Диссертация (1137255), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Такие условия весьма часто можно встретить при выполнениианализа аэрокосмической информации, моделировании медико-биологических,социально-экономическихилиэкологическихпроцессов.Перспективноенаправление поиска альтернативных решений появляющихся проблем –применение декомпозиционных принципов для сложных систем, какимиявляются УИУФЛ, последовательных процедур формирования решений иметодов коллективного оценивания.Особое внимание уделяется синтезу и анализу непараметрических системклассификации множеств случайных величин, которые появляются примногократном измерении параметров таких систем за короткий интервалвремени.
Качество партии изделий можно оценить по случайной ограниченнойвыборке измерений, необходимых для контроля параметров. Для обработкибольшого массива статистических данных будем предварительно использоватьдекомпозиционные принципы, как было описано выше.
Структуру изучаемых68системклассификациисоставляюткритериипроверкигипотезтождественности законов распределения случайных величин, каждый изкоторых строится относительно условий контрольной ситуации и элементовобучающейвыборки,инепараметрическиеоценкиихнелинейныхпреобразований. Решения формируются на основе обучающей выборки исоответствующих значений ядерных функций, определенных на значенияхвероятностных мер близости между законами распределения случайныхвеличин анализируемых множеств.
Таким образом, операции над множествамислучайных величин заменяются на операции с вероятностными законамираспределения их элементов при помощи широко применяемого аппаратанепараметрической статистики.Автоматизированное проектирование устройств, узлов и элементовУИУФЛ невозможно представить без решения проблем, связанных с малымивыборками экспериментальных данных для принятия рациональных решенийконструктивно-технологического характера [32].Для поиска альтернативных решений применительно к малым выборкамоценивания плотностей вероятностейобъема априорных данных,статистическихДлямоделей.необходимо произвести увеличение, в результате формирования несколькихпостроениятакихмоделейβ-окрестности i-й точки выборки реализуем построениеиспользованием закона распределениявыборки,,,,получимвкаждоймоделей с.
Для полученной статистической, при условии равновероятностных значенийсоответствиесовокупностиплотностейвероятности (2.3.1):(2.3.1)Заметим, что данная совокупность имеет вид (2.3.2)69(2.3.2)Длятрадиционныхметодовпарадокс,связанныйсуществуетопределениясвероятностныхсопоставлениеммоделейограниченнойстохастической выборки переменных, полученной в результате наблюдений заизучаемыми объектами, и конкретной конфигурации параметров, оптимальнойдлярешенияпоставленнойзадачи.Прирандомизированномподходеопределяют коэффициенты размытости применительно к непараметрическимрешающим правилам на базе процедуры случайной выборки. Рассмотримданный подход на примере алгоритмической оптимизации при формированиилитографических процессов.Непараметрическую оценку плотности вероятности предложил Т.
Вагнерв 1975 г., при этом рассматривался случайный выбор коэффициентовразмытостидляконкретныхядерныхфункций[33].Случайнаяпоследовательность коэффициентов размытости формируется при оценкеплотности вероятностии реализуется на базе выборки расстояния междупервоначальными наблюдениями ( ,) и наблюдениями с учетомk-ближайших соседей.Оптимизационный метод рандомизации заключается в следующем.Полагаем, чтонаблюденийпредставляет собой выборку из множества, которые статистически независимы, для случайной величинынеизвестного вида, плотность вероятности которой.
Будемполагать, что плотность вероятности соответствует свойствам ограниченностии непрерывности, как и ее производныедо второго порядка. Дляосуществления приближения экспериментальных данныхплотности вероятностиРозенблатта – Парзена [34]необходимойиспользуем статистическую оценку (2.3.3)70(2.3.3)для ядерных функцийположительность,, удовлетворяющих таким условиям каксимметричностьразмытия–инормированность;положительнаякоэффициентыпоследовательностьчисел,удовлетворяющих условиям (2.3.4)(2.3.4)Непараметрическая оценка плотности вероятности (2.3.3) обладаетсвойствами асимптотической несмещенности, состоятельности, сходимостистремящейсяк,которыерассматриваютсявработеЕпанечникова В. А. [35].Длятого,чтобысравнитьтрадиционныйирандомизированныйоптимизационные методы непараметрической оценки плотности вероятности,необходимоопределитьасимптотическоеотношениесоответствующее среднеквадратическим критериям при оптимизационныхпараметрах и .При условии минимумаис параметрамииполучим (2.3.5)(2.3.5)С оптимальными параметрами,имеем выражение (2.3.6)(2.3.6)которое при конкретизации значений параметрав законе распределениядля коэффициентов при условии размытости ядерных функций будет меньшим,чем единица.Для снижения смещения, получаемого при оценивании плотностивероятностей в сравнении с классической статистикой (2.3.3), используют71непараметрическую оценку случайных значений коэффициентов размытостиядерных функций (2.3.7)(2.3.7)Для асимптотического выражения смещения справедливо (2.3.8)(2.3.8)Покажем отношение (2.3.9) соответствующих смещенийдляклассическойпараметрахинепараметрическойоценкикприоптимальных:(2.3.9)Если значение параметрав законе распределениябудет большимили равным двум, то выражение (2.3.9) – меньшим единицы.Анализируявыражения(2.3.5)и(2.3.8),видим,чтодлянепараметрической оценки плотности вероятности случайных значенийкоэффициентовразмытости(2.3.7)асимптотической несмещенностиихарактернопроявлениесвойствсостоятельности.
Непараметрическаяоценка определяется понижением смещения (2.3.9) и некоторым увеличениемзначения среднеквадратического отклонения (2.3.6), если сравнивать снепараметрическойстатистикой(2.3.3).Потенциальнуюэффективностьнепараметрической оценки плотности вероятности (2.3.7) ожидается увидетьпри её использовании в задачах с конечными объемами данных статистики [36].При реализации «обхода» проблем, связанных с малыми выборками,полученными в результате оценки плотности вероятностейувеличивать объем исходных данных,, необходимо, в том числе при помощирезультатов технического моделирования, так как процессы функционированияпроектируемого литографического оборудования не всегда могут позволить72получить соответствующие математические модели, выраженные четкимианалитическими соотношениями [9].732.4.Асимптотическая оценка применяемых ядер методом ЛапласаРассмотри метод Лапласа для асимптотической оценки используемыхядер по результатам вероятностного моделирования [37].Методом Лапласа называют такую совокупность приемов и способов,которая позволяет оценить интегралы вида (2.4.1)(2.4.1)здесьядрабудет стремиться к бесконечности со знаком плюс, при этом функция отимеет вид «горных хребтов».
С увеличением«пики» функциистановятся более ярко выражены, а интервалы минимумов расширяются иуглубляются. При измененииизменяются положения «пиков» функции. Вобщем случае интеграл (2.4.1) можно записать с использованием оценочныхприемов в виде (2.4.2)(2.4.2)используя описание ядра, приведенное выше.
На рис. 2.4.1 показанонесколько примеров ядер[38].Рис. 2.4.1. Варианты графического отображения ядер74(2.4.3)(2.4.4)(2.4.5)При этомположивв. Выполним масштабирование 1:2,. Графическое отображениепри,имеет следующие характеристические зависимости (рис. 2.4.2).Рис. 2.4.2. Характеристические зависимости специальных ядерДопустим, при ростебудет возрастать число пиков, которыенеобходимо сравнить. При этом, с ростомпроисходит наложение одного илинескольких пиков на особые точки функции, возможно также наложениеинтервалов минимумов или оба случая сразу [39].Рассмотрим случай только одного конкретного пика заданной высоты.Будем различать следующие варианты:1) асимптотический узел будет располагаться в основаниях пика,являющимися крайними точками промежутка интегрирования;2) асимптотический узел расположен в промежутке интегрирования.Есть и другие свойства данного интеграла, представляющие для насинтерес (2.4.6)75(2.4.6)Будем полагать, что если рассматриваемый интеграл сходится при, то он сходится при всехназываться нижняя границаинтегралов.
Абсциссой сходимостибудетдля всех , при которых интеграл сходится. Дляв общем случае абсцисса сходимости будет отличаться отабсциссы абсолютной сходимости.Будем полгать существование конечной абсциссы сходимости, что длявсех рассмотренных интегралов Лапласа. Рассмотрим вспомогательную лемму,которая позволит использовать только конечные интервалы.Лемма. Будем полагать, что функцияинтегрируется на промежутке. А интеграл (2.4.7) имеет конечные значения (сходимость) при,[39](2.4.7)Введем произвольное неотрицательное числона интервалеи проинтегрируем(2.4.7)(2.4.8)(2.4.8)Докажем справедливость асимптотической оценки (2.4.9) при.(2.4.9)Доказательство.Пустьпредельной величине приинтеграл2.4.10стремится кнекоторой:(2.4.10)В соответствии с условием, функцияместной интегрируемостью, анепрерывна на промежутке, а такженепрерывна прии имеет конечный предел при, обладают. Функция,76следовательно,онаограниченаконечнымчислом(2.4.11)наинтервале(2.4.11)С учетом выше изложенного выполним в интегралекомплекс преобразований (2.4.12) при любыхследующий:––––(2.4.12)––Далее выполним модульную оценку, которая дает (2.4.13), с учетом того,что(при выбранном ) и:––(2.4.13)а это и требовалось показать.Заметим, что любая оконечностьданного интеграла, сходящаяся касимптоте, всегда экспоненциально мала.
При асимптотической оценкецелесообразно выполнить ограничение некоторым конечным промежутком,.Даннаязначениями функцииасимптотикаприбудетопределенаисключительно.Показана непараметрическая математическая модель, которая оцениваетплотность вероятности для случая малых выборок с учетом метода Лапласа иасимптотической оценки применяемых ядер. Продемонстрировано обеспечениевозможностипостроениятехническихмоделейбезвыполнениятехнологических процессов на реальном литографическом оборудовании.Реализуя «обход» проблем, связанных с малым количеством исходных данных,77обеспечиваем повышение эффективности технического моделирования за счетувеличения исходного объема данных [40].782.5.Общая задача математического программирования в иммерсионнойультрафиолетовой литографииРассмотрим задачу минимизации стоимостной функции производствадвух переменных, где– длина волны ультрафиолетового излучения, а– минимальный размер элемента ИС (2.5.1)(2.5.1)гдеиограничены заданным уравнением (2.5.2)(2.5.2)Решим уравнение (2.5.2) относительно , которое следует рассматривать,как функцию от(2.5.3)(2.5.3)Функцияна практике трудно или невозможно определить в явномвиде.
Если данная функция дифференцируема, то ее производная имеетвид (2.5.4)(2.5.4)Стоимостная функция производстванезависимой переменнойможет быть записана как функция(2.5.5).(2.5.5)Для условия минимума функции имеем соотношение (2.5.6)(2.5.6)из которого видно, что (2.5.7)(2.5.7)Для соотношений (2.5.2) и (2.5.4) могут быть получены соответствующиезначенияив точке локального минимума.Полученный результат можно представить в виде (2.5.8)79(2.5.8)Для точки локального минимума прибудут выполняться,соотношения, описанные в (2.5.2)(2.5.9)(2.5.10)последнее из которых получено непосредственно из выражения (2.5.8).Дляполучениятрехперечисленныхусловий,необходимовоспользоваться функцией Лагранжа (2.5.11), которая выражается через суммуцелевой функции и произведения функции ограничения на множительЛагранжа(2.5.11):(2.5.11)Необходимые и достаточные условия минимума для целевой функциипри введенных ограничениях следует записать в виде (2.5.12):(2.5.12)Три уравнения системы имеют решения, которые могут являтьсязначениями,ив точке минимума.Условия необходимого минимума (2.5.12) следует обобщить дляфункций, содержащихпеременных иограничений.Покажем задачу, связанную с минимизацией функции (2.5.13), приусловии, что на переменную,,…,установлены ограничения (2.5.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
