Диссертация (1137382), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мы их выбираем так, какпоказано на Рис. 2.4: геометрически,2соответствует приращению аргументаконца системы, когда ✓3 = 0. В этом случае, аргумент не меняется, когда ✓2делает полный оборот. Действительно, поскольку стороны удовлетворяют нера�венству треугольника, l2 < l1 + l3 и второй вращающийся вектор никогда необойдет ноль, если третий и первый вектора направлены в одну и ту же сто�рону. Аналогичным образом,3= 1, поскольку приращение аргумента равно2⇡, когда третий отрезок делает один оборот, а второй отрезок фиксирован внаправлении ✓2 = ⇡. Таким образом, имеемreg [!2 , !3 ]= !3 .Складывая значение биполярной части и регулярной части, мы получимответ для асимптотической скорости: ! =↵2⇡ !2+↵3⇡ !3 .Возвращаясь обратно квращающейся цепи, где первый отрезок вращается (!1 6= 0), му получим ответP ↵в общем случае, ! = !1 + ↵⇡2 (!2 !1 ) + ↵⇡3 (!3 !1 ) = j ⇡j !j .
Таким образом,Теорема 2 доказана. ⇤2.2. Задача Лагранжа на произвольной римановойповерхностиЗаметим, что задача Лагранжа может быть сформулирована на произволь�ной римановой поверхности M , если• M ориентирована (это условие нужно для того, чтобы корректно опреде�лить угловые скорости и говорить о вращении)• M полная как метрическое пространство (это условие нужно для того,чтобы иметь возможность соединять точки на поверхности геодезически�ми путями и корректно определить вращающуюся цепь)Фиксируем некоторую точку 0 2 M на поверхности, которая будет базойдля вращающейся цепи.Рассмотрим N отрезков геодезических длин l1 , l2 , .
. . , lN на M так, чтоони фомируют цепь тем же образом, что и в случае вращающейся цепи на ев�клидовой плоскости. Также фиксируем начальные позиции этих геодезическихотрезков (в момент времени t = 0). В случае задачи Лагранжа для евклидовойплоскости, углы01, . . . ,0Nиспользовались для того, чтобы определить исход�ную позицию вращающейся цепи на евклидовой плоскости с помощью (2.1).Эти углы определялись как углы с общим горизонтальным направлением.Для произвольной римановой поверхности общее горизонтальное направ�ление не может быть определено, поэтому теперь мы определяем исходные по�зиции отрезков по отношению к позициям предшествующих интервалов. Такимобразом,0jесть угол между геодезической, соответствующей исходной позицииотрезков с номерами j и jОтображение1, см.
Рис.2.5.тора TN на поверхность M , соответствующее концу вра�щающейся цепи отрезков с длинами l1 , . . . , lN всё ещё может быть определено.Действительно, зафиксировав угловые скорости !j , мы можем сказать, что каж�дый отрезок вращается вокруг конца предыдущего отрезка с соответствующейРис. 2.5. Два различных способа определить начальные позиции отрезков: первый - по от�ношению к общему горизонтальному направлению (возможный на евклидовой плоскости),второй - по отношению к положению предыдущих отрезков (общий случай).скоростью (понятие угла определено).
Таким образом, с помощью линейноговекторного поля (2.2) мы определяем движение вращающейся цепи на ориенти�рованной полной поверхности M .Тот же вопрос об асимптотической угловой скорости (2.3), что и в евкли�довом случае, может быть поставлен, если длины lj достаточно малы для того,чтобы было возможно опеределить локальную карту на комплексной плоскости,моделирующую проблему и корреткно определить приращение аргумента.2.2.1. Поверхности постоянной кривизныВопрос о нахождении асимптотической скорости для вращающейся цепипри N = 3 на плоскости Лобачевского M = H2 был поставлен нам А.М. Сте�пиным.
Эта задача может быть решена прямым подсчетом в модели Пуанкарев круге гиперболической плоскости (аналогичным подсчету в евклидовом слу�чае, [107]). Однако, напрямую такое рассуждение требует большого количествавычислений (восьми страниц двойных интегралов). Это было поводом для наснайти более простое рассуждение. Рассуждение, представленное в параграфе2.1.4 для евклидова случая чисто геометрическое, и может быть обобщено наслучай плоскости Лобачевского.Теорема 4. Рассмотрим динамику вращающейся цепи типа l = (l1 , l2 , l3 ) под8действием векторного поля (2.2) на плоскости Лобачевского H2 . Предполо�жим, что числа lj удовлетворяют всем трем неравенствам треугольника ичто !1 , !2 , !3 рационально независимы.
Тогда асимптотичская скорость (2.3)существует и равна выпуклой комбинации!=↵1 + A↵2↵3!1 + ! 2 + !3⇡⇡⇡(2.10)где ↵j являются углами треугольника, сформированного отрезками со сторо�нами l1 , l2 , l3 , а A – его площадь . Угол ↵j > 0 расположен соответственнонапротив стороны lj .Доказательство. Доказательство этой теоремы повторяет доказательство вевклидовом случае параграфа 2.1.4.
Во-первых, важно заметить, что Предло�жение 1 выполнено и для гиперболической геометрии (доказательство повторя�ется дословно), поэтому мы можем считать, что !1 = 0. Основной аргумент сприменением лагранжевой формы повторяется дословно. Однако, при возвра�щении к случаю !1 6= 0, ответ изменится, так как сумма углов треугольника вгеометрии Лобачевского уже не совпадает с ⇡ и окончательным ответом будетформула (2.10). ⇤Заметим, что ответ для задачи Лагранжа на плоскости Лобачевского несим�метричен по отношению к перестановкам отрезков (второй и третий отрезкиравноправны, в то время как первый играет особую роль).Дадим важноеЗамечание 1.
Заметим, что благодаря Предложению 1, мы можем, перехо�дя к !1 = 0, уменьшать размерность фазового пространства с трех до двух.˜2, !˜3)Таким образом, после перехода от системы (!1 , !2 , !3 ) к системе (0, !с !˜ j = !j!1 мы видим, что важным условием для выполнения условий˜ 3 . Для ра�эргодичности является условие рациональной независимости !˜2 и !˜ 3 , асимптотическая скорость ! очевидно, такжеционально зависимых !˜2 и !8799будет существовать, поскольку система будет периодична. В этом случае,предельная скорость определяется как отношение приращения аргумента запериод к длине периода.Таким образом, асимптотическая скорость ! при N =3 существует длялюбых значений угловых скоростей, а не только в случае рациональной неза�висимости. Факт существования асимптотической скорости для всех значе�ний !j для общего N доказан Джессеном и Торнхейвом.
Для N = 3 в случаегеометрии Лобачевского этот результат является новым.Итак, получен ответ для задачи Лагранжа на евклидовой плоскости и плос�кости Лобачевского для вращающейся цепи из трёх звеньев. В случае сфериче�ской геометрии, рассуждения, сходные рассуждениям в доказательствах Теорем2 и 4 повторяются. Однако вращающаяся цепь должна быть не слишком длин�ной, чтобы аргумент был корректно определен. Таким образом формулировкатеоремы для сферического случая такова (важно заметить замену знака):Теорема 5. Рассмотрим динамику вращающейся цепи типа l = (l1 , l2 , l3 ) поддействием векторного поля (2.2) на двумерной сфере S2 .
Предположим, чточисла lj удовлетворяют всем трем неравенствам треугольника и что суммаl1 + l2 + l3 меньше, чем расстояние между двумя полюсами на сфере, а такжечто !1 , !2 , !3 рационально независимы. Тогда асимптотичская скорость (2.3)существует и равна выпуклой комбинации!=↵1A⇡!1 +↵2↵3!2 + !3⇡⇡(2.11)где ↵j являются углами треугольника, сформированного отрезками со сторо�нами l1 , l2 , l3 , а A – его площадь .
Угол ↵j > 0 расположен соответственнонапротив стороны lj .2.2.2. Случай произвольной римановой поверхности: свойствовоздушного змеяРассмотрим задачу Лагранжа на произвольной ориентированной и полнойримановой поверхности, см. начало Раздела 2.2, где дается ее формулировка.Различие со случаем постоянной кривизны состоит в отсутствии изотропии иоднородности: геометрия поверхности зависит не только от точки, в которойгеометрия рассматривается, но и от направления. Эта проблема решается методусреднения по направлению.Фиксируем некоторую точку 0 на поверхности и рассмотрим вращающую�ся цепь типа (l1 , l2 , l3 ) с базой (началом первого отрезка) в точке 0.Как видно из основного аргумента параграфа 2.1.4, приращение аргументапроисходит, когда конец вращающейся цепи проходит через 0. Этим моментамсоответствуют конфигурации, когда отрезки с длинами l1 , l2 , l3 формируют тре�угольники с одной из вершин в нуле так, что отрезки с длинами l1 и l3 проходятчерез эту вершину.Заметим, что в евклидовой геометрии M = R2 (а также в гиперболическойгеометрии M = H2 ) выполнено следующее свойство:Определение 4 (Свойство воздушных змеев на поверхности M .).
Мы будемговорить, что ориентированная полная риманова поверхность M обладаетсвойством воздушных змеев в точке 0 2 M , если для любых трёх чиселl1 , l2 , l3 2 R+ , удовлетворяющих трем неравенствам треугольника и для лю�бого направления ' 2 S1 существуют два треугольника на поверхности M состоронами l1 , l2 , l3 такие, что• оба эти треугольника имеют вершину в точке 0• для обоих треугольников, стороны с длинами l1 и l3 проходят через 0• сторона длины l1 – общая для обоих треугольников и имеет направлениеРис.
2.6. Пересечению двух малых выпуклых дисков на римановой поверхности соответству�ют две точки, соответствующие двум вершинам треугольников со сторонами длин l1 , l2 , l3 .' (формально говоря, соответствующий касательный вектор к геодези�ческой пропорционален вектору, определенному ' 2 S1 )Это в точности то самое свойство, что мы используем в доказательствеТеорем 2 и 4. В случае геометрий Евклида и Лобачевского углы ↵1 , ↵2 и ↵3 втреугольниках, формирующих воздушного змея, не меняются при изменении' 2 S1 .Для случая произвольной поверхности свойство воздушных змеев можетне выполняться. Также соответствующие углы (если они существуют) ↵1 ('),↵2 ('), ↵3 (') являются функциями направления ' первого отрезка.Однако заметим, что несмотря на то, что свойство воздушных змеев невыполнено в общем, оно выполнено для достаточно малых длин l1 , l2 , l3 .Предложение 4.
Для любой полной ориентированной римановой поверхно�сти M свойство воздушных змеев выполнено для достаточно малых l1 , l2 , l3 <l = l(M ), где константа l(M ) зависит от поверхности.Доказательство. Это свойство практически очевидно и следует из того фак�та, что малые диски являются выпуклыми множествами на любой римановойповерхности. Поэтому диск радиуса l2 с центром в конце отрезка длиной l1 пере�сечет диск радиуса l3 с центром в точке 0 ровно в двух точках, см. Рис. 2.6. Этидве точки будут соответствовать третьим вершинам треугольников, которые0нас интересуют.Конечно, углы этих треугольников будут зависеть от направления '.
⇤Теперь мы можем сформулировать ответ на задачу Лагранжа в случаепроизвольной римановой поверхности.2.2.3. Формулировка и доказательствоТеорема 5. Рассмотрим произвольную ориентированную полную римановуповерхность M и динамику вращающейся цепи типа (l1 , l2 , l3 ) на ней под дей�ствием векторного поляX = !1@@@+ !2+ !3@✓1@✓2@✓3(2.12)на трехмерном торе T3 (см. параграф 2.1.1 с определениями). Предположим,что базовая точка цепи – некая точка 0 2 M на поверхности. Также пред�положим, что угловые скорости !j 2 R рационально независимы.
Тогда длялюбой вращающейся цепи с достаточно малыми длинами звеньев lj (настоль�ко, что выполняется свойство воздушых змеев), асимптотичнская угловаяскорость существует и равна выпуклой комбинации исходных угловых скоро�стей! = !1 q1 + !2 q2 + !3 q3с угловыми коэффициентами qj , выражающимися через геометрическиехарактеристики поверхности. А именно,1q2 =2⇡1q3 =2⇡ZS1ZS1↵2+ (') + ↵2 (')d',2⇡↵3+ (') + ↵3 (')d',2⇡q1 = 1q2q31и где углы ↵2± , ↵3± определяются как (положительные) углы треугольни�ков, образованных по правилу воздушных змеев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
