Диссертация (1137382), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.2), то G содержит хороший подграф. То есть, если есть такая вершинаv 2 V , чтоv= F, то выполнено утверждение теоремы 1.Доказательство. Заметим, что (v, u 1 ), (w 1 , v 1 ) 2 E. Поскольку G сильносвязен и конечен, существует такое число k, что для любой упорядоченнойпары вершин графа G между этими вершинами есть ориентированный путьдлины k. В частности, существуют пути p := (p1 , . . . , pk ) из p1 := w в pk := vи q := (q1 , . . . , qk ) из q1 := v1в qk := u. Теперь несложно проверить, чтоupw, uqw, pq ⇤ p, qp⇤ q, где p⇤ � единственный ориентированный путь в G, длякоторого L(p⇤ ) = L(p) 1 , являются ориентированными путями в графе GРис. 3.2. Достаточное условие для того, чтобы граф G содержал хороший подграф, см.
пред�ложение 13.1.1. Обзор литературыСходимость сферических средних для двух поворотов сферы была установ�лена Арнольдом и Крыловым [38], а общая теорема об эргодичности в среднемдля действий свободной группы была доказана Гиваршем [39].Первая общая поточечная эргодическая теорема для свёрточных среднихна счётной группе принадлежит Оселедцу [40], который использовал теорему осходимости мартингалов.Первые общие поточечные эргодические теоремы для свободных полугруппи групп были сформулированы Р.И.Григорчуком в 1986 г. в работе [41], главныйрезультат которой � сходимость по Чезаро сферических средних для сохраня�ющих меру действий на свободной полугруппе или группе. Сходимость самихсферических средних была доказана Нево [42] для функций из L2 , и Нево иСтейном [43] для функций из Lp , p > 1 с использованием глубоких методовспектральной теории.До сих пор остаётся открытым вопрос о том, сходятся ли почти наверноеравномерные сферические средние интегрируемой функции относительно дей�ствия свободной группы (было бы очень интересно поискать возможный контр�пример, следуя примеру Орнштейна [44]).
Метод марковских операторов в до�казательстве эргодических теорем для действий свободных групп и полугруппбыл предложен Р.И.Григорчуком [45], Ж.-П. Тувено (в устной беседе) и в рабо�те [46]. В работе [47] поточечная сходимость для марковских сферических сред�них доказана при дополнительном предположении об обратимости марковскойцепи. Ключевой шаг работы [47] � это тривиальность хвостовой сигма-алгеб�ры для соответствующего марковского оператора; она доказана с помощью�Alternierende Verfahren� Роты [48], то есть, с помощью сходимости мартин�галов. Редукция степеней марковского оператора к �Alternierende Verfahren�Роты в работе in [47] в основном опирается на обратимость марковской цепи.
Вэтой работе мы показываем, что тривиальность хвостовой сигма-алгебры вернаи при намного более слабых предположениях относительно свойств марковскойцепи.Изучение марковских средних мотивировано проблемой эргодических тео�рем для счётных групп вообще, а особенно � для групп, допускающих мар�ковское кодирование, например, для гиперболических по Громову групп [49](см., например работу Жиса и де ля Арпа [50], где марковское кодированиедля гиперболических по Громову групп подробно рассмотрено). Первые резуль�таты, связанные со сходимостью сферических средних для гиперболическихпо Громову групп, полученные в предположении о сильном экспоненциальномперемешивании действия, принадлежат Фудживаре и Нево [51].
Эргодическаятеорема для действий гиперболических групп на конечных пространствах былаполучена Боуэном в работе [52].Сходимость по Чезаро сферических средних для всех сохраняющих мерудействий марковских полугрупп и, в частности, гиперболических по Громовугрупп, была получена Буфетовым, Клименко и Христофоровым в работе [53].Для гиперболических групп короткое и очень элегантное доказательство этойтеоремы, которое использовало метод Калегари и Фудживары [54], было данопозднее Полликоттом и Шарпом [55].
Используя метод так называемых амена�бельных отношений эквивалентности (amenable equivalence relations), Боуэн иНево [56], [57], [58], [59] получили эргодические теоремы для так называемыхсферических оболочек (�spherical shells�) в гиперболических по Громову груп�1пах.Вэтойработепредположенийоперемешиванииуженетребуется.3.1.2.ПримерыРавномерныесферическиесредниеРассмотрим специальный случай, когда F = ha1 , . . . , ar i и V = {a1 , . .
. , ar }[{a1 1 , . . . , ar 1 } ⇢ F. Пусть L : V ! F � отображение вложения, а8>< 1 , если a 6= b 1 ;2r 1⇧a,b =>:0,иначе.Пусть ⌫ � стационарное распределение, равномерно распределённое на V . Вэтом случае матрица ⇧ � допустимая порядка 1, и Sn � равномерное среднеена сфере радиуса n с центром в единице группы F. То есть,Sn ( )(x) = |{g 2 F : |g| = n}|для1X(Tg x)|g|=n2 L1 (X, µ) и x 2 X, и из теоремы 1 следует теорема об эргодичности всреднем для среднихSn +Sn+1.2Этот результат был впервые получен Гиваршем[39].Пример: фундаментальная группа поверхностиОбозначим через ⇤ = ha, b, c, d|[a, b][c, d] = 1i фундаментальную группузамкнутой поверхности рода 2.
Существует естественное марковское кодирова�ние этой группы, исследованное Боуэном и Сириес [60], которое используетсяв работе [61] для доказательства поточечной эргодической теоремы для сред�них по Чезаро сферических средних (относительно словарной метрики на этойгруппе). Используя это кодирование и теорему 1, мы покажем:Следствие 1. Существует такая последовательность ⇡n вероятностных мер на⇤, что11• носитель ⇡n � это объединение сфер радиуса n и n+1 с центром в единицегруппы ⇤ (относительно словарной метрики);• ⇡n эргодична в среднем в L1 в следующем смысле: если ⇤y(X, µ) � этодействие, сохраняющее вероятностную меру, и f 2 L1 (X, µ), то средние⇡n (f ) 2 L1 (X, µ), определённые следующим образом:⇡n (f )(x) =X⇡n (g)f (g 1 x)g2⇤сходятся в L1 (X, µ) к E[f |⇤], то есть, к условному математическому ожи�данию f относительно сигма-алгебры ⇤-инвариантных подмножеств.Объясним, как устроено это кодирование. Обозначим через R правильныйвосьмиугольник на гиперболической плоскости (которую мы отождествляем сединичным диском D в комплексной плоскости), все внутренние углы которогоравны ⇡/4.
Это � фундаментальная область действия группы ⇤ на диске Dизометриями. Можно добиться, что бы если S = {a, b, c, d, a 1 , b 1 , c 1 , d 1 }, тодля любого элемента s 2 S множество R \ sR было бы ребром R.Пусть T = [g2⇤ g@R � это объединение границ образов R при действии⇤. Можно представлять себе T как объединение бесконечных в обе стороныгеодезических.
Обозначим через P ⇢ @D набор концов тех геодезических измножества T , которые пересекаютR (очень важно, что в этот набор входятпрямые, которые пересекают @R только в вершине многоугольника R). ТочкиP разбивают @DP на связные открытые интервалы; обозначим набор всехэтих интервалов через I, см. рис.3.3.Рассмотрим ребро R \ sR для элемента s 2 S. Это ребро содержитсяв бесконечной в обе стороны геодезической, которая разделяет гиперболиче�скую плоскость на два полупространства. Через L(s) обозначим открытую ду�гу окружности @D, которая ограничивает полупространство, содержащее sR.Для каждого интервала I 2 I обозначим через sI 2 S такой элемент, чтоI ⇢ L(sI ).
Для каждого I есть либо один, либо два способа выбрать sI . Опре�1Рис. 3.3. Область R на гиперболической плоскости (в искажённом виде) и все геодезическиеразбиения T , пересекающие R. Каждый внутренний угол, вершина которого лежит на мень�шей окружности, равен ⇡/4. Всего в I 48 интервалов, и только 8 специальных интерваловпомечены.делим f : @D ! @D так: f (x) = sI 1 x для x 2 I.
Как было замечено в работах[60, 62], отображение f � марковское в том смысле, что если J � интервал изнабора I и f (I) \ J 6= ;, то f (I)J.Пусть V = I, E = {(I, J) 2 V ⇥ V : f (I)J}, G = (V, E) � соответ�ствующий ориентированный граф, F = ha, b, c, di � свободная группа ранга 4 иL : V ! F � отображение, для которого L(I) = sI .
Мы распространяем отоб�ражение L на множество всех конечных ориентированных путей в G способом,который был описан во введении. В работе [62, Теорема 5.10, Следствие 5.11](см.также [63, Теорема 2.8]), доказано следующее:Лемма 1. Пусть ⇡ : F ! ⇤ � каноническая сюръекция ⇡(s) = s, где s 2 S.Тогда для каждого элемента g 2 ⇤w 2 F, что{e} есть единственный такой элемент1.
⇡(w) = g;2. cуществует такой ориентированный путь p в графе G, что L(p) = w.1Болеетого,длинасловаwравнадлинесловаg.Теорема2.Если⇧= (⇧v,w )v,w2V �стохастическаяматрицаи⇧v,w >0длявсех(w,v)2E,тоэтаматрица–допустимаяпорядка1.Доказательство.В работе [61]показано,чтоматрицасмежностиграфаGнеприводима,или,чтоэквивалентно,графGстрогосвязен.Дляs2S,пустьIs ⇢I=V �единственныйинтервал,которыйсодер�жится в L(s)\[t6=s L(t). Прямая проверка показывает, что для любых s,t2S(Is ,It )2Eтогдаитолькотогда,когдаt6=sседние.Пусть,например,изIaвIc ,Ic 1,IdиId11ивершиныIt иIs1�несо�направленыориентированныерёбра,ноориентированныхрёберизIaвIa 1,IbилиIb1петляизIaвсебя.Вэтомслучаееслиv=a,тогруппанет.Кромеэтого,естьv содержитL(Ia )= a,L(Ia ,Ic ) = ac,L(Ia ,Id ,Ic ) = adc,L(Ia ,Id ,Ib ) = adb.Таккакa,ac,adc,adbпо�рождаютгруппуF4 ,то v=F4 .Пусть u = w = Ia , p = (Ia ), q = (Ic ), p⇤ = (Ia 1 ), q ⇤ = (Ic 1 ).
Тогда• upw, uqw, pq ⇤ p, qp⇤ q � ориентированные пути в графе G;• L(p⇤ ) = L(p) 1 , L(q ⇤ ) = L(q) 1 .Значит, G содержит хороший подграф порядка 1.Следствие 1 сразу следует из леммы 1 и теорем 2 и 1.3.1.3. Схема доказательстваМы рассматриваем отношение эквивалентности синхронных хвостов Rsyncна множестве V N , заданное так:Rsync = {(s, t) 2 V N ⇥ V N : 9N (si = ti 8iN )}.Для натурального числа k > 0 мы рассматриваем также отношение эквива�лентности асинхронных хвостов со сдвигом на k на V N , которое задано так:Rk = {(s, t) 2 V N ⇥ V N : 9p 2 Z, N 2 N (spk+i = ti 8iN )}.1: V N ! V N отображение сдвигаОбозначим через(s)i = si+1 . Заметим,что отношение Rk порождено Rsync и отношением эквивалентности орбитk,поэтому существует следующее естественное вложение:Rsync ⇢ Rk ⇢ R1 .Более обще, Rk ⇢ Rd , если d | k.
Кроме этого, существует коцикл ↵ : R1 ! F,определённый так:↵(s, t) = L(s1 ) · · · L(sN +p ) · (L(t1 ) · · · L(tN )) 1 ,где числа N, p � такие, что sp+i = ti 8iN.Для сохраняющего меру действия Fy(X, µ) на вероятностном простран�стве и подотношения эквивалентности S (которое является подотношением R1 ),мы обозначаем через S X отношение эквивалентности на V N ⇥ X:SX=no(s, x), (t, y) : sSt, ↵(t, s)x = y .Для подотношения эквивалентности S ⇢ R1 обозначим через FSX сигма�алгебру измеримых подмножеств множества V N ⇥ X , которые являются объ�единениями классов эквивалентности по отношению S X . Другими словами, FSX� S X -инвариантная сигма-алгебра.Xи FkX соответственно RXДля удобства мы обозначим через Fsyncsync иRXk -инвариантные сигма алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
