Гришина Г.В., Демин А.И., Михайлова О.В. Функции многих переменных (2003) (1135792), страница 2
Текст из файла (страница 2)
7. Производные и дифференциал сложной функции Теорема 7.1 (о производной сложной функции). Пусть функции одной переменной х1(й), ..., х„ф днфференцируемы в точке 1с, х (~0) хо 4 1 и а Д(х) 1(х1 х ) функция и переменных, дифференцируемая в точке хс = (х1с, ..., х~), Тогда сложная функция я(е) = Дх(1) ) определена в некоторой окрестности точки 1с и дифференцируема в зтой точке, причем Теорема 7.2 (о частных производных сложной функций многих переменных). Пусть х1(1), ..., х„(е) — функции ь' переменных (г = (гы ..., йь)), для которых существуют частные производные — в точке 1 = (1, ...,1„), 1 = 1, ..., и, )' =- 1, ..., й, х~(~ ) = х; а У(х) = У(хм ..., х„) — функция и переменных, дифференцируемая в точке хс = (хо, ..., х„").
Тогда сложная функ- ция )с переменных г(Ф) = дхщ имеет в точке го частные произ- водные по всем переменным„и их находят по формулам Следствие. Форма первого дифференциала инвариантна, т.е. Определение 7.1. В случае, когда сложная функция имеет вид у(Ф, у1(8),..., у„(Г)), производная называется полной производной функции Т" по переменной Ф. Пример 7.1. Если Г"(1, у) = з(п(гу), у = Я + Р, то частная д,~ производная — = у соз ф, а полная производная д1 4 й (1 + 212) совил + Фз) — = у.созф+ 1 совуаЛ+~~ Л+ г' Арифметические свойства первого дифференциала: 1) 1(~+ д) = ф+ дд; 2) Ы(г"д) = дог" + (дд; 3) ( 8.
Частные производные и дифференциалы выеитих ивридион Определение ЗЛ. Частная производная по любой независимой переменной от часлной производной порядка й — 1 функцпи )'(х) = = 1(хы, х„) называется частной производной порядка й функции 1(х): дь-1) ~( дь) Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной, а по одной — чистой производной. Пример ЗЛ, Найти частные производные второго порядка для функции 1(х,у) = вшхсозу.
(1) (2) У. =У. +Ьс. Уу Иву + Гася Решение: получим (4) Замечание. В данном примере ~,„= Д„. Это не всегда так. Однако для элементарных функций нескольких переменных смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования в тех точках, где они существуют. Это следует из сформулированной ниже теоремы. д„(У.) = д — (А) = ду — (У.) = д ду д — (Ь) = дх д — (совхсову) = — вшхсову, дх д — (-вшхв)пу) = — вшхсову, ду д — (совхсову) = — совхв1пу, ду д — ( — вшхвшу) = — совхвшу.
дх Теорема 8.1 (о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования). Пусть функция 1(х, у) и ее производные 1, Д„, У,к, Д„опуелелены в окРестности точки (х, У ) и нео о прерывны в этой точке. Тогда ~ак(хо, уо) = ~„(хс, уо). Определение 8.2. Функция, имеющая в точке х (или в ее о окрестности у(хо)) непрерывные частные производные всех порядков до ш включительно, называется тв раз непрерывно дифференцируемой в точке хо (или в у(хо)).
Обозначение: г" е С"'(хо), (~ е. С™(У(х~))), Выведем формулы для производных второго порядка сложной функции двух переменных 1(и(х, у), с(х, у) ). Дифференцируя выражения для первых производных сложной функции Ухх = (~ии + Уюса)~ =,~~и(и~) + 2~~„и~с~+ + Ую~ (сх) + Ланях + Л~стх1 2 )~в = (Я,и, + ~„,и„)в — — ~„,„,м из + (~„(и„ив + пас„)+ + У в~ха+ У в з+ У~с в Узв (Уюпз + ~Асв)з Гии(~~у) + 2Уииз~ся+ + У„.(ер) + 1,,и,„+)',д)„„.
2 Перейдем теперь к определению дифференциалов высшего по- рядка. Для дифференцируемой функции ) (хм ..., х„) первыйдиффе- дУ Ю ренциал равен ф' = — дх1+... + — Их . Частные производные дх~ ' дх„ 13 д~ — представляют собой функции и переменных. Следовательно, дх; при фиксированных значениях Щ дифференциал ц/ тоже является функпней п переменных.
Определение 8.3. Если / 6 С2, то дифференциалом второго порядка функции / называется дифференциал от первого дифференциала оз/ = н(чг'). при этом дифференциал от ф' подсчитыааегся при тех же постоянных приращениях аргументов Ихт, ..., дх, что и цг. Аналогично, если / Е С, то Й )' = Й(д '/). Второй дифференциал функции от и независимых переменных выражается через частные производные следующим образом: в'у=нфдх..;) =т'нф;) = Г дз/ дз/ '~ дз/ — Нхг+...+ — Нх„)Нхз= ~ Йх,йх/, 1,дх,дх1 ' ' ' дх,дх„") ', дх;дх Замечание. При и > 2 нет инвариантности формы второго дифференциала.
Эго можно проиллюстрировать на примере сложной функции двух переменных, Пример 8.2, Пусть 2 = Д(х,у) х = х(м с) у — (ц ТогДа Ия = / йх+ У„'лУ вЂ” г„,/„+ У,~с Относительно независимых переменных и и с второй диффе- ренциал имеет вид д 3 = )'ыи(~й2) + 2Х,и„г~о~~с+,~югФ~) . Однако для зависимых переменных х и у получаем сР2 = д( Г" дх + / Ну) = Н(/ )г/х + / ~Рх + й(/ )йу + /" 82У = = / „(дх)2 + 2/ „Ихйу + ~„„(ду)2 + /"' о~х + Д„4~у. При этом гРх = ~Ну = 0 только в том случае, когда х, у— линейные функции от ц, с, пример 8.3.
Для функции 2 = ~/хз + уз найти дифференциалы первого н второго порядка. Решение, Находим частные производные первого и второго по- рядков: Ых + уеду Отсюда сЬ = /х2+ 2 ' 2(Д )2 2 ДхД +х2(Д )2 ( Д Д )2 ( 2+ Уз)З/2 ( 2 + У2)З/2 Пример 8.4, Для сложной функции 2 = /(и, е), где и = ху, х е = —, найти дифференциалы первого н второго порядков. у Решение. Дифференцируя х как сложную функцию. получаем уох — хну ~~2 = 1и~~ц + У~.'~х = (усх + х~Ы.)и + 2 у Н х = (с„(УНх+хду) + 2)',д, 2 + 2 (удх) 2 — (хф) 2 Уя +«Г"~ 4 + ~~ У+~~ 2 / 3( У) (йх — хну)2 / 2 2х у' У' У' х у зх= — 1 22= / 2+.У2' / 2+Уз' / 2+ — 2 (х2+У2)3/2 2 (.2+ У2)З/2' — ху Я (,2+ уз)з/2 у2 (хз + У2)3/2 ' Их) = Л вЂ” *' Ях) = — ~/1хз, ( У1(х) х т= хо Ь(х) = ~ 1 л(-), .=" зх хзи + зи> зу зи з зхх = х зии + 2хзии + зии + зи ~ уху = хзии + зим~ Зуу = зии.
сии зи — О. '17' 16 хз Пример 3.5. Приняв и = у + — и ю — — х за новые независи- 2 мые переменные, преобразовать уравнение хх — 2хгх„+ х-"зуу— -2я =О, '.у Рашаииа. Выразим производные, входящиа в уравнение, через производные функции х по новым переменным согласно формулам (1) — (5): Подставим полученные выражения в уравнение х яии+ 2хзии+ з„и+ яи — 2х(хзии+ сии)+ х зии — 2яи = О.
2 2 После преобразований и приведения подобных слагаемых получим 9. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций Определение 9.1. Пусть задано уравнение Р(х1, ..., хи, у) = = О. Если существует функция и = У(хм ..., х„), такая, по для всех х = (хм ..., хи) из области определения функции )" вьпюлнено равенство Р(х, 1(х)) = О, то Дхз, ..., х„) называется неявной функцией, определяемой уравнением Р(х1, ..., хи, у) = О. Пример 9.1.
Из уравнения хз + рз — 1 = О неявная функция у =,г" (х) может быть определена неоднозначно. Например, Нас будут интересовать вопросы: 1) при каких условиях неявная функция существует и единственна? 2) как найти производные неявной функции, не находя ее явной формулы? Теорема 9.1 (о существовании и дифференцируемости неявной функции), Пусть Р(х,у) = О, х = (хг,...,х„), Р(х,у) Е ~ С(У(хо уо)), и существует производная Г„(х, у) б С(хо,уо), при этом Г(хо,уо) = О, гу(хо,ро) у'-.
О. Тогда; 1) найдутся окрестности У(хо) и У(уо), такие, что для х а б у(хо) существует и = )'(х) — единственная функция, для юторой д(хо) = уо, у(х) б У(уо),иГ(х,У(х)) = О; 2) функция У(х) Е С(У(х )); 3) если„кроме того, в некоторой окрестности у'(хо, ро) существует частная производная Г . (х, р) я С(хо, ро), то существует производная неявной функции У,, (х ) =— р ( о „о) Следствие. Если функция Г(х1, ..., х„, у) имеет производные по всем переменным Рх1, ..., Р„„, непрерывные в точке (хо, уо), то неявная функция 1(х) дифференцируема в точке хо и ее диффеу (хо ро) ренциал оГ" = — 2; ', ',, Ых,. ~=~ гу(х у ) Из теоремы следует способ нахождения производных нети(ной функции.
В случае, когда необходимо найти производныс первого порядка по всем переменным, про«де найти дифференциал функции у =. = У(х). Поскольку Г(х, У(х)) = О„из свойства ннвариантности первого дифференциала, дифференцируя обе части равенства, получим ~'„Г ««Ь«+ РздУ = О. А так как в окРестности точки (хс, У") пРо«ют изводная Р„(хс,у") ~ О,находим ду = — 2, †««Ь«.
Пример 9.2. Найти дифференциал функции з(х, у), заданной ху уравнением е""' — атеей — = О, Решение. Находим частные производныа и дифференциал функции Г(х, у, г) = е*"' — агс$6 —: Пример 9.3. Найти «Ь и «1 г, если х — х = агстй —. Я у х — х Решение. Дифференцируя равенство, получаем «т(з — х) = 1 (х — х)Йу — у«т(х — х) ( и )' (*- (' Упротцая зто выражение, имеем ((х — х) + у~+у) (1(х — х) = (в — х)ду, (6) (з — х)«1у следовательно, первый дифференциал «Ь = Йх + (х — х) +у'+у Диффаренцирование равенства (6) дает ((х — х)з+«/я+у) ««я(х — х) .= = — 2 ((х — х)«1(я — х) + уеду) «1(х — х).
р, хт(~ Р =хх1е""' — —— 1 хзуз + хз/~' я 1 хауз + хз / ' ху+х/ «тЕ = х е*"' — (у«1х+ Ыу)+ хзу~ + з~ / 1 +ху е "'+ «Ь. .3 з+ 3 Из уравнения дЕ = О получаем ( зуз + 2) жал = — (, )(.х -").« ху 1 1+ (хзуз+ хз)с*У~/ и следовательно, х (1 (х уз + хз)ежтх) з (1 (хауз+ гЗ)е~т«~) х (1+ (хауз + хз)е*ю') ' Я у (1+ (хауз + ха)««."Я') ' Подставив вместо 0(х — х) его выражение из (6), получим оконча- тельную формулу для второго дифференциала: ,~,,~(, ) 2(х - х)(у+1)Их — )'+ уз) И вЂ” )'+ уз+ у)' Пример 9.4.
Найти «тзх, если г'(х + х, у + г) = О. Реп«ение. Положим х + г = и, у + х = и. Последовательно дифференцируя, получаем «тГ' = й~(дх + дх) + Р («1у + «Ь) = О„ «1~Е = Г„(«1х+ «Й) + 2Р„„(дх+ «1з)(«1у+ «Ь)+ Р («+4 )з+(Р +Р)62 Из равенства (7) находим первый дифференциал дз = К~бЬ'+ Ердца и вычисляем суммы Я+ У Р„г(х + Г„йу К„.фг — Нр) Я' Р„йх + Р„6у Р„(г(у — ох) Р„+ ЄЄ+ Р„ Используя эти соотношения, из равенства (8) находим второй дифференциал: — — з ЙР'-)'Р' — 2~ Р'.~ ° + (Р4'Р"-) ( ~-"Р) . (р,+ с )з 10. Экстремумы.
Необходимые и достаточные условии экстремума в точке Определение 10.1, Пусть функция г" (х) = г" (хг,..., х„) определена на множестве С б 1Г. Точка хс = (хсы, хс,) Е С называется точкой максимума (минимума) функпии Г" (х), если сущео ствует окрестность У(х~), такая, что Чх Е У(х ) П С,г(х) < Дх~) У( ) > ~(х')). Если У(х) < г"(хс) (г(х) > г(хс)), то хс называется точкой строгого максимума (минимума). Точки (строгого) максимума н минимума называются точками (строгого) экстремума.
Теорема 10.1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция 1(х), х = (хй... х„) определена в окрестности точки хс. Если это точка экстремума и существует частная производная Г"„,. (хс) по какой-либо из переменных х; (1 б (1, ..., п)), то 1',, (хс) = О. Следствие. Если г (х) дифференцируема в точке экстремума, то Фх хо=О. Определение 10.2. Если г(х) Е В(х~) и НУАЕ„о = О, то хс называется стационарной точкой функции Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
