факторов(Дробышевский и др., 2009; Granville , Mallick, 2010; Ломиворотов, 2013;Дмитриев, Шугаль, 2006), но в силу описанных выше проблем результаты,полученные этими авторами, не являются устойчивыми и зависят от выборапеременных и временного интервала для оценки.Для того чтобы включить в модель дополнительные переменные и в тоже время избежать проблем с излишней размерностью, мы использовалибайесовский метод оценки моделей с большим количеством переменных(large BVAR model).
Этот метод основан на использовании априорногораспределения специального вида и позволяет оценивать модели с большимколичеством переменных с приемлемой точностью даже на относительнонебольших выборках. Он позволяет естественным образом расширитьстандартнуюмодельвекторнойавторегрессии,включиввнеедополнительные переменные, а также дает возможность экономическойинтерпретации полученных результатов. Данный метод был предложен вработах Доана и др. (Doan et al., 1984) и Литтермана (Litterman, 1986), а вдальнейшем усовершенствован в работах Банбура и др.
(Banbura et al., 2010),Купа (Koop, 2013), Де Мол и др. (De Mol et al.,2008), Гианноне и др.(Giannone et al., 2012), Карриеро и др. (Carriero et al., 2013). При анализероссийской экономики байесовские модели векторной авторегрессиииспользовались в работе Мамтса и др. (Mumtaz et al., 2012), Ломиворотова(2014), Пономаренко А., Дерюгина Е. (2015). Другим широко используемым55методом для оценки больших моделей, является метод выделения основныхфакторов(главныхкомпонент),имеющихнаибольшеевлияниенапеременные модели (Factor Augmented VAR, FAVAR). При этом в уравнениевекторной авторегрессии включаются не все переменные, а только главныефакторы, что позволяет значительно сократить количество оцениваемыхпараметров.
Данный подход был использован в работах Бернанке и др.(Bernanke et al., 2005), Стока и Ватсона (Stock, Watson, 2005), Форни и др.(Forni, 2000; 2009) и других авторов.Стоить отметить, что выбор BVAR модели был обусловлен не тольковысокой точностью прогноза, но и возможностью проводить структурныйанализ экономических взаимосвязей в экономике. Одним из преимуществэтого метода является возможность строить функции импульсных откликов,а также проводить декомпозицию вариации для всех переменных в модели.Как уже было отмечено выше, оценка функций импульсных откликов (IRF)позволяет проводить более детальный экономический анализ взаимодействияразличныхмакроэкономическихиндикаторов,определятьканалытрансмиссии различных шоков и получать экономическую интерпретацию.
Сих помощью можно оценить, как реагируют переменные реального сектораэкономики (производство, инфляция, безработица) на изменение денежныхпеременных, находящихся в ведение регулятора, таких как ключеваяпроцентная ставка, объем рефинансирования банковского сектора, валютныеинтервенции и обменный курс рубля. Также можно оценить степень влияниевнешних шоков: изменения цены на нефть, волатильности на глобальныхфинансовых рынках и изменения процентных ставок в США.Данная глава имеет следующую структуру: во второй части приводитсяописание байесовского метода оценки и выбора априорного распределения; втретьей части главы мы описываем используемые в модели данные, а такжепроцедуру выбора параметров и верификации моделей.
В четвертом разделе56проводится анализ и интерпретация полученных результатов, сравнениеточности прогнозов, полученных с помощью различных моделей.2.2 Описание модели байесовской векторной авторегрессииДля оценки модели мы воспользовались байесовским подходом,который позволяет объединить информацию, содержащуюся в данных, снашими априорными представлениями о распределении коэффициентов.Сделаемнебольшоеотступление,чтобыописатьобщийпринципбайесовской оценки и его отличие от традиционных методов. Рассмотрим этона примере стандартной регрессии: = + ~(0, 2 ),Где – вектор размерности × 1, – матрица размерности × , –независимые случайныевеличины, имеющие стандартное нормальноераспределение.
Для того чтобы оценить эту регрессию необходимо найтинеизвестные коэффициенты модели и 2 . Традиционно это делается либос помощью метода максимального правдоподобия (maximum likelihood),либо с помощью метода оценки наименьших квадратов (OLS). Для тогочтобы получить оценку максимального правдоподобия коэффициентовнеобходимопостроитьфункциюправдоподобиядлянормальногораспределения:( |, 2)2 −/2= (2 )( − )′ ( − )exp(−2 2Оценка коэффициентов получается с помощью максимизации даннойфункции по интересующим нас параметрам. В то же время прииспользовании байесовского метода, помимо существующих данных и мытакжеимеемнекотороепервоначальноепредположениеокоэффициентах.
Это может быть любая доступная нам информация,например, то, что определенные элементы матрицы должны быть равны57нулю.Такимправдоподобияобразом,мыпомимотакжеоценкифункциирасполагаемраспределением для коэффициентовмаксимальногонекоторымаприорным и 2:()~(0 , Σ0 ),(1/ 2 )~Γ(0 /2, θ0 /2),где B имеет нормальное распределение, а 1/ 2 – гамма распределение. Болееподробно способ задания априорных распределений и их коэффициентов длямногомерной векторной авторегрессии приведен далее. Для того чтобыобъединить априорную информацию и информацию содержащуюся ввыборке,воспользуемсяформулойБайесаипостроимсовместноеапостериорное распределение для коэффициентов и 2 :(12, | )~(,12) × ( |, 2 ),где – апостериорное распределение, (,12) – совместное априорноераспределение.Рассмотрим теперь вариант многомернойвекторной регрессии.Воспользовавшись формулой Байеса можно получить апостериорноераспределение для коэффициентов:(, Σ|) = (|, Σ)(, Σ),(2.1)где (|, Σ) – функция максимального правдоподобия для моделивекторной авторегрессии, а (, Σ) – априорное распределение длякоэффициентов.
Также как и для одномерного случая, в многомерном случаеаприорным распределением может быть любое распределение, но напрактике обычно рассматривают семейство сопряженных распределений(conjugate prior).Свойство сопряжённости означает, что априорное иапостериорное распределения принадлежат одному и тому же семействураспределений. Для класса нормальных распределений это свойствопозволяет получать аналитическое представление для апостериорного58распределения и для маржинальных вероятностей, что значительно упрощаетпроцессвычисления.Однимизаприорныхраспределений(, Σ),обладающих свойством сопряженности, является комбинация многомерногонормального распределения и обратного распределения Уишартасопределенным набором параметров. В работах Гианноне и др.
(Giannone etal., 2012) и Блека и Мамтса (Blake, Mumtaz, 2012)было показано, чтоиспользование такого априорного распределения в произведении (2.1)позволяет получить апостериорное распределение коэффициентов, имеющеемногомерное нормальное распределение. В результате этого коэффициентыбайесовской модели могут быть получены аналитическим способом, чтозначительно сокращает время вычисления. В общем случае в качествеаприорного распределения можно использовать любое распределение,удовлетворяющее требованиям модели, при этом коэффициенты байесовскоймодели могут быть посчитаны с помощью численных методов Монте-Карло,например, алгоритма Гиббса (Blake, Mumtaz, 2012; Chib, 1995).Рассмотрим стандартную модель векторной авторегрессии, приведенную ксокращенному виду:Yt = C + B1 Yt−1 + ⋯ + Bp Yt−p + εt(2.2)εt ~N(0, Σ),где Yt = (y1,t y2,t … yn,t )′ – вектор переменных модели, p — количество лагов,εt – ошибка, имеющая стандартное нормальное распределение.
Каждое изуравненийпеременныеимеет =×+1следующимкоэффициентов.образом:Перегруппируем = [C ′ , B ′1 , … , B ′ p ]′иXt = (1, Y′t−1 , … , Y′t−p ) получим:1′1′[ … ] = [ … ] B + E,′′Y = XB + E,(2.3)59где Y – матрица размерностью × , – матрица × , – матрица всехкоэффициентов модели размерностью × , – матрица ошибок,размерностью × .Рассмотрим выбор априорного распределения для коэффициентов –вторую компоненту в уравнении (2.1). В качестве сопряженного априорногораспределения для коэффициентов модели (матрицы и Σ) традиционнорассматривают комбинацию многомерного нормального распределения иобратного Уишарт распределения:(, Σ) = (|Σ)(Σ),(2.4)где (|Σ) – многомерное нормальное распределение, а (Σ) — обратноераспределение Уишарта.
Распределение Уишарта это многомерный случайГамма распределения, которое используется для моделирования матрицыковариаций. Если матрицаимеет распределение Уишарта, то для матрицыΣ = Ω−1 получим обратное распределение Уишарта:Σ~IW (0 , 0 ),P(Σ|S, ) = c̃|Σ|−(++1)/2 exp (−(Σ−1 )2),где S – положительно определенная симметричная матрица размерности × , – параметр степеней свободы.Используя нормальное распределение B|Σ~N(0 , Σ⨂Ω0 ) и обратноераспределение Уишарта Σ~IW (0 , 0 ), уравнение (2.4) можно представить вследующем виде:(, ) = (|)() = ((0 ), ⨂0 )(0 , 0 ) ,(2.5)где параметры B0 , Ω0 , 0 и 0 определяют характеристики априорногораспределения, а (∙) – функция векторизации. Для того чтобы точнозадать априорное распределение необходимо определить параметры B0 , Ω0 ,0 и 0 .60Наиболее распространенным подходом при задании коэффициентов вуравнении(2.5)являетсяиспользованиеаприорногораспределенияМиннесота (Minnesota prior).
Первоначально идея данной параметризациипринадлежала Литтерману (Litterman, 1986), в результате чего она получиланазвание “Миннесота” априори (по названию места, где проводилисьисследования). Идея, на основе которой была построена эта параметризация,заключается в том, что многие макроэкономические переменные следуютпроцессу случайного блуждания (random walk). В то же время прогнозы,построенные с помощью этой простой модели зачастую дают результатылучше, чем более сложные структурные модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
