Минеева О.М., Неклюдов А.В., Скуднева О.В. Несобственные интегралы (2003) (1135778)
Текст из файла
Московский государственный технический университет имени Н.Э, Баумана УДК 517.3 ББК 22.161.1 М61 Рецензент Е.Н. Жидков ВВЕДЕНИЕ БВ1ч 5-7038-2351-Х УДК 517.3 ББК 22.161Л Ольга Михайловна Минеева Алексей Владимирович Неклюдов Оксана Валентиновна Скудиевв НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Редактор О.М Королева Корректор Г С. Бвллвва Излвтельство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бвумзнскзя, 5. 13В1Ч 5-7038-2351-Х © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 Минеева О.М„Неклкыов А.В., Скудиевв О.В. М61 Несобственные интегралы: Методические указания к выполнению типового расчета. — Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бзумзнз, 2003. -42 сл ил. Рассмотрены вопросы вычисления и исследования нв сходимость несобственных интегрзлов по бесконечному промежутку и от неограниченных функций и несобственных интегралов с несколькими особенностями. Приведены краткие теоретические сведения, примеры решены залез, задачи для самостоятельного решения, условие типового расчета. Для студентов 1 курса всех факультетов МГТУ им.
Н.Э, Баумана. Ил. 9. Библиогр. б нвзв. Подписано в печать 11.08.03. Формат бох84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 2,25. Уел. печ. л. 2,09, Уч.-изд. л. 1,89. Тираж 200 экз. Изд. /зз 56. Заказ Щ В курсе математического анализа рассматривается определен- Ь ный интеграл (нли интеграл Римана) ] у [х)дл, который вводится а как предел интегральных сумм.
При этом отрезок [а, Ь] предполага- Ь ется конечным. Для существования интеграла ) у [ш)/зж достаточно; а чтобы функция у (х) была непрерывна на [а, Ь] или имела на [а, Ь] конечное число точек разрыва первого рода, Необходимым условием интегрируемости по Риману является ограниченность функции на отрезке [а, Ь]. Задачи вычисления площади криволинейной трапеции, массы неоднородного стержня, координаты точки, движущейся по прямой с переменной скоростью и другие приводят к понятию определенного интеграла. Они сохраняют свою актуальность и в случае функций, заданных на бесконечных промежутках нли заданных на конечном отрезке, но неограниченных на этом отрезке.
Конструкция же интеграла как предела интегральных сумм не может быть напрямую перенесена на функции, заданные на бесконечном интервале. Для функций, неограниченных на конечном отрезке [а, Ь), можно рассматривать интегральные суммы, но они не имеют конечного предела, который не зависел бы от способа разбиения [а, Ь] и выбора точек на элементарных отрезках разбиения. Таким образом„возникает необходимость ввести понятие интеграла по бесконечному промежутку и интеграла от функций, неограниченных на конечном отрезке [а, Ь].
1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Определение несобственного интеграла первого рода Определение. Пусть Дх) определена и непрерывна на проме'жутке [а, +со), за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке вида [а, Ь]. Тогда несобственным интегралом первого рода ],г(х)дх на- О зывается предел определенного интеграла с переменным верхним ь пределом [ г(х)дх при Ь -ь +со: О Если этот предел существует и конечен, то несобственный инте+Со . грал / у"(х)Ых называется сходящимся. В противном случае, т. е.
если этот предел бесконечен либо не существует, несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла и его сходимости для промежутка (- Ь] Определение. Пусть функция У(х) определена и непрерывна на промежутке ( — оо, Ь], за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке [а, Ь], где ь а < Ь, Тогда несобственным интегралом первого рода ] Дх)Нх называется предел определенного интеграла с переменным нижним ь пределом ] у(х)цх при а — ь — оо: О +00 Замечание.
Несобственные интегралы первого рода ] У(х)сЬ О +00 и ] Дх)сЬ (где а < с) сходятся либо расходятся одновремен+00 но. Действительно, интеграл | У(х)Ых можно представить в виа с +00 де суммы / У(х)Нх + ) Дх)дх, где первое слагаемое предста- О вляет собой определенный интеграл и, следовательно, имеет конечное значение. Остается применить определение сходимости несобственного интеграла, после чего справедливость замечания становится очевидной.
Аналогичное замечание справедливо и для несобственных интегралов первого рода по промежутку ( — оо, Ь], Таким образом, сходимость или расходимость несобственнык интегралов первого рода определяется поведением подынтегральной функции в бесконечности и не зависит от ее поведения на любом фиксированном конечном промежутке. (Напомним, что подынтегральная функция может иметь точки разрыва только первого рода — только для таких функций мы можем говорить о несобственном интеграле первого рода.) Геометрическая интерпретация несобственного интеграла первого рода Пусть Дх) непрерывная и положительная на [а,+ос) функция. Если ввести определение площади бесюнечной фигуры, ограниченной прямымн х = а, д = О и графиюм функции р =,г(х), как предел Ф ь а при б -+ +ос площади юнечной криволир„1 нейной трапеции, ограниченной прямыми х = а,х = б,д = Оиграфикомр = г"(х) ь (которая, как известно, равна определенному интегралу /,г'(х)г(х), а то получим, что бесконечная площадь равна несобственному инте- + оо гралу 1,г(х)дх (рис.
1). Свойства несобственного интеграла первого рода 1)Если'сходятсяинтегралы 1 Дх)дх и | д(х)ох,тосходит- а а ся интеграл от суммы функций Дх) и д(х), причем (у(х) + д(х))Нх — у(х)Их+ ' д(х)Нх. а а а +оо 2) Если сходится интеграл | У(х)г(х, то сходится интеграл от О функции с,Г" (х) (где с = сонм), причем Свойства 1) и 2) имеют место и для интегралов по промежутку вида ( — ос, Ь].
Вычисление несобственных интегралов первого рода Пусть непрерывная на [а, +ос) функция у(х) имеет первообраз- ' ную Р(х). Используя определение несобственного интеграла первого рода и формулу Ньютона — Лейбница, получим +оо ь Дх)дх = Бш [ у(х)дх = Ь-++оо д а а 1пп (г(о) — г(а)) = Рпа г(о) — Р(а). Отсюда видно, что несобственный интеграл первого рода 1 1 (х)лх сходится тогда и только тогда, югда существует конеча ный предел первообразной г (х) при стремлении аргумента к +со (соответственно к — сю для интеграла по промежутку вида ( — ос, Ь[).
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл первого рода +оо )' — 1(х. 1 х2 Решение. +оо . Ь [ь 2(х 11ш / за 11ш 11ш Г 1 1' х2 Ь-Ф+ 1 2 Ь + Ь + ~ Ь 1 1 Мы показали, что данный интеграл сходится и нашли его значение. +оо 1 Пример 2. Вычислить интеграл ) -Нх. х Решение. сГ(х)Их = с 1(х)дх. -Нх = йш / — = 11ш 1пх[ = йпз 1пб =+ос, ~ ~~ 1 х ь-++ х ь-++ ь-~+ о 1 1 Интеграл расходится. +ОО Ь Г совхг(х= Нш совЫх= Ь-++со,/ -ф ~ь Нш в)пх~ = Нш (в1пЬ+1). ь-с+ ~ ь-++ 2 Ь1-О 1 — а о 1Ш1 ь-++со 1 — а 1 — а +Ос Пример 3. Вычислить интеграл ) — с(х. Л Региение.
сгх . Г Их ь Нш / — = 1пл 21гх~ 2ГХ Ь-++о,/ т/Х Ь-++ с 1 1 Нпз (2Л вЂ” 21/2) = +оо. Ь-++ос Интеграл расходится. Пример 4. Рассмотрим несобственный интеграл первого рода, +Ос более общий, чем в примере 1: | — <(х, где а ) О, а > О. а ха Решение. +ОО ь 2< | Г1 — г(х = Нш )~ — г(х = Нш ХО Ь„+ о„~ Хо Ь„+со 1 — а~, а а (здесь а ф 1). Последний предел равен О, если а > 1. В этом случае а 1-а .интеграл сходится и равен —. Если а < 1, то предел равен со и а — 1 ' интеграл расходится. Случай а = 1 рассмотрен отдельно в примере 2, интеграл в этом случае расходится.
Таким образом, несобствен- +ОО ныйинтеграл | — г(хсходитсяприа ) 1ирасходитсяприа < 1. а х Замечание к нримеру 4. Не случайно оговаривается, что а > О, иначе в промежуток (о, + ос) попадет точка х = О, которая является 1 для функдии р = — точкой разрыва второго рода и, следовательно, ха + 1 интеграл | — гсх не является несобственным интегралом первого а хо рода. +СО Пример 5. Вычислить интеграл | соа хс(х. 2 Решение. Этот предел не существует, т, е.
интеграл расходится. Пример б. Вычислить | ц*г(х, где с1 > О, ц эЬ 1, а — любое. ' а Решение, +со ь . Ь а | д*с1х = Нпг ц*г(х = Нгл Я вЂ” Я ь-с+ ь + 1па При ц б (0,1) 1пп дь = О, поэтому интеграл сходится иравен Ь-++оо —. При а е (1,+со) 1пп д = +со, поэтому интеграл расхо— Я ь 1пд Ь-++са дится. Пример 7. Вычислить объем тела, полученного при вращении 1 вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми д 1/1+ хз у = О, х = 1 (х ( 1). Региение. Объем тела вращения (рис.
2) равен 1 1 'Г' = 2Г с(х . |" с(х = сг 1пп 1+ хз а-+-а,г' 1+ хз — ОО О = сг Нпз (агсгя1 — агс1яа) = сг~--~ — — )) = —. а-+-ос ~с4 ~, 2)) 4 у" ,1 Рис. 2 Признаки сходимости несобственных интегралов первого род» Вычисление несобственного интеграла может быть осложнено (или вообще невозможно) из-за трудностей, связанных с нахождением первообразной.
Однако во многих случаях представляет интерес установление факта сходимости или расходимости несобственного интеграла без вычисления его значения. Для решения этой задачи используются следующие признаки сходимости. Будем предполагать, что функции у (х) и 9(х) непрерывны на промежутке ~а, +со), за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода на каждом конечном промежутке. 1) Признак сравнения. Пусть для всех х Е ~А, +со] (где А > а) выполнены неравенства 0 < 1(х) < д(х).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
