Диссертация (1137382), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Эта за�дача была решена в серии работ Болем, Хартманом, Ван Кампеном и Вейлем.Мыприводимбиблиографическуюсправку,и,наконец,даемновоедоказатель�ствотеоремыобасимптотическомповедениивклассическомслучае.ВРазделе2.2мыформулируемзадачудляпроизвольнойримановойповерхности,идаемдоказательство, основанное на доказательстве классического случая в Разделе2.1.2.1.КлассическаязадачаЛагранжа:евклидоваплоскость2.1.1.ОпределенияиисториязадачиФиксируемвещественныечислаl1, l2, .
. . , lN2R+ирассмотримотображе�ниеN -мерноготораTNнакомплекснуюплоскостьC,котороеҹүҺүҬҸҮҲҼточку (✓1 , . . . , ✓N ) 2 TN в точкуNX0(2.1)lj ei j e2⇡i✓j .j=1Мы будем называтьвращающейся цепью типа l = (l1 , . . . , lN ) на ком�плексной плоскости. Здесь числа ei0jопределяют исходные позиции отрезков,являющихся звеньями цепи.Интересным вопросом является, например, топология1(z) для неко�торого фиксированного z: этот вопрос изучался, среди прочих, Жан-КлодомОсманом в [99, 100]. Мы добавим к геометрической конструкции вращающейсяцепи динамику.Рассмотрим линейный поток 't на TN , заданный векторным полемX=NX!jj=1@, !j 2 R.@✓j(2.2)Этот поток 't задает динамику вращающихся цепей: каждое звено j цепи вра�щается с постоянной угловой скоростью !j вокруг конца предыдущего звенаj1.
Интересующий нас вопрос таков: имеет ли конец системы (конец N -огозвена) асимптотичсекую угловую скорость в данном движении и если да, товозможно ли рассчитать ее значение ! как функцию длин lj и угловых ско�ростей !j ? Строго говоря, асимптотическая скорость определяется следующимобразом:Определение 1. Для динамики вращающейся цепи l = (l1 , . . . , lN ) , заданнойпотоком векторного поля (2.2), асимптотическая скорость конца системы !определяется как пределarg z(T )T !+1T! = lim(2.3)где arg есть непрерывно определенное на пути z(t) значение аргумента функ�ции z(t), где z(t) 2 C – координата конца системы.84 72Рис. 2.1.
Вращающаяся цепь типа (l1 , l2 , l3 ), соответствующая векторному полю (2.2), N = 3Пока мы предполагаем, что цепь не проходит через начало координат:z(t) 6= 0. В этом случае вдоль кривой z(t), t 2 R+ возможно определить непре�рывное значение аргумента.См. Рис. 2.1 для изображения вращающейся цепи.Вопрос нахождения асимптотической скорости для вращающейся цепи былвпервые поставлен Лагранжем в его двухтомной работе [101] по небесной меха�нике.Формулировка этой задачи напоминает теорию эпициклов Гиппарха Ро�досского второго века до нашей эры: идеей теории было разложение движенияпланет на сумму круговых движений. Естественно, Лагранж (следуя работамКеплера, Гука и Ньютона) знал, что теория эпициклов не подходила для описа�ния движения планет солнечной системы и что движение планет на самом делебыло чрезвычайно сложным (хоть и близким к эллиптическому движению).Конец вращающейся цепи (l1 , .
. . , ln ) в момент времени t задается формулой00z(t) = l1 ei 1 ei!1 t + . . . + lN ei N ei!N t ,где0j(2.4)задают начальные позиции отрезков (по отношению к общей горизонта�ли). Таким образом, интересующий нас конец системыz(t) = r(t)exp(i'(t))(2.5)– комплексное число с модулем r и аргументом ', которые зависят от времени.При изучении возмущений движения Земли под действием силы притя�жения больших планет, Лагранж смотрел на функции r(t) и '(t) как на экс�центриситет и долготу перигелия орбиты планеты во время t. Затем, следуядифференциальным уравнениям движения (дифференциальные уравнения за�дачи N тел) с целью определить, чему равны r и ', в первом приближенииЛагранж получил формулу (2.4).Таким образом, изучение изменения долготы перигелия привело Лагранжак изучению изменения аргумента экспоненциального полинома в правой части(2.4).Лагранж ответил на вопрос об асимптотической скорости для N = 2, когдаили l1 > l2 или l2 > l1 .
В этом случае ! = !j , где j - номер более длинногоотрезка.Заметим, что идеи Лагранжа обобщаются на случай произвольного N .Если один из членов lj ee✓j (преобладающий член) больше суммы модулей остав�шихся членов (в этом случае вращающуюся цепь мы называем лагранжевой),то вращающаяся цепь никогда не пройдет через ноль, а также асимптотическаяскорость конца системы будет совпадать с асимптотической скоростью самогодлинного из звеньев и угол '(t) в уравнении (2.5) будет иметь асимптотику'(t) = !j t + O(1).Общий случай Лагранжем рассмотрен не был, и он даже пишет: "Horsde ces deux cas, il est fort difficile et peut-être même impossible de se prononcer,en général, sur la nature de l’angle '."В переводе на русский, "помимо этихдвух случаев очень сложно и наверное даже невозможно, в общем, понятьприроду угла ' (в нащих обозначениях, !). Сейчас мы знаем, что Лагранжбыл слишком пессимистичен: ответ в общем случае был получен в ряде работП.
Болем, П. Хартманом, Е.Р. Ван Кампеном, А. Винтнером и Г. Вейлем, см.работы [102–104], в которых угол подсчитывается напрямую (с использованиемэргодической теоремы).Заметим, однако несколько сложностей: во-первых, Лагранж интересовал�ся значением асимптотической скорости для всех значений !j , однако методыВейля и др. работали не во всех случаях. Решение значительно упрощалось вслучае рационально независимых !j , однако не работало в произвольном слу�чае. Полное решение задачи было позднее получено Джессеном и Торнхейвом,см. более подробный обзор вопроса в [105].Стоит отметить, что задача Лагранже может быть рассмотрена также внамного более общем контексте почти периодических функций, см. [106].2.1.2.
Что происходит при прохождении цепью через точку 0Если в экспоненциальном полиноме (2.4) нет преобладающего слагаемо�го, то вращающаяся цепь может пройти через 0. Однако даже в этом случае,асимптотическую скорость ! для цепи все равно можно определить. Во-первых,если z(t) = 0 в конечном числе точек на временной оси, тогда, очвеидно, пре�дел (2.3) имеет смысл при T ! 1. Однако, может случиться, что множество{t : z(t) = 0} бесконечно (заметим, что это случается даже в случае N = 2 иl1 = l2 ).В этом случае мы определим непрерывное значение для arg z(t) следу�ющим образом.Заметим, что z(t) – аналитическая функция, поэтому при z(t) = 0 каса�тельная прямая к кривой z(t) все ещё корректно определена при z(t) = 0. Этоверно даже если z(t) имеет сингулярность при прохождении через 0.
Углы на�клона касательных прямых к различным ветвям кривой в сингулярности равныпо mod ⇡ . Поэтому аргумент z(t) при прохождении через 0 может быть опре�делен как угол, соответствующий углу наклона соответствующей касательнойпрямой.Таким образом, рассматривая аргумент по меньшему модулю ( mod ⇡,а не 2⇡) и полагая, что r(t) может принимать отрицательные значения (ме�нять знак, когда t проходит через ноль нечетного порядка функции z(t)), мыможем придать смысл аргументу, и соответственно, пределу (2.3). Например,в случае N = 2 и l1 = l2 и для этого нового определения мы будем иметь7'(t) = 12 (!1 + !2 )t + o(t). Это может быть проверено явным вычислением, см.[105].
См. также [108] для более простого доказательства. В дальнейшем мырассматриваем задачу в таком контексте.2.1.3. Формулировка теоремы: случай общего N и N = 3Случай N = 2 полностью рассмотрен, таким образом мы переходим кслучаю N = 3. Мы представим новое (чисто геометрическое) доказательствоследующего факта.Теорема 2. Рассмотрим динамику вращающейся цепи типа l = (l1 , l2 , l3 ) наплоскости C ⇠= R2 под действием векторного поля (2.2). Предположим, чточисла lj удовлетворяют трем неравенствам треугольникаl 1 < l 2 + l 3 , l2 < l 1 + l 3 , l3 < l 1 + l 2и что числа !1 , !2 , !3 являются рационально независимыми (не существуетPсоотношения j tj !j = 0, tj 2 Z).
Тогда асимптотическая скорость движе�ния конца такой вращающейся цепи равна!=↵2↵3↵1!1 + !2 + !3⇡⇡⇡(2.6)где ↵j являются углами треугольника, сформированного отрезками со сто�ронами l1 , l2 , l3 . Угол ↵j > 0 расположен соответственно напротив стороныlj .Этот результат для N = 3 есть частный случай общей теоремы, для про�извольного N :Теорема 3. [102, 107] Рассмотрим динамику вращающейся цепи типа l =(l1 , . .
. , lN ) на плоскости C ⇠= R2 под действием векторного поля (2.2). Пред�положим, что числа !j рационально независимы. Тогда асимптотическая ско�рость движения конца системы ! существует и равна выпуклой комбинации!=PNj=1 !j qj ,где коэффициенты qj равны мерам Лебега следующих подмно�жеств тора TN с координатами (✓1 , . . . , ✓N ) :qk = P |l1 ei✓1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
