Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Функции многих переменных (2003) (1135792), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теорема 10,2 (достаточное условие строгого экстремума). Пусть 1 Е С (Цх )) и х — стационарная точка функции ~. Тогда, если второй дифференциал дзХ~,, = ~; У, з(хс)сЬ;дх~ ну=1 является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то хс — точка строгого минимума (макснмума), а если ~(з (~, не является знакоопределенной квадратичной формой, то экстремума в точке хс нет. Для того чтобы выяснить наличие экстремума функции Х(х) в стационарной точке хс, нужно исследовать на знакоопределенность квадратичную форму с магрицей ! ~1 ., (хс) О, з, з = 1,... п. Исследование проводят с помощью критерия Сильвестра.
Второй дифференциал является положительно определенной квадратичной формой тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы () ~,,, !) положительны: ~ж,х, Уе,х2 > О. 1х„т1 Второй дифференциал оз Г является отрицательно определенной квадратичной формой тогда и только тогда, когда все главные миноры четного порядка положительны, а нечепюго порядка — от- рицательны(Хг < О,Ьз > О,Ьз < О,Ь4 > Опт.д.).
и„=2х+2=0, „= 2у+4=0, и, = 2х — 6 = О 200 — 020 ~О О 2 и и„ и, ~э* изя и из и„ = 8 > О. , 3(х — 1)(х + 3) = О у ~ ~х 11. 'Условный экстремум творяют уравнениям Для функции двух переменньи это дает следующее правило, Предположим, что Р(хс, ус) — стационарная точка функции 1(х у), Обозначим А = 1',„(х~ ус), В = ~, (х~ ус) С = Ля(х~, ус). Тогда матрица квадратичной формы 4зД( ядр) = А(г)х)з + )'А В'1 +2Вохг)у+ С(йу)з имеет вид, и следовательно, ~В С~* 1)еслиАС-Вз > О,А > О,товточкеР,— строгнйминимум; 2) если АС-Вз > О, А < О, то в точке Р— строгий максимум; 3) если АС вЂ” Вз < О, то в точке Р экстремума нет; 4) если АС вЂ” Вз = О, то необходимо дополнительное исследо- ванне.
Пример 10.1, Исследовать на экстремум функцию х = хз + + 2хз + 2ху — уз — Ох, Рещение. Найдем стационарные точки функции х(х, у): < х.=3хз+4х+2у-0=0 ~ Зх'+бх-0=0 .Ф хя — — 2х — 2у = О у =х Следовательно, стационарные точки — Р(1, 1) и Ч( — 3, — 3) Вычислим вторые производные фунющи з(х, у). А=а =бх+4, В=э~„=2, С=я„„= — 2. В точке Р имеем АС вЂ” Вз = -24 < О, следовательно, в этой точке экстремума нет. В точке Я имеем АС вЂ” Вз = 24 > О, А = -14 < О, следовательно, Я( — 3, — 3) — точка строгого максимума и з(-3, -3) =- 27.
Пример 10.2. Исследовать на экстремум функцию трех переменных и = хз + уз + гз + 2х + 4у — бз. Рещение. Из системы определяем стационарную точку Р( — 1, -2, 3), В этой точке нахо- дим значения вторых производных функции и(х, у, х) и знаки глав- ных миноров матрицы квадратичной формы с)зи: и„„=2, и =2, ик,=2, ия — — и~,=из,— — О, Л~=и, =2>0, Ьз= ихж имя 2 0 =4>0, и„ищ, ~ 0 2 Второй дифференциал, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Поэтому в точке Р(-1,-2,3) функция имеет минимум и( — 1, — 2,3) = — 14. Определение 11.1.
Пусть в пространстве 1Г задана функция Дхы ..., х ) и множество точек Е, координаты которых удовле- яЯхы ..., х„) = О,,у = 1, ..., гп. (9) Точка хс ~ Е называется точкой условного экстремума функ- ции У при выполнении условий связи (9), если она является точ- юй обычного экстремума этой функции, рассматриваемой толью на множестве Е.
Пример 11Л. Найти условный экстремум функции /(х, р) = = ха+ рз при условии х + у — 1 = О. Решение. На множестве Е, удовлетворяющем условию связи, функция /(х, у) может рассматриваться как функция одной пере- ИР менной Г(х) = /(х,1 — х) = 2хз — 2х+ 1. Тогда — = 4х — 2, и Нх следовательно, х = — — стационарная точка для Г. о 2 Так как Ра (1/2) = 4 > О, в точке Р(1/2, 1/2) функция У имеет условный минимум Х(Р) = 1/2. Как ясно из этого примера, точка условного экстремума не обя- зана быть точкой обычного экстремума. Действительно, в точке Р не выполнено необходимое условие экстремума: ~ф(,~з,~з) —— Их+ +(УФО.
В дальнейшем предполагаем, что функции /(х), у,(х), 1 1, ... гп, гп<кь непрерывно дифференцируемы в окрестноду,(х) стн точки хс и ранг матрицы Якоби, 1 = 1, ..., гп, д, г' = 1, ..., и, равен оз на множестве Е. Теорема 11,1 (необходимое условие существования условно- го экстремума). Пусть хс — точка условного экстремума функции /(х) прн выполнении условий связи (9). Тогда существуют числа А „,) = 1, ..., т, такие„что в точке хе — +~ Ау — =О, 1=1,...,и, д/ 'с ~ дну дх, 2- здх,.— эка Следствие. Если хо — точка условного экстремума У(х), то она является стационарной точкой для функции Лагранжа Х,(, А„..., А„) = У(*) + ',~'Л,~;( ). у=1 Замечание.
У функции Лагранжа Ь цри любых Лу точки ее условного экстремума при выполнении условий связи (9) совпадают с точками условного экстремума функции /(х), поскольку Х ь—з , / на множестве Е = (х е В: у (х) = О, / = 1, ..., гп). Отсюда вытекает способ нахождения точек условного экстре- ~Ар = ~ — "ох, = О, ) = 1, ..., т,, т-~ да) дх,. с=э (10) то хс — точка условного экстремума для у(х). Замечание.
Если тзХ является знакоопределенной квадратичной формой и без выполнения условий связи„то, очевидно, будет таковой н при их выполнении. То есть, если х — точка обычного с мума. Выберем Л из условий стационарности исюмой точки Р(хы ...,х„) для функции Х,т.е. найдем хы ...,хч, Аы ...,А нз тп+п условий.
Тогда все точки условного экстремума У окажутся среди стационарных точек Х. Теорема 11.2 (достаточное условие существования условного экстремума). Если хс — стационарная точка функции Лагранжа Х и озХ > 0 (НзХ < О) прн выполнении условий связи (безусловного) экстремума функции Х,, то она будет точкой условного экстремума для Х. Итак, метод исследования функции на условный экстремум со- стоит в следующем: 1) найти функцию Лагранжа Х (т, е. коэффипиенты Лы ..., Л ) и ее стационарные точки; 2) исследовать с(зЬ в этих точках. Если с(зЬ вЂ” знакоопределенная квадратичная форма при любых с(х = (с(хы ..., с(х„)„то Х, имеет в этих точках безусловный экстремум, а / — условный. Если квадратичная форма с(зЬ не является знакоопределенной для любых с(х = (с1хы..., с(х„), то надо исследовать с(зЬ или с(з/ при выполнении условий связи () 0) для дифференциалов.
Пример 11.2. Исследовать на условньсй экстремум функцию /(х,у) = 6 — 5х — 4у при выполнении условия связи у(х,у) = 2 з =х — у †9. Решение. Запишем функцшо Ллгранлса Ь(х, у) = 6 — 5х — 4у+ +Л(х — у~ — 9) и систему уравнений для определения числа Л и стационарных точек функции Лагранжа: Х = — 5+ 2Лх — — О, Ь,=-4 — 2Лд=О, х2 у2 9 — 0 Из системы находим х = — 5, у = 4 при Л = — 1/2; х = 5, у =- — 4 при Л = 1/2.
Вычислим второй дифференциал функции Лаграняса: Ь„„= 2Л, Ь „= О, Ьуу = — 2Л => с(~Ь = 2Л(бх)з — 2Л(с(д)~. 26 Ь„= — + Л = О, 1 х Ь„= — +2Л=О, 2 у Ь, = — +ЗЛ=О, 3 х+2у+Зг = а Гогда из системы 6 а получим Л = — —, х = у = з =- —, а' 6 (6 )з (,(д)з (ас )з Второй дифференциал с( Х = — — — з — отрица- тельно определен во всех точках. Следовательно, в стационарной са а а,, точке Р = ( —, —, — ) функция и, а вместе с ней и функция и, имеет (,6' 6' 6) сата в точке Р максимум и(Р) = ( — ) 16Х Он не является знакоопределенной квадратичной формой в точках Р( — 5,4) и Я(5, — 4).
Условие связи (10) для дифференциалов с(х и с(у имеет вид с6р = хдх — ус(у = О, В точке Р(-5, 4) имеем 5 — 5с(х — 4с(у = О, т. е. с(у = — -с(х, н следовательно, второй дифферегпсиал функции Лагранжа с( Ь = 2 ~ — -~ ~(с(х) — ~ — — ссх — — — (ссх) > 0 — положительно определен. Аналогично, в точке 2 16 ()(5, — 4)второйдифференциалб Ь = 2д (с(х) — — ссх =- — — (с(х) ( 0 — отрицательно определен.
9 16 Следовательно, Дх,у) в точке Р( — 5,4) имеет условный минимум Х(-5,4) = 15, а в точке Я(5, — 4) — условный максимум /(5, — 4) = — 3. Пример 11,3. Исследовать на условный экстремум функцию и = хузгз при выполнении условия связи х+ 2у + Зз = а. Решение. Составим функцию Лагранжа для вспомогательной функции и = 1пи: Х = 1пх+ 21пу+ 31пя+ Л(х = 2у+ Зх — а). Продозхсеиие задач и 1 а) у(х, д, з) = х у+у 3+3' а) г'(х, у) = хзу + 2х у + 6) Г(хз + ув хз уз) в) з = 1п(уз — х) 6) у(х~+у~+з~, хуз, уз ) в) зз — 3(х+у)зг+у = 0 г)Г(хг+у, з) =О г)à —, — =0 10 а) 1(х, д, з) = 1п(х + у — «) а) з'(х, д) = хв1п(х+ у)+ +у сов(х + д) 6) г(хг+уг+зг х+д+з, хуз) 6) 1(в1п хе, в1пде, в1п ху) в) /хг уг ухг- уг в) гг )п(з + х) = ху г) Г(е ~, 1пху) =- О а) Г(х, у) = з)п(х + у + 1) 6) г'(еев1пу, е" сове, хуз) в) з = ~/хг: угс18 гх~ — уг г) Г(ху, уз, зх) = 0 а) У'(х, у) = (2хгуг х+ Цз 14 а) 1(х, у, з) = атс18х + ззсзхд+ б) У(е"з, згсз1пуг) в) 5хз + 5уг + 5гг — 2ху — 2дз— 6) з"'(ху, х — з, у+ 3) в) гз — хе+ у = 0 г)Г( —, — ) =0 г) Г(д — х, е ') = 0 28 Домашнее задание (Вариаитьз 1-30) Задача 1 Найти первый и второй дифференциалы: а) для Функции двух или трех переменньпс; б) для сложной функции; в) и г) для неявной функции; в пункте г) найти только первый дифференциал.
г) Г ( 1п —, з) = О х' а) 1(х, у, з) = 1п(хугзз) б) ('(хг, уг, зг) в) хз + уз + з4 4хуз г) Г(х + з, у + з) = 0 Продолжение задми 2 5 16 хд— 2Д Уравненне и=х,и= /х+уу авв 17 у2— ах2 х = исови, у = ив1пи хв ув и= —, и=— 2' 2 х = е" сов и, у = = В 82ПЭ и=ху,ю=х ув и = у, и =- введу и= у — Зх, и = у+2х и=2у +Зх и=-д 10 — свЗ х = исови, у = ивши и = 1п(х+ ~/Т+ х~) ю = 1п(у + /Г+ ув) и = ху, ю = ху и =х2, в = х+у 14 , а",авв а х —,— у — — 2у — =О дх ау2 ау и = —, и = д:у у х' 32 Задача 2 Преобразовать уравнение, приняв и(х„у) и и(х, д) за новые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
