Диссертация (1137382), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Основной технический шаг в доказательстветеоремы 1 следующий:Теорема 3. Если ориентированный граф G содержит хороший подграф (какXX= Fsync(с точностью до множеств меры нуль).в определении 1), то F2kМы докажем эту теорему в следующем параграфе, а в §3.3 выведем из неётеорему1.13.2.Доказательствотеоремы3Пусть u, w 2 V , а p, q, p⇤ , q ⇤ � ориентированные пути в G, удовлетворяю�щие условиям из определения 1. Нам потребуется ещё несколько обозначений:Обозначение 2. Пусть s[n,m] = (sn , sn+1 , . . . , sm ) 2 V mn+1, где s 2 V N и n < m� натуральные числа.
Пусть, кроме того, s[n,1) = (sn , sn+1 , . . .) 2 V N .Введём следующие обозначения:• ⌧n : V N ! N � время n-го появления upq или uqw. Другими словами,⌧n (s) � наименьшее такое натуральное число, что существуют i1 < i2 <. . . < in , где in = ⌧n (s), такие, что для каждого js[ij ,ij +k+1] 2 {upw, uqw}.• !n : V N ! V N � отображение, определённое так:8<s[1,⌧n (s)] qs[⌧n (s)+k+1,1)!n (s) =:sps[1,⌧n (s)][⌧n (s)+k+1,1)if s[⌧n (s),⌧n (s)+k+1] = upwif s[⌧n (s),⌧n (s)+k+1] = uqw• Заметим, что отображение !n обратимо.
Поэтому можно определитьV N ! V N так:8< ! (s)⇤n[2k+1,⌧n (s)+k] p !n (s)[⌧n (s)+1,1) ,( n !n (s)) =⇤: !n (s)[2k+1,⌧n (s)+k] q !n (s)[⌧n (s)+1,1) ,8<s⇤[2k+1,⌧n (s)] qp qs[⌧n (s)+k+1,1) ,=:spq ⇤ ps,[2k+1,⌧n (s)][⌧n (s)+k+1,1)n:если s[⌧n (s),⌧n (s)+k+1] = upwесли s[⌧n (s),⌧n (s)+k+1] = uqwесли s[⌧n (s),⌧n (s)+k+1] = upwесли s[⌧n (s),⌧n (s)+k+1] = uqw• Напомним, что ⌫ � это ⇧-стационарная мера на V . Пусть ⌫˜ � соответ�ствующая мера на V N . Более точно, для любых t1 , . .
. , tn 2 V ,⌫˜({s 2 V N : si = ti 81 i n}) = ⌫(tn )⇧t = ⌫(tn )⇧tn ,tn 1 · · · ⇧t2 ,t1 .1• Пусть C > 0 � такая константа, что почти всюдуC1d(!n 1 )⇤ ⌫˜(s) C,d˜⌫C1d((n !n )d˜⌫1)⇤ ⌫˜(s) CСуществование такой константы следует из того, что V конечно (поэтомуотношение двух элементов матрицы ⇧ равномерно ограничено сверху) ииз явных вычислений с использованием приведённых выше формул.Напомним, что отображение: V N ! V N определено по формуле (s)i =si+1 . Обозначим через dV N функцию расстояния на V N , определённую так: dV N (s1 , s2 , . .1n,где n � наибольшее такое натуральное число, что si = ti для всех i < n.Предложение 2. Для каждого n > 2k + 1,1. 8s 2 V N , dV Nn !n (s),2. 8s 2 V N , dV N (s, !n s) 3. графы !n и4.
8s 2 AN , ↵(n2k!n (s) 1⌧n (s) k ;1⌧n (s) ;содержатся в Rsync ;n !n s, !n s)5. 8f 2 L1 (AN ), kf= ↵(2k!n s, s).!n k1 Ckf k1 and kfn k1 C 2 kf k1 .Доказательство. Утверждения пунктов 1 и 2 очевидны. Ясно, что графикотображения !n содержится в множестве Rsync . Отсюда следует, что графикn !nсодержится в Rsync и, следовательно, так как отображение !n обратимо,графикnсодержится в Rsync .В следующих вычислениях индекс n опущены для простоты. То есть,n, !== !n , ⌧ = ⌧ n .Предположим, что для s 2 V N выполнено s[⌧ (s),⌧ (s)+k+1] = upw. ПустьN = ⌧ (s).
Так как ( !(s))i = !(s)i для всех i > N , из определения ↵ следует,120 107что⇣↵( !s, !s) = L( !(s)1 ) · · · L( !(s)N ) L(!(s)1 ) · · · L(!(s)N )= L(s1+2k ) · · · L(sN )L(q1 ) · · · L(qk )L(pk )Так как (2k!s)i2k1⌘· · · L(p1 )11⇣L(s1 ) · · · L(sN )= (!s)i = si для всех i > N + k, из определения ↵ следует,что↵(2k!s, s) = L(2k!(s)1 ) · · · L(⇣2k⌘1!(s)N k ) L(s1 ) · · · L(sN +k )⇣⌘ 1= L((!s)1+2k ) · · · L((!s)N +k ) L(s1 ) · · · L(sN +k )⇣⌘= L(s1+2k ) · · · L(sN )L(q1 ) · · · L(qk ) L(s1 ) · · · L(sN )L(p1 ) · · · L(pk )1= ↵( !s, !s).Случай, когда s[⌧ (s),⌧ (s)+k+1] = uqw, аналогичен рассмотренному.
Утверждениеиз пункта 4 доказано.Константа C > 0 была выбрана таким образом (см. сразу перед этимпредложением), что для каждой f 2 L1 (V N )kf!k1 Ckf k1 ,kf!k1 Ckf k1 .Так как отображение ! обратимо, из этого следует, чтоkfk1 = kf! ! 1 k1 Ckf!k1 C 2 kf k1 .Здесь был использован тот факт, что ! = ! 1 . Это доказывает последнее утвер�ждение.Определение 4. Определим отображениеX: V N ⇥X ! V N ⇥X так:X (s, x)=( s, ↵( s, s)x). Заметим, что ↵( s, s) = s1 1 . Поэтому можно написать и так:X (s, x)= ( s, s1 1 x).Лемма 2.
Существуют такие измеримые отображенияV N ⇥ X (для n > 2k + 1), чтоn,n , ⌦n: VN⇥X !⌘111. для всех f 2 L1 (V N ⇥ X), limn!1 kfn2. для всех f 2 L1 (V N ⇥ X), limn!1 kf⌦n3. графики отображений⌦n2kXfn k1= 0;f k1 = 0;содержатся в множестве RXsync .andДоказательство. Для целого n > 2k + 1, пустьnи !n � такие, как в предло�жении 2. Определим⌦n (s, x) := (!n s, x)n (s, x):= (!n s, ↵(!n s, s)x)n (s, x):= (n s, ↵( n s, s)x).Поскольку графики отображенийотображенийnиnnи !n содержатся в Rsync , графикисодержатся в RXsync . Пусть dX � метрика на X, которая ин�дуцирует борелевскую структуру на X и в которой это пространство компактно.Пусть (s, x), (s0 , x0 ) 2 V N ⇥X, определим d⇤ ((s, x), (s0 , x0 )) = dX (x, x0 )+dV N (s, s0 ).Из предыдущего предложения следует, что, d⇤ (⌦n (s, x), (s, x)) = dV N (!n (s), s) 1/⌧n (s) 1/n.
Кроме этого, из него следует, что:n ⌦n (s, x)2kXn (s, x)= (n !n s, ↵( n !n s, !n s)x)2kX (!n s, ↵(!n s, s)x)== (2k2k!n s, ↵(=(2k!n s, ↵(!n s, s)x) = (2k!n s, !n s)↵(!n s, s)x)!n s, ↵(Значит, из предыдущего предложения следует, что d⇤ (1/(n2knn !n s, !n s)x).⌦n (s, x),2kXn (s, x))k). Значит, если f � непрерывная функция на V N ⇥ X, то по теоремеоб ограниченной сходимостиlim kfn!1n⌦nflim kfn!12kXn k1⌦nf k1 = 0.= 0Из предыдущего предложения следует, что операторы f 7! f ⌦n , f 7! ff 7! fnnиограничены, если f 2 L1 (V N ⇥ X), и граница не зависит от n.
Легко1видеть, что f 7! f2kX� тоже ограниченный оператор на L1 (V N ⇥ X) (по�скольку множество V конечно, и ⌫˜ � марковская мера). Так как ограниченныефункции плотны в L1 (V N ⇥ X), лемма доказана.Теперь мы можем доказать теорему 3.XДоказательство теоремы 3. Заметим, что F2kXFsync. Поэтому достаточнопоказать, что, если функция f 2 L1 (V N ⇥ X) RXsync -инвариантна, то она иRX2k -инвариантна. Поскольку отображение2kXи отношение RXsync порождают от�1NXношение RX2k , достаточно показать, что если f 2 L (V ⇥X) Rsync -инвариантна,то f2kX= f.Пустьn,n , ⌦n(n > 2k + 1) те же, что в предыдущей лемме.
Так какf RXsync -инвариантна, и графикf для всех n. Показать, чтоnXсодержится в множестве RXsync , то fn=сохраняет отношение эквивалентности в тосмысле, что⇣⌘(s, x), (t, y) 2 Rsync )⇣X (s, x),X (t, y)⌘2 Rsync .� это несложное упражнение. Отсюда следует, что отображение fвариантно. Поскольку графиквсех n. Имеем теперьkff2kX k1nсодержится в RXsync , f= kff2kX kffn= kff2kX2kXn=fRXsync - ин�2kXдляn k1⌦n k1 + kf⌦n k1 + kfnn⌦n⌦nff2kX2kXn k1n k1 .Переходя к пределу при n ! 1 и воспользовавшись при этом предыдущейлеммой, получаем, что f = f2kX,что и требовалась.13.3.Доказательствотеоремы1Предложение3.Пусть⇧,V,L� те же,чтоивыше.Длякаждогоv2Vобозначимчерезv Fподгруппу,порождённуювсемиэлементамивидаL(p),гдеpv�ориентированныйпутьизвершиныvвсебявграфеG.Еслиv =Fдля некоторой вершины v 2 V и граф G строго связен, то F1X � -алгебра,порождённая всеми множествами вида VN ⇥A, где A ⇢ X � это измеримоеF-инвариантное множество.
В частности, если Fy(X, µ) эргодично, то F1X три�виальна.Доказательство. Переходя к разложению на эргодические компоненты, мы мо�жем предположить, что Fy(X, µ) эргодично. Поскольку RX1 порождено отоб�ражениемX,достаточно доказать, чтоXэргодично.Пусть Y ⇢ V N ⇥ X � это множество всех таких пар (s, x), что s1 = vи v 2 V выбрана так, чтопреобразование:v= F. Пусть T : Y ! Y � индуцированноеT (s, v) =где nnX (s, v),1 � наименьшее такое натуральное число, чтоnX (s, v)2 Y . По теоремеКакутани [64, теорема 3 (a) ) (f)], из эргодичности Fy(X, µ) следует, что Tэргодично.Предположим теперь, что Z ⇢ V N ⇥ X измеримо,X -инвариантнои имеетположительную меру.
Тогда Y \ Z T -инвариантно. Так как G строго связен,⌫˜ ⇥ µ(Y \ Z) > 0. Поскольку T эргодично, из этого следует, что Y \ Z = Y= VN ⇥Xс точностью до множеств меры нуль. С другой стороны, [1i=0iXYследует, что Z � множество полной меры, и, следовательно,эргодично, что(с точностью до множеств меры нуль), потому что G строго связен. ОтсюдаXи требовалось.Лемма 3. Для любой функции f 2 L1 (V N ⇥ X) и любого k 2 N,k 11XE[fk i=0iXX |Fk ]= E[f |F1X ].111124Доказательство.
Так как F1X � сигма-алгебраX -инвариантныхизмеримыхмножеств, из теоремы фон Неймана об эргодичности в среднем следует, чтоnk 11 Xfnk i=0iX! E[f |F1X ]в L1 при n ! 1. Возьмём условное математическое ожидание выражений,стоящих в обеих частях. Учитывая, что F1X ⇢ FkX , мы получаем:nk 11 XE[fnk i=0kX -инвариантна,Поскольку FkXiXX |Fk ]iXX |Fk ]! E[f |F1X ].мы получаем равенство E[fдля любого i. Поэтому для любого nnk 11 XE[fnk i=0k+iXX |Fk ]= E[fk 1iXX |Fk ]1X=E[fk i=0iXX |Fk ].Это доказывает лемму.Вывод теоремы 1 из теоремы 3. Не теряя общности, мы можем предположить,что действие Fy(X, µ) эргодично. Обозначим через ⇡ : V N ⇥ X ! V ⇥ X отоб�ражение проекции ⇡(s, x) = (s1 , x).Обозначим через BV ⇥X борелевскую сигма-алгебру на V ⇥ X.
Пусть F Xn� наименьшая сигма-алгебра на V N ⇥ X, содержащая (⇡каждого mm 1X ) (BV ⇥X )дляn.Рассмотрим индуцированный марковский оператор ⇧X : L1 (V ⇥ X) !L1 (V ⇥ X), заданный формулой⇧X (')(x, v) =X⇧w,v '(w, Tv x).w2VЗаметим, что для n2⇧nX (')(x, v) =Xt1 ,...,tn 2V⇧(t1 ,...,tn ,v) '(t1 , T(t2 ,...,tn ,v) x).125112Таким образом,(⇧nX ') ⇡nX )(s, x)= (⇧nX ')(sn+1 , T(s11,...,sn ) x)X=⇧(t1 ,...,tn ,sn+1 ) '(t1 , T(t2 ,...,tn ,sn+1 ) T(s11,...,sn ) x)t1 ,...,tn 2V= E['⇡|F Xn+1 ](s, x).Из обратной теоремы о сходимости мартингалов следует, чтоX]E['⇡|F Xn+1 ] ! E['⇡|FsyncXX= F2k. Следовательно,в L1 (V N ⇥ X) при n ! 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
