Диссертация (1137255), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть– некоторые параметры УИУФЛ (выбор параметров оптимизациипроизводился согласно пункту 3.4 «Обобщенный критерий оценки качестваустройств иммерсионной ультрафиолетовой литографии»).80(2.5.13)(2.5.14)Используем заданные ограничения для выражения(в отсутствие ограничений, обозначим общностиоставшиеся независимые переменные,переменных,…,) через. В точке минимума для всехпри выполнении ограничений (2.5.15)(2.5.15)имеем выполнение условия (2.5.16)(2.5.16)при.Получим выражение (2.5.17) для первого порядка малости(2.5.17)где привыражение принимает вид (2.5.18),(2.5.18)Запишем данное условие в ином виде (2.5.19)(2.5.19)здесь,, …,– являются множителями Лагранжа.Так как,, …,есть независимые приращения, то ихкоэффициенты будут равны нулю.
Таким образом, приполучаем выражением (2.5.20)(2.5.20)Но,, …,являются зависимыми приращениями, поэтому ихследует принять равными нулю при выборе множителей Лагранжа вуравнении (2.5.19).81Выберем множители(2.5.20)при,., …,Тогдас тем расчетом, чтобы выполнялось(2.5.20)будетвыполнятьсяипри.Определим функцию Лагранжа как выражение (2.5.21)(2.5.21)Необходимые условия минимума функцииограничений запишем в виде (2.5.22) припри выполнении,(2.5.22)и (2.5.23) при(2.5.23)Допустимыезначениядля(2.5.21),которыеудовлетворяютограничениям, верны для выражения (2.5.24)(2.5.24)При выполнении ограничений значенияв точке локального минимумаимеем неравенство (2.5.25)(2.5.25)здесь– функция, удовлетворяющая уравнению (2.5.26) для любых(2.5.26)Обобщим все вышеперечисленное в выражении (2.5.27)(2.5.27)в котором производные вычисляются в точкепри[41].82Для условия минимума функцийвиде (2.5.22) для любыхи наличия ограничений в, удовлетворяющих ограничениям, получимположительно определенную квадратичную форму (2.5.28)(2.5.28)Надо сказать, что уравнения (2.5.22) и (2.5.23) являются достаточнымиусловиями минимума при наличии ограничений наряду с положительнойопределенностью квадратичной формы (2.5.28).Рассмотрим общую задачу математического программирования какминимизацию функциипри наличииограничений (2.5.29) при(2.5.29)Ограничения в виде неравенств могут быть преобразованы в видеравенств при помощи необходимых добавлений для каждой неотрицательнойпеременной(степеньпеременнойуказываетна то,чтоонаположительная).
Тогда получим (2.5.30)(2.5.30)или перепишем в виде (2.5.31)(2.5.31)Для задачи определения минимума функциипри условии, чтофункция ограничена равенством (2.5.31), сформулируем функцию Лагранжа ввиде (2.5.32)(2.5.32)Обязательные условия, выполняемые в каждой стационарной точке,выражаются уравнениями (2.5.33 – 2.5.35):(2.5.33)83(2.5.34)(2.5.35)Умножив последнее уравнение на, получим, т. е. (2.5.36)при(2.5.36)Вышеуказанные выражения (2.5.33), (2.5.34) и (2.5.36) являютсянеобходимыми и достаточными условиями существования минимума в точкепри условии наличия ограничений.
Уравнение (2.5.34) является повторнойзаписью ограничения, а (2.5.36) показывает, что или. Итак, если, то очевидно, чтоили, т. е.ограничение в виде равенства является активным. Но если ограничениеявляется строгим неравенствомЛагранжа, то, в свою очередь, множитель, а рассматриваемый минимум удовлетворяет неактивномуограничению, которым можно пренебречь. Предварительно непонятно, какимиименно из множества ограничений следует пренебречь.В точке минимума при выполнении ограничений должно бытьустановлено дополнительное условие[42].Пусть уравнения (2.5.33), (2.5.34) и (2.5.36) будут выполняться для точки.ограниченийДляфактическогорассмотримминимумафункциив качестве функции отпривыполнении.
При изменениибудут изменяться и ограничения, а следовательно, и сама функция . Пустьимеем выражения (2.5.37) и (2.5.38)(2.5.37)(2.5.38)для которых вычислены частные производные в точке.84В связи с тем, что, будем иметь (2.5.39)(2.5.39)Тогда получим выражение (2.5.40)(2.5.40)Но выражение (2.5.40) равно нулю в соответствии с уравнением (2.5.33), азначит действительно справедливо (2.5.37).При возрастаниизаданная область ограничений также должнарасширяться, однако это не приведет к возрастанию значенияявляется минимумом функции, котороеи лежит в пределах области допустимыхограничений, а приведет к его уменьшению.
Тогда, а это означает, что.Для необходимых условий минимизации функцииограничений (2.5.29) приипри выполнении, для которых можно определить(2.5.41)(2.5.41)При рассмотрении максимума, знакКуна – Таккера [43].меняется на обратный. Это условие85Выводы по главе 21.Разработанная системная модель позволяет осуществить переход кформализации установленных структурных отношений, что обеспечиваетструктурно-параметрическийсинтезконструкцийвавтоматизированномпроектировании УИУФЛ.
Данная методика основана на элементном раскрытиии конкретном наполнении всех компонентов системной модели с дальнейшимпреобразованием системной модели в соответствующую концептуальнуюмодель УИУФЛ.2.Выявлен ряд проблем, связанных с проведением концептуальногоанализа УИУФЛ, и обозначены пути решения связанных с ними задач. ВпроцессепроектированияУИУФЛпроисходитабстрагированиеотмыслительных стереотипов к реальному функционированию техническогообъекта, что направляет разработчика на поиск конкретного техническогорешения. Придание конкретного объектного содержания функциональнологическомууровнюпроисходитназаключительномэтапепроцессапроектирования УИУФЛ.3.Сформулирована задача синтеза УФТ в общем случае, когда навход тракта поступают одновременно детерминированный и случайныйсигналы, являющиеся адаптивными. Детерминированный сигнал являетсяполезной компонентой и описывается соответствующей функцией, случайныйсигнал, соответственно, корреляционной функцией.4.Предложен метод применения непараметрических решающихправил при моделировании подходов к созданию устройств оборудованияформирования объектов в ИУФЛ для условий малых выборок, которыйпозволяет увеличить объем исходных данных, не прибегая к реальнымтехнологическим процессам и использованию дорогостоящего иммерсионноголитографического оборудования за счет технического моделирования, что вцелом повышает эффективность процесса проектирования.865.Показана непараметрическая математическая модель, котораяоценивает плотность вероятности для случая малых выборок с учетом методаЛапласа и асимптотической оценки применяемых ядер.
Продемонстрированообеспечение возможности построения технических моделей без выполнениятехнологических процессов на реальном литографическом оборудовании.6.Рассмотрена общая задача математического программирования виммерсионной ультрафиолетовой литографии на примере задачи минимизациистоимостной функции производства от двух переменных: длины волныультрафиолетового излучения и минимального размера элемента ИС.87ГЛАВА 3.
МЕТОДИКА ВЫБОРА РАЦИОНАЛЬНОГО ВАРИАНТАТЕХНИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УСТРОЙСТВ ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯПРОЦЕССАФОРМИРОВАНИЯОБЪКТОВВИММЕРСИОННОЙУЛЬТРАФИОЛЕТОВОЙ ЛИТОГРАФИИ3.1.Повышениекачестваультрафиолетовогосветовогопотокавиммерсионной ультрафиолетовой литографииВысоконаправленный лазерный луч разделяется на множество мелкихпучков всевозможных направленностей, проходя через среду с нерегулярныминеоднородностями, например, матовую пластину [44]. Искаженный лазерныйлуч был направлен в длинную трубку с газообразным метаном, находящимсяпод высоким давлением и, взаимодействуя с молекулами метана, отражалсяназад (эффект вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна [45]). Приэтом газ работал как «благородное» зеркало, т.
е. при отражении от его молекулискаженный лазерный луч становился вновь идеальным и соответствовал лучу,генерируемому источником.Для получения эффекта обращения волнового фронта (ОВФ) необходимо,чтобы длина свободного пути L молекулы была равна длине волны λ лазерногоизлучения.Рис. 3.1.1. Схема расчета столкновения двух одинаковых молекул88Одна молекула имеет радиус, а все остальные молекулы – точки срадиусом ноль (рис.
3.1.1). Такой молекулой описывается объемперемещении со скоростью υ в газе с концентрациейравное одной секунде, молекула испытываетпримолекул. За время,соударений [46].Средняя длина свободного пути будет равна (3.1.1)(3.1.1)С учетом относительных скоростей движения молекул газа (неучитывались при выводе выражения (3.1.1)), можно получить более точноевыражение (3.1.2):(3.1.2)Изформулы(3.1.2)видно,чтоприпостоянноймолекулярнойконцентрации длина свободного пути не должна зависеть от температуры.Однако из опытных данных следует, что с увеличением температурыприувеличивается [46]. Зависимость длины свободного пути оттемпературы может быть учтена введением в (3.1.2) дополнительногомножителя в знаменателе, получаемого экспериментально (3.1.3):(3.1.3)Уменьшение в два раза в сравнении со значением, которое соответствуетбесконечно большой температуре, средней длины свободного пробега молекулпри постоянной молекулярной газовой концентрации будет происходить притемпературе , которая выражается постоянной Сезерленда.Взаимодействие газовых молекул между собой следует учитывать путемвведения понятия эффективного диаметра молекулы(3.1.4):(3.1.4)Эффективныйтемпературы газа.диаметрмолекулыуменьшаетсясувеличением89Формула (3.1.3) может быть представлена с учетом (3.1.4) в виде (3.1.5)(3.1.5)Используя уравнение газового состояния, выражение (3.1.3)можно преобразовать (3.1.6):(3.1.6)Привоздушной смеси с учетом остаточного давления 1 Па из(3.1.6) можно показать, чтодавлениямПа.
При других значениях. Удобная формула для приближенного расчетавзависимости от давления (3.1.7):(3.1.7)где– в Па, а– в м.При расчетах длины свободного пути молекул газа при различныхтемпературах и постоянном давлении на основании (3.1.6) можно получитьвыражения (3.1.8) и (3.1.9):(3.1.8)(3.1.9)В случае смеси двух газов, молекулы которых имеют массысредняя длина свободного путидля частицы, масса которойи,, будетрассчитана в соответствии с формулой (3.1.10)(3.1.10)здесьявляется эффективным диаметром молекул, обладающих массойпри концентрации;является эффективным диаметром молекул,обладающих массойпри концентрации;.90Пусть длина свободного путимолекулы метана равна длине волнылазерного луча (3.1.11)(3.1.11)где– концентрация молекул газа, определяется из уравнения газовогосостояния (3.1.12)(3.1.12)Подставив выражение (3.1.12) в (3.1.11), получим (3.1.13) [46]:(3.1.13)Расчеты показали, что прим,м,Па, а приПа.Основными направлениями применения эффекта ОВФ являются:1) создание высоконаправленных лазерных лучей с компенсациейискажений в среде с нерегулярными неоднородностями;2) компенсация искажения изображения в литографии с использованиемкак отражательного, так и просвечивающего шаблонов.Метод введения фазосдвигающих элементов, наряду с иммерсированием,обеспечивает значительное уменьшение габаритов рисунка и, в случае разностифаз в полпериода, приводит к нулевому значению сигнала [47].Однако такой эффект возможен и в случае применения обращателейволнового фронта (газообразного метана под большим давлением).Приэкспонированиинаноизображенияс размерами, равнымиименьшими предельного размера по Рэлею-Аббе, изображение претерпеваетискажения, связанные с дифракционными явлениями.Устранение таких дефектов обеспечивается введением упреждающихкомпенсирующих элементов на фотошаблоне.913.2.Модельморфологическойкоррекциивультрафиолетовойлитографической технологииРассмотрим морфологическую фильтрацию при условии, что функция– одномерна, при этом задача сводится к поиску экстремального значенияфункции штрафа (3.2.1) [48]:(3.2.1)где(3.2.2)(3.2.3)– совокупность множества дискретных значений аргументаисследуемой функции, принадлежащих области определения; критерий, спомощью которого описывается требование «гладкости» искомой функции,являющейся решением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
