Минеева О.М., Неклюдов А.В., Скуднева О.В. Несобственные интегралы (2003) (1135778), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода для функций, непрерывных на полуинтервале (а, Ь] и неограниченных в правой окрестности точки а (рис. 6): Несобственный интеграл второго рода Ь обладает свойством линейности: если сходятся интегралы ) .г'(х)с1х Получаем 1 а 18 ь и | у(ж)дх, то сходятся интегралы от функций ~(ж) + у(х) и сДх) (где с = сопят), причем ь ь ь | Их) + р(х))бх =-,|(х)сЬ+ р(х)сЬ; а а Ф ь ь | сарж)ож = с Дх)дж. а а Вычисление несобственного интеграла второго рода Рассмотрим функцию Дж), непрерывную на 1а, Ь) и неограниченную в окрестности точки Ь.
Пусть Р(ж) — первообразная функции Дж). Тогда, используя определение несобственного интеграла второго рода и формулу Ньютона — Лейбница, получим ь ь-е у(ж) Ь = Вп1 l 7(ж)1Ь = 1пп (Р(Ь вЂ” е) — Р(а)) = е-++О / е-1+О = Вп1 Р(Ьг л) — Р(о). е-++О Таким образом, несобственный интеграл второго рода сходит- ся тогда и толью тогда, когда существует конечный предел перво- образной подынтегральной функции йш Р(Ь вЂ” е). В частности, е-++О если первообразиая Р(х) непрерывна в точке Ь, то интеграл схоя, 1Ь Пример 15. Вычислить интеграл 1 О ъ1 — х~ Реиьеиие, Подынтегральная функция не ограничена при ж — Ь 1. à — 1-е =В 1 =и Д вЂ” ж е-++О,/ Д: 7,,ЬО О О О = йш агсз1п(1 — е) — агсаш О = —.
е-++О 2 Таким образом, интеграл сходится и равен —. Аналогично несобственный интеграл второго рода вычисляется и для функций, непрерывных на полуинтервале (а, 6) и неограниченных в окрестности точки а; ~(ж)сЬ = 1пп ~(ж)бх = 111а (Р(6) — Р(а+ е)) = е-++О,/ е->+О Я а+а = Р(Ь) — Бш Р(а+а), а-++О бж Пример 1б. Вычислить интеграл | —, О зшж Реьиепие. Подынтегральная функция не ограничена при ж -ь О. Тогда бж 1ш1 1 е-++О,/ ашх ж е = йп 1п ! Фк -~ ~ ' = 1п ~ Фя -! — Вш 1п ! ьй -~ = +со.
6-1+О 2 6 4 е-++О 2 е (Мы использовали то, что 1пп 1я — = О и 1пп 1О О = -со.) а-~+О 2 1-~+О 1Ь Итак, несобственный интеграл второго рода 1 —. расходится, О з1пх ь,Ь ь Пример 17. Вычислить интегралы 1 или 1 — ' „(ж — а), (Ь вЂ” ж)"' где о > О, а, 6 = сопи. Ревнение. Первый из этих несобственных интегралов имеет особенность в точке а, второй — в точке Ь. Рассмотрим, например, ин- теграл ь ь — 11щ (х — а)'* в-в+о 1 (х — а)'" а+в (х — а)' = 1пп в-++О 1 — тт (Ь а)1-а е1-а — 11пз а+в 1 — св в-++о 1 — а а а+в = 11пт 1п(х — а)[ь+, —— 1п(Ь вЂ” а) — 1пп 1п е = +со в-++О а+в в-++О и интеграл расходится. Аналогично можно рассмотреть несобственный интеграл лх ь . Таким образом, несобственные интегралы / а (Ь вЂ” х)" а (х — а)'" * ь Их сходятся при а < 1 и расходятся при а > 1. ° ( (Ь вЂ” ' х)и Этот факт будет в дальнейшем использоваться для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов второго рода более сложного вида.
1 О1п- 1 Пример 18. Вычислить интеграл 1' — дх. о Реи3ение. Особая точка х = 0: й (здесь ст ф 1). Последний предел равен О, если тт < 1. В этом слуа)1 — а чае интеграл сходится и равен . Если вз > 1, то предел 1 — св равен оо и интеграл расходится. Случай тт = 1 нужно рассмотреть отдельно; 1 1 1 | а1пт ' ГО1п- . Г, 1 /11 — Нх = 11та / хдх = — 1пп / а1п — д~ — ) = хз — в.,+о./ хз — в-,+о/ х ~ х)— о а в 11 = 1пп соз — ) = 1пп ~соз1 — соз-). в-++О 1 Х в-++О е Этот предел не существует (так как косинус не имеет предела при стремлении его аргумента к оо).
Интеграл расходится. Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода Для исследования несобственных интегралов второго рода на сходимость применяются признаки сходимости, аналогичные признакам сходнмостн несобственных интегралов первого рода. Сформулируем нх для случая функций, имеющих особенность в точке Ь. 1) Признак сравнения. Пусть для всех х из некоторого интервала вида [Ь вЂ” 6, Ь) (где Б > 0) выполняютсянеравенства О < Г(х) < д(х). ь Тогда если сходится интеграл 1 д(х) Ых, то также сходится ила ь ь теграл 1,Г(х)дх. Если расходится интеграл 1 1(х)1Ь, то также рас- ь ходится интеграл 1 д(х) Нх. При применении признака сравнения полезно использовать ин- 11Х Нх тегралы вида 1 и 1 ., которые сходятся при а < 1 а (х — а)'" а (Ь вЂ” х)'* и расходятся при а > 1 (см.
пример 17). Пример 19. Исследовать на сходимость несобственный инте- 1 Еввах11Х грал второго рода 1 о 4'1 — х' Реивение. Особая точка х = 1. Так как атпх < 1, то е "* < е. Е31а х е Отсюда О « — для всех х 6 [О, 1). Полагаем ЗГ1 ЗГ1 21 Ез1а а Е ах 1(х) = —,, д(х) =, . Так как интегРал ) з схоф1 — х Я вЂ” х с,з/1 — х 1 ест Днтск 1сз = — ( 1), то очеввлно, что схоДитсЯ и интегРал ) з е Л вЂ” х По признаку сравнения получаем, что сходится и исходный инте- 1 е'"'~сЬ грал ) —, 2) Предельный признак сравнения. Пусть для всех х из некоторого интервала вида (о — 6, о) (где 6 > 0) выполняются неравенства 1(х),д(х) ) Оисуществуетконечныйпредел Нпз — = С ф О. 1 (х) а-зь-С д(х) ь ь Тогда несобственные интегралы второго рода 1" Дх)дх и )' д(х)дх а а ведут себя одинаково, т, е.
либо оба сходятся, либо оба расходятся. Замечание. Условие существования конечного предела 1(х) 11ш — = С ф О можно записать в виде отношения эквивалент-+ь-е д(х) ности 1(х) Сд(х) при х — > Ь вЂ” О. При этом из эквивалентности функций не следует равенство интегралов! Пример 20. Исследовать на сходимость интеграл хг+ 2х е 1п(1+ хг) Решение. Поскольку Низ 1п(1 + х ) = О, то функция гл(х) = а — зе хг+ 2х может быть неограниченной при х -+ О. Чтобы это 1п(1+ 'хг) проверить, нужно найти ее предел при х -+ 0 или определить ее главнуючасть вида — прих — з О.Имеем х +2х 2х,1п(1+х ) С 2 2 хя хг+ 2х 2х 2 хг при х + О, отсюда Дх) = — = — при х -+ 1п(1 + х2) х2 х О.
Таким образом, 1ш1 1(х) = оо и точка х = О является особой х-+О гаях точкой для данного инзеграла. Интеграл ) — расходится (сз = 1); о хг+ 2х применяя предельный признак к функциям 1(х) = и 1п(1+ хг) 1 д(х) = —, получаем, что исходный интеграл расходится. х е дх Пример 21. Исследовать на сходимость интеграл ) з 1 зУ8х~зхг Еа Е2 Решение. Особая точка х = 2.
Имеем — -+ — при х -+ 2, хг 4 1 1 1 1 1/8 — х ' (2 — х)(4+ 2х+ хг) ~~/12 (2 — х)1/з з при х — 1 2. ех е2 Отсюда 1(х) —, — при х — > 2. Полагая зз/8 хзх2 4зз/12 (2 х)1/3 г д(х) —., пол)'чаем, что интеграл ) д(х)ззх сходится (зз— (2 хР/з ' 1 1 < 1), следовательно, исходный интеграл также сходится. '3 3) Признак сходимости интегралов от знакопеременных функ- ь 11ий Если сходится интеграл ) ~Дх)~ах, то сходится интеграл а 1 1(х)з1х. а 2 еш — 1 1 Пример 22.
Исследовать на сходимость 1' сЬ. /г 1 Решение, Особая точка х = 1. Функция зш — не сохра- х — 1 няет знак при х — > 1, поэтому признаки сравнения применять еш 1 нельзя. Положим Дх) = . Исследуем на сходимость ин- ъ~хг — 1 2 2 теграл 1 ~дх)~дх = 1 * 1 ах. Справедливо неравенство 1 1/х~ — 1 еш1 1 1 1 ( . Так как з/хг — 1 1/хг — 1 1/хг — 1 з/х:11/х+ 1 1 2 1 1 при х -+ 1, а интеграл 1 дх сходится (сз = — < з/2~я — 1 1 з/х — 1 2 1 1), то по предельному признаку сходится интеграл ) зЬ. х — 1 в1п — ' Тогда по признаку сравнения сходится интеграл [ а с1х.
тlхз — 1~ вш— 1 По признаку 3) интеграл [ дх сходится. 1 ъ/хв — 1 Несобственные интегралы второго рода от функций, имеющих особеиноез'ь во внутренней точке отрезка Вьпле были даны определения несобственных интегралов второго рода от функций, неограниченных в окрестности одного из концов отрезка интегрирования [а, Ь].
Рассмотрим случай, когда особая точка с находится внутри [а, Ь). Онрес1еление. Пусть функция У(х) непрерывна На [а, Ь', кроме точки с Е (а, Ь), причем у(х) не ограничена в окрестности точки с (рис. 7). Тогда несобственным интегралом второго рода от функции ' у(х) по [а, Ь] называется сумма интегралов ь а ь У(х)сЬ = У(х)с1х + У(х)сСх. ь Интеграл [ 2(х)дх называется схо- О а а ь а дяшимся, если сходятся оба интеграла с ь ь [,Г(х)сМх и [,Г"(х)с1х. Интеграл ) Х(х)сьх а с а называется расходящимся, если расходится хотя бы один из инте- с ь с тралов [,1(х)ссх и [,г(х)с1х. (Заметим, что в интегралах [ у(х)с1х а а а ь и [ 1(х) с1х подынтегральная функция имеет особую точку соответственно в правом либо левом конце отрезка интегрирования, а для таких функций определение несобственного интеграла второго рода было уже дано в начале з 2.) ХХример 23. Исследовать на сходимость несобственный инте- 2 с1х грал [ —.
1 хз Решениа В концах отрезка [-1,2) подыитегральная функция определена и непрерывна. Но х = Π— особая точка. Для сходисдх 'зах мости интеграла необходима сходимость интегралов ) — и [ —. ох 2 2' Очевидно, что любой из них расходится (показатель ст = 2 > 1), дх следовательно, расходится и исходный интеграл [ —, (Есце раз 1 хз 2 дх обращаем внимание, что для расходимости интеграла [ — дох с1х статочно, чтобы расходился хотя бы один из интегралов [' — и 1Х 2 2 Их Х вЂ” ) о х Замечание. Если не обратить внимания на.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
