Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Функции многих переменных (2003) (1135792)
Текст из файла
УДК 517 ББК 22пя7З Г85 РецепзелгА.В.Фивиновсквй Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Г85 Функции многих переменных: Методические указания к выпсюан1ию домашнего задания. — Мз Изд-во МГТУ им. НЗ. Баумана, 2003. -44 с, 18В1Ч 5-7038-2266-1 Пособие содержит формулировки основных определений и теорем, примеры прнменения разнообразных практических приемов решения задач, варианты домашних заданий и рассчитано на использование цри изучении базового курса миемагики на всех факультетах. Независимая структура построения некоторых разделов позволяет, исходя из потребностей специализации, делать упор нв более углубленное изучение тех или иных вопросов. Рассмотрены темы — дифференцирование функций многих переменных 1ФМП), восстановление функции по дифференциалу, производная ло направлению, градиент и их приложения.
сложные и неквные функции, безусловный и условный зкстремум ФМП. Для студентов первого курса всех специальностей. Библиогр. 5 назв. УДК 517 ББК 22.1я 73 Галина Владимировна Гришина Александр Иванович Данин Ольга Владимировна Михайлова ФУНКПИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Редактор Е,К.
Кошелева Корректор ГС. Беляева Подписано в печать 10,04.03. Формат бох84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 2,75. Уел. лоч. л, 2,56, Уч.-изд. л, 2,35. Тираж 2500 зю. Изд. № 40. Заказ Г$ Издательство МГТУ им. НЗ. Баумана. ! 05005, Москва, 2-я Бауманская, 5, 1ЗВЫ 5-7038-2266-1 ® МГТУ им. НЗ. Ьаумква, 2003 1. Метрика и окрестность в пространстве й". Область определении и область значений функпии многих переменных Рассмотрим многомерное пространство с заданной в нем прямоугольной декартовой системой координат. Определение 1,1, Точкой х и-мерного пространства И" называется упорядоченная совокупность ж действительных чисел х = = (х1,..., х„), где х; — з-я координата точки х. Определение 1.2.
Метрикой или расстоянием между точками х н у назьзвается величина р(х, у) = (хт — у1)2 +... + (х„— у„)2. Свойства метрики. Для любых точек х, у, я ~ И" справедливо: 1)р(х,у) > О, р(х,у) =0еох"=у; 2)р(х у) =р(у )1 3) р(х, з) < р(х, у) + р(у, л) (неравенство треугольника). Определение 1.3.
Пусть х Е И", г > О. Шаровой е-окрестностью точки т называется множество У,(х) = Ту й к": р(х, у) <и). Проколотой е-окрестностью точки х называется множество о с1в(х) = сГе(х)~Ях).МножествоГТе(со) = (х ~ И": р(х,0) > 1Я называется с-окрестностью бесконечно удаленной точки. Определение 1А. Функцией и переменных называется отображение „Г: В -+ Ж, которое каждой точке х = (х1, ..., х„) некоторого множества 17 С И" сопоставляет некоторое число у(х). Мнсоке- ство Р называется областью определения функции ~, а множества Е = Щх): х Е Р ) — областью значений ~.
В тех случаях, когда множество Р не задано, рассмпгри1аоггт естественную область определения, т. е. множество всех значений х, для которых выражение )'(х) имеет смысл. 2. График функции. Линии и поверхности уровни Определение 2.1. Пусть х Е Р с К", у = Д(х), Множества точек Г = 1(х,У) = (хт, ...,х„, Г(хы ...,х ))1 в пуостРанство К"" называется графиком функции У. для функции двух переменных х =,г" (х, у) график представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Определение 2.2, Линией уровня функции Д(х, у) называется кривая в плоскости Оху, заданная уравнением Д(х, у) = С, где С вЂ” константа.
Придавая константе С различные значения, получают различные линии уровня данной функции. Обычно изображают линии уровня, соответствующие значениям канстантьь отличающимся на постоянную величину Ьж Связь между графиком функции г = г" (х, у) и линиями уровня следующая: линии уровня — это проекции на плоскость Оху сечений графика плоскостями г = С.
Для функции трех переменных Г(х, у, г) вместо линий урав- ня рассматривают поверхности уровня, задаваемые уравнениями Д(х,у,з) = С. 3. Предел и непрерывность функции в точке Понятие предела функции многих переменных в тачке вво- дят по аналогии с пределом функции одной переменной. На языке окрестностей оба определения звучат одинакова. Определение 3.1. Пусть ~: К" -+ К. Число а называется пре- делам функции Г при х, стремящемся к хе, если те > О, 36(е) > О, о такое, что Чх Е У~(хс) Г"(х) Е У,(а). Обозначение: 1тщ у(х) = а, Ж ~ЖО Определение 3,2, Функция „Г(х) называется непрерывной в точ- „а „с есщ, ~ущ~~~~у~~ й,а Г(х) Г(хс) ~,0 Обозначение: у Е С(ха), Определение 3.3.
Если ~г непрерывна в каждой точке х области С С Л"', та У называется непрерывной в области С. Обозначение; Г' Е С(С). Определение 3.4. Точки области определения функции называ- ются точками разрыва, если функция не является непрерывной в этих точках. 4. Частные производные н частные дифференциалы. Дифференцируемость функции Определение 4Д. Пусть функция г" (х) определена в окрестности точки х" = (хсы..., х'„').
Положим с о с с Г(х,) = Г(хы....х, ы х;,х;+т,...,х„). о Тогда — (х,) называется частной производной Д(х) по переменах; ной х, в точке ха: Ю о о 1Р' а ~1 У вЂ (х ) = 1",(х ) = †(х,) = оп дх, пха де~-ю ьъх; где ~( о о о+„„о о) о а о,о „01 — 1(хы...,х, ых;,х;„п...,х„). Определение 4.2. Частным дифференциалом функции 1(х) по переменной х, называется 4,,,)' = с1Г(х,) = — дх,.
'ду дх,. Замечанне. Из определения частных производных функции как обыкновенных производных при условии фиксирования всех переменных, крбме одной, следует, что при вычислении частных производных можно использовать правила вычисления обыкновенных производных. Пример 4.1.
Рассмотрим функцию г" (х, у) =- хзеа . Фиксируя переменные у и х, получим значения частных производных функции г" соответственно по х и у; г' = — = 2хе"; д,г д,1 ь Д= — =Зх у е" . ду Замечание. При и > 2 из существования в точке частных про- изводных по всем переменным не следует непрерывность функции в этой точке (как зто было для функций одной переменной).
Зто естественно, так как непрерывность накладывает ограничение на поведение функции во всей окрестности, а не только по направле- ниям отдельных переменных. Перейдем теперь к определению дифференцируемости функций многих переменных в точке. Определение 4З. Назовем вектор Ьх = (Ьх~,..., Ьх„) длиной р = 2, '(Ьх,)з, где Ьх; = х, — ха, приращением переменной 1=1 х а величину Ь г' = дх) — Г (ха) — полным приращением функции ): и точке хо Определение 4.4. Функция (:(х) = Дхы..., х„) называется дифференцируемой в точке ха, если существуют действительные числаА1,...,А„,такие, чтой г' = АзЬх1+...+А Ьх„+к(Ьх) р, где е(Ьх) -+ О при р — ~ О. Обозначение: 1 Е В(х ). Определение 4.5.
Если Д(х) б .0(ха), то линейная часть приращения у в точке хо называется дифференциалом или полным дифференциалом фуляр,г" в точке ха„и обозначается дУ = А,гх, +... + А„4х„, (4х, = Ьха). Теорема 4.1.Если функциями Е .О(х ),то 1 Е С(х ) Теорема4.2.Если г" Е В(х~) н Ф~, = А14х1+ . + А "* ° тоА;,= — (х ). д.( а дхч Таким образом, дифференциал функций многих переменных определяется однозначно, Теорема 4З (достаточное условие дифференцируемости функции в точке).
Если 1: К" -+ К и в некоторой окрестности точки х о д,г" существуют все частные производные —, г = 1,, и, причем дхь д1 С(,о) ( ~ о( о) дх,. 5. 1радиент и производная по направлению Определение 5.1. Если в пространстве К" задана прямоугольная декартова система координат н функция У(х) имеет в точке х о (хо,...,хо) частные производные по всем переменным, то вектор йтас11 = ~ — (х ),..., — (х )~ 1' дУ д дУ ~, дх1 дх называется градиентом функции у в точке хо, Для функций двух или трех переменных градиент в каждой точ- ке перпендикулярен соответственно линии илн поверхнос'ги уровня, проходящей через зту точку.
Пусть функция У(х) определена в некоторой окрестности точки хо = (хы..., хо). Проведем через эту точку прямую в напрааленин единичного вектора 1 = (1ы..., 1„). Произвольная точка М этой прямой имеет координаты (хо + Ыы...,хо + й„), где Ф б И. поэтому 1(М) = 1'(хог+11ы..., х'~ +И ) является функцией одной переменной 1. Определение 5.2. Производной функции 1 в точке хо по направленню единичного вектора 1 называется предел дг У( о+1~, хо+1~ ) У( о хо) а ~-"о Производную по направлению вычисляют по формуле д,г" - дУ дУ ==(йг 1~,~) = — ~г+...+ — ~..
дГ ' д, " д„' Для случая двух и трех переменных координаты единичного вектора 1 совпадают с его направляющими косинусами. Формулу для производной функции Дх, р, г) по направлению 1 = (соя а, соя д, соя у) можно переписать в виде д1 д1 ду д1 — = — соя а + — соя д + — соз у.
дГ дх ду дя Если направление задано вектором а произвольной длины, то д~ (Зги„Г, а) да )а! Скорость роста функции в данной точке максимальна по направлению градиента, и максимальное значение производной функции по направлению равно (йгазД. Производная функпии двух переменных по направлению, касательному к линии уровня в данной точке, равна нулю, Пример 5.1. Найти производную функции з = хз + уз в точке М (1, 1) по направлению 1, составляющему угол а = 7г/3 с положи- тельным направлением оси Ох н тупой угол с осью Од, дя ~ /дз дз Решениьч — „1 =( — сояа + — сояд~ = 2сояя~3— ' д~"1 1,дх др /~м — 2 яшя~'3. дз~ Следовательно, = = 1 — ъ'3.
д~ 1и 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Предположим, поверхность Р в трехмерном пространстве задана уравнением Р(х, д, з) = О, где 2в — днфференцируемая функ- Эту поверхность можно рассматривать как поверхность уровня функции трех переменных. Направление нормали к поверхности Р в точке М(хо, ро, яо) совпадает с направлением градиента функции Р(х, у, з) в этой точке: ~ =3 ~Р ~,, =(Р(М),Р(М),Р(М)). Касательная плоскость к поверхности Р в точке М задается уравнением Р (М)(х — хо) + Ря(М)(у — уо) + Р,(М)(я — зо) = О, х — х р — у я — я о о о а нормаль — уравнениями Если поверхность задана уравнением г = Дх, р), то это урав- пение можно переписать в виде уравнения поверхности уровня в ж~ 10 11 Г(х,у,з) = О, где Г(х,у,г) = г(х,у) — г при згом рМГ = ((',А,-1).
Пример 5.1, Составить уравнения нормали и касательной олоскостиксферехз+уз+аз-2х+4у — ба+5 = Овточке М(3,-1,5). Решение. Найдем частные производные функции Г(х, у, я) =- 2+ 2+ 2 дГ дà — = 2х — 2, — = 2у+4, — = 2я — б. дх ' ду ' дя Вычислив их значение в точке М, получим направляющий век>= х — 3 тор нормали и = (4, 2, 4). Ураврения нормали имеют вид .4 у+1 г — 5 = —, а уравнение касательной плоскости 4(х — 3) + 2 4 +2(у+ 1)+ 4(а — 5) = 0(или 2х+ у — 2х — 15 = О).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
