Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела (2-е издание, 2008) (1135799), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Е2 иг вьг 1/2 Ва Рис. 5.1. Две ориентации проекции атомного магнитного момента (я = 1/2) и расщепление энергетического уровня Ев на два подуровня: Е, = Ес — ЛЕ и Еа = Ео + ЛЕ 255 Отношение вероятностей того, что проекция внешнего магнитного поля будет направлена с против поля» Рг и «по полю» Рн определяется распределением Больцмана: /г ~г ехр[ — ЛЕ/(/сТ)) ( 2НвВо Р, М, ехр[ЬЕ/(/сТ)) [, /сТ (5.3) Решая систему уравнений (5.1) и (5.3), получаем ехР[НвВв /(/сТ)! ехр[НьВв /(/сТ)) + ехр[ — НвВв /(/сТ)1 р[-Н,В, /(/Т)) ехр[НьВв /(/сТ))+ ехр[ — НьВв /(/сТ)) (5.4) Теперь найдем проекцию /н(Н) вектора намагниченности / на направление вектора индукции внешнего магнитного поля Вв и вектора напряженности магнитного поля Й как суммарный магнитный момент единицы объема парамагнетика (рис.
5.2): /(Н) = /в = Р в(Н~ /зг) = ехр[НвВв /(/сТ)) — ехр[ — НвВв/(/сТ)) ехр[Нв Вв /(/сТ)) + ехр[ — Нь Вв /(/сТ)) = Нь Л/в 1[з[НвНвН /(/сТ)1 лвопв«/ г пвн»/г Рнс. 5.2. Зависимости намагниченности парамвгнетнка от напряженности внешнего магнитного поля прн различных температурах (Т, < Т, < Т,) 256 При больших значениях Н (таких, что НвННь ~/сТ) значение ./ приближается к постоянному значению /„ которое называют на- г )гало)го~ 'кТ (5.6) Из соотношения (5.6) следует, что )2 ь п(о)20 2 'р.Т (5.7) т.е. магнитная восприимчивость у обратно пропорциональна абсолютной температуре Т (рис. 5.3). В этом и состоит установленный экспериментально закон Кюри.
При снижении абсолютной температуры следует ожидать увеличения магнитной восприимчивости, поскольку уменьшается интенсивность теплового движения атомов, нарушающего упорядоченность магнитных моментов, которая создается внешним магнитным полем. Воспользуемся формулой для вычисления магнитного момента, известной из курса квантовой физики: р,'.=гр ) ( ))=грггв(г)0)г+))=рг г. (58) Тогда, подставив формулу (5.8) в (5.7), получим х м 2г( Р 0Р0 (5 9) ЗЙТ Выражение (5.9) оказывается более универсальным, чем (5.7), так как оно совпадает с формулой для расчета магнитной восприимчивости парамагнетика, каждый атом которого имеет магнитный момент, характеризуемый квантовым числом 7', а также с классической формулой для вычисления величины )(. Рис. 5.3. Зависимость магнитной восприимчивости пврамагнетнка от температуры 1!Т 257 И 9 — 2500 .иагяичеяяостыю насыщения. Она соответствует случаю, когда все магнитные моменты сориентированы максимально близко к внешнему магнитному полю.
Из соотношения (5.4) следует, что «по полю» ориентировано большее число атомных магнитных моментов, чем «против поля». При малых значениях Н (таких, что )20Н)гв « )тТ) в выражении (5.5) можно заменить значение гиперболического тангенса его аргументом и найти Е l Е /, г 5 — — + ~Е И 2 Е~ Рис.5.4.
Возможные проекции магнитного момента на направление внешнего магнитного поля для атома с квантовым числом) В более общем случае магнитный момент каждого атома па- рамагнетика Р~ =я)тьз60+~) (5.10) где) — целое или полуцелое число, характеризующее полный механический момент атома, а я — множитель Ланде. Во внешнем магнитном поле проекция Р,"в на направление В„принимает (22 ь 1) значений (рис. 5.4). Энергия взаимодействия Р,' и Во также примет (21 + 1) значений с вероятностями, которые можно вычислить с помощью распределения Больцмана (см.
5.1). Выполняя вычисления, аналогичные проведенным в (5.1)-(5.5), получаем намагниченность для произвольного значения /: 8./1гвВ 1 = Но8ЛавВ,(х), х = (5.11) Здесь В,(х) — функция Бриллюэна: В, (х) = сг)з — — сг(з —. (5.12) 2 г'+1 (21+1)х 1 х г( г( г(' 258 Формула (5.5) является частным случаем (5.11) при ! =1/2 и я = 2.
График функции Бриллюэна В (х) (см. (5.12)) идентичен графику функции 1(Н), изображенной на рис. 5.2. Например, У вЂ” э /, при х»1 (насыщение намагниченности) и 1 =уН, у =сопя! при х «1 (линейная зависимость намагниченности от напряженности внешнего магнитного поля). Парамагнетизм проявляется у веществ, атомы которых имеют незаполненные электронные подоболочки. Наибольшие значения магнитного момента имеют атомы, подоболочки которых приблизительно наполовину заполнены, поскольку, согласно правилу Хунда, изучаемому в курсах атомной физики, подоболочка заполняется так, что спиновый момент оказывается наибольшим. К таким элементам относятся переходные металлы, у которых не заполнена Ы-подоболочка, например Ре, Мп, Со, а также лантаноиды и актиноиды, у которых не заполнена г'-подоболочка, например редкоземельные элементы (табл.
5.1). Т а б л и ц а 5.!. Магнитные моменты ионов подгруппы железа и трехвалентных ионов подгруппы лантаноидов Парамагнетизм электронов проводимости. Электроны свободного электронного газа (а также и электронного газа в проводниках) обладают парамагнитными свойствами. Покажем это на примере электронного ферми-газа при низкой температуре, )тоО)гь » яТ. Электроны ферми-газа можно подразделить на две группы: у электронов первой проекция спина направлена вверх (вдоль внешнего магнитного поля), а у электронов второй — вниз (против направления внешнего магнитного поля)(рис. 5.5,а).
При отсутствии внешнего магнитного поля значения энергии Ферми для первой и второй группы электронов будут одинаковыми (см. рис. 5.5, а). При появлении внешнего магнитного поля значения энергия Ферми для электронов первой группы (Егт) будут больше, чем для электронов второй группы (Е~З) на ЛЕ = 2)з В (рис. 5.5, б). Значения энергии Ферми для электронов каждой из групп должны и 9" 259 Рис.5.5. Распределение электронов по энергетическим уровням с направлением проекции спина вдоль и против направления внешнего магнитного поля в электронном ферми-газе быть одинаковыми, поскольку эти значения энергии Ферми соответствуют химическому потенциалу. Поэтому часть электронов перейдет из первой группы во вторую, переориентировав свои спины (см. рис.
5.5, б, в). Число электронов в первой и второй группах (см. рис. 5.5, в) окажется различным, причем их разность будет пропорциональна индукции внешнего магнитного поля и плотности электронных состояний вблизи поверхности Ферми. Намагниченность также будет положительной величиной, пропорциональной вектору Й внешнего магнитного поля и плотности электронных состояний вблизи поверхности Ферми.
Отметим, что намагниченность обусловлена малой долей электронов, а не всеми электронами, поэтому намагниченность будет во много раз (примерно в Е 1ЬЕ) меньше, чем вычисленная в предположении, что проекции спинов всех электронов окажутся направленными вдоль внешнего магнитного поля, как это допускает классическая теория. Однако такая ориентация спинов электронов невозможна согласно принципу Паули. По этой причине парамагнетизм электронов проводимости проявляется гораздо слабее, чем у типичных парамагнетиков. Ядерный парамагнетизм.
Ядра атомов также обладают собственным ядерным магнитным моментом р„', характеризуемым квантовым числом )„. Ядерный магнитный момент ь" =кнг, ПЛХ~я (5.13) 260 Рис. 5.6. Схема охлаждения вещества с помощью изотерического намаг- ничивания и адиабатического размагничивания парамагнитной соли; I — охлаждаемое вещество; 2 — оараыагнитнал соль; 3 — газообразный гелий или вакуум; 4 — обмотки сверхпроводящего соленоида; 5 — жидкий гелий лри температуре!...2 К; б — жидкий азот; 7 — теплолзолирующие сосуды и приблизительно в 1О раз меньше, чем спиновый момент электрона, поскольку ядерный магнетон Бора 1гь, примерно в 1000 раз меньше магнетона Бора. Главным образом это связано с тем, что масса нуклона в 1800 раз больше массы электрона. Поэтому ядерный парамагнетизм заметно проявляется при очень низких температурах, когда энергия !гТ меньше энергии взаимодействия магнитного момента ядра с внешним магнитным полем, которая приблизительно равна р„'В.
Ядерный парамагнетизм используют для достижения особо низких температур (= 10 К и ниже). Применение парамагнетиков для получения низких температур. Низкие температуры (1...4 К) достигаются за счет испач — 2500 26! рения жидкого гелия при давлении ниже атмосферного или за счет растворения — разделения смеси, состоящей из гелия-3 и гелия-4. Эти процессы непрерывные, они обеспечивают низкие температуры в течение длительного времени. Для получения еще более низких температур применяют, как правило, адиабатическое размагничивание парамагнитных солей.
Этот процесс однократный, с его помощью получают температуру 1О К, а иногда и ниже, но в те-з чение сравнительно короткого времени (пока система снова не нагреется). Если такую уже охлажденную систему дополнительно охладить с использованием адиабатического размагничивания систем ядерных спинов, то в принципе можно понизить температурудо10 ...10 К. Как известно, энтропия возрастает при увеличении степени беспорядка в термодинамической системе. Энтропия системы магнитных моментов в намагниченном состоянии (не обязательно даже до насыщения намагниченности), когда магнитные моменты хотя бы частично ориентированы упорядоченно, всегда меньше, чем в размагниченном (когда магнитные моменты ориентированы случайно).
Энтропия как кристаллической решетки, так и системы магнитных моментов, увеличивается при повышении температуры. Предположим, что энтропия системы, состояшей из кристаллической решетки и совокупности спинов, содержит два слагаемых; назовем их соответственно решеточный и магнитный вклады. Процесс получения низких температур состоит из двух операций. Предварительно намагниченную систему, состояшую из охлаждаемого вещества и охлаждающей парамагнитной соли, тепло- изолируют, чтобы не менялась ее полная энтропия (такую систему называют адиабатически изолированной), и в таком состоянии размагничивают. Тогда энтропия системы не изменится, а поскольку энтропия совокупности спинов увеличится, то энтропия решетки должна уменьшиться.
При этом температура кристаллической решетки и всей системы в целом понизится. Так как тепло- емкость веществ при температуре менее 1 К очень мала, то эффект охлаждения оказывается очень сильным. Процесс охлаждения осуществляют в два этапа. Предварительно всю систему охлаждают за счет испарения жидкого гелия при пониженном давлении. Затем в магнитном поле сверхпроводящего соленоида область вокруг парамагнитной соли заполняют газообразным гелием, чтобы обеспечить передачу теплоты от нагревшейся при намагничивании парамагнитной соли жидкому ге- 262 лию. В результате намагниченная парамагнитная соль и охлаждаемый объект окажутся при температуре примерно 1 К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
