Минеева О.М., Неклюдов А.В., Скуднева О.В. Несобственные интегралы (2003) (1135778), страница 4
Текст из файла (страница 4)
особую точку О 2 дх и формально применить к интегралу [ — правило Ньютона— 1 х 2 ссх 1 Лейбница, то можно получить неверный ответ: [ — = —— тхз х 1 3 = — — — 1 = — —. Полученный результат совершенно абсурден, так 2 2 как интеграл от положительной функции не может быть отрицательным! Примеры для самостоятельного решения 1. Вычислить несобственные интегралы второго рода или установить их расходимость: 1 з с1х 1 4х 2 е1*-вкдх а) [' ; б) [' ; в) [' М 2.
Исследовать на сходимость несобственные интегралы второго рода: !Л вЂ” Ьы 'и 5ж (~2' — 1)ю о7 — Р . Д6- —.)1 ~ (е"7о+созхз78 — 2)Ых г) [ 81п(2хз) — г 8 Ответы. 1. а) 1п(3+ ~/8); б) расходится; в) — е г78. 2. а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) расходится. З.АБСОЛЮТНАЯИУСЛОВНАЯСХОДИМОСТБ НЕСОБСТВЕННЫХИНТЕГРАЛОВ Ь Определение. Несобственный интеграл [ 7'(х)Нх называется О абсолютно сходящимся, если сходится интеграл от модуля функь ции У(х), т.е.['[7(х)[4х. Здесь — со < а,Ь < +ос. Согласно признаку сходимости длязнакопеременных функций, абсолютно сходящийся интеграл сходится.
ь Определение. Несобственный интеграл / 7"(х)<Ь называето ся условно сходящимся, если он сходится, а интеграл от модуля ь [' [Дх) [4х расходится. о Отметим, что все ранее сформулированные признаки сходимости касаются именно абсолютной сходимости интегралов. Сформулируем признаки, которые позволяют установить сходимость интеграла даже в случае отсутствия абсолютной сходимости. Признак Дирихле. Пусть 7"(х), д(х), д'(х) непрерывны на [а, +со), функция 7'(х) имеет ограниченную первообразную Р(х) на [а, +оо), а функция д(х) монотонно стремится к 0 при х ь +со. +оо Тогда интеграл [ 7"(х)д(х)дх сходится.
4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ Пусть функция 7'(х) определена на интервале (а, Ь) (где — оо < а, Ь < < +со) и имеет на 'каждом конечном интервале конечное число точек разрыва первого рода, Напомним, что точка а е В или Ь е В называется особой точкой (или особенностью) для несобствен- ь 1 1 ~ я = У(е) ! 1 1 О а Ь е ного интеграла [ 7"(х)дх, если 7'(х) Рис.
8 а не ограничена в произвольной соответственно правосторонней или левосторонней окрестности точек а или Ь. Если а = -оо или Ь = +ос, то точки а = — со и Ь = +со также будем называть осоь быми для интеграла / 7" (х)бх. +оо 81П Х Лример 24. Исследовать на сходимость интеграл [ Нх. О х Решение. Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода. (Точка х = О является точкой устранимого разрыва для подынтегральной функции и не является особой точкой), Функция 7'(х) = вшх имеет ограниченную первообразную 1 ( — сазх), а функция д(х) =- — монотонна стремится к 0 при х + 81пх х — ь +ос. Позтому интеграл [ — дх сходится по признаку О Дирихле.
Признак Абеля. Пусть функции 7'(х), д(х), д'(х) непрерывны на Чоо [а, +ао). Пусть интеграл [ 7'(х)сЬ сходится, а функция д(х) монотонна и ограничена на [а,+ао). Тогда интеграл ) 7'(х)д(х)оЬ О сходится. 27 Предположим, что точки а и Ь являются особыми (рис, 8), ь Определение.
Несобственным интегралом ) Г" (х) дх от функции ,г" (х), имеющей особенности в точках а и Ь, называется сумма несобственных интегралов ь с ь ~(х) с(х = ~(х)йх + ~(х) дх, где с Е (а,Ь). с Отметим, что каждый из несобственных интегралов ) у(х)ах а ь и ) т"(х)дх имеет толью одну особенность а и Ь соответственно. с В случае конечной точки а или Ь это будет несобственный интеграл второго рода„в случае а = — оо или Ь = +оо мы имеем дело с несобс ственными интегралами первого рода соответственно ),г(х)т1х +Ос или ) у(х)дх.
с Дадим теперь определение несобственного интеграла с произвольным юнечным числом особых точек, которые могут находиться как в концах интервала (а, Ь), так и внутри его. Определение. Пусть функция г"(х) имеет на интервале (а, Ь) юнечное число особых точек (рис. 9) и существует такое разбиение Т:а=йт<йз« ...й,< й+1 « ... й„= Ь отрезка (а, Ь), что на каждом из интервалов (Ц.,йс+1) (1 = 1,...,тт) особой точкой функции является только одна из концевых точек, Тогда несобственным инь тегралом ),Г" (х)ах с нескольки- а Рис, 9 ми особенностями йт, йз, ..., й„называется сумма ' Ьс+т Если кюкдый из интегралов ) у(х)ах сходится, то интеграл ьс ь ),Г (х) 1тх называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов а ьс+т ь ),т (х)т1х расходится, то интеграл ) у(х)11х называется расходяь; а ь щимся.
Можно показать, что если интеграл ) ~(х)дх сходится, то а его величина не зависит от способа разбиения интервала (а, Ь). Лример 35. Исследовать на сходимость несобственный инте+ дх грал / —, где а > О. о ха' Решение. Несобственный интеграл имеет две особенности: в точке х = 0 функция неограниченно возрастает (собственная особая точка), прн х -+ +со имеем интеграл по бесконечному промежутку (несобственная особая точка). Разобьем интервал интегрирования (О, +со) на два промежутка так, чтобы на каждом из них подынтегральная функция г'(х) имела не более одной особенности, например (О, 1) и (1, +со).
+Ос аХ По определению исходный интеграл ( — сходится тогда и о ха 1 ~1Х +Ос,1Х только тогда, когда сходятся оба интеграла ) — и ) —. Первый О Х 1 Х из этих интегралов (интеграл второго рода с особой точкой 0) сходится при тт < 1, второй (интеграл первого рода с особой точкой . +ос) — при а > 1, таким образом, одновременно оба эти интеграла не сходятся ни при каком значении а. Итак, исходный интеграл расходится при любом значении тт. 29 аш х11х Таким образом, из сходнмости интегралов / н а /х~+х~ + 31ПМХ .Г /" 3+ л +' 31ПХЫХ Г— а 1/ха+ ХБ следует сходимость исходного интеграла 30 Лрнмер 26.
Исследовать на сходимость интеграл +' Бшх г. а /хз+ $5 Решении Подынтегральная функция имеет на промежутке ин- тегрирования (О;+со) две особые точки: х = 0 и х = +со„ следовательно, необходимо рассмотреть сходимость каждого из 31п х +' 31ПХ интегралов ) ех и / дх для произвольно- а ъ/х +Ха ъ/хз+ ХБ го а Е (О, +со). Возьмем, например, а = —. Подынтегральная 2 ыпх 1Г функция /(х) = неотрицательна на интервале (О, — ), 1/ХЗ+ ХБ '2 ' Бшх х 1 11Х вЂ” = — при х -+ О, интеграл второп1 рода (— а ~/* сходится, поэтому в силу предельного признака сравнения интеграл т Б1пх 3'У(х)ах =,)' Ь сходится, а а,„/ха+ ХБ 31П Х Прн х — 1 +со Дх) = — знакопеременнзя функция. /ха-.-~ —,л +ОО Б!и х Рассмотрим интеграл от ее модуля / ! /(Х) ! 1Ь = ) ~ дх.
~ /хз+ Г~ 31пх ! 1 Так как при х > 0 справедливо неравенство ~ < — /, а /хз+ ХЗ ~ х'/' +ВО (!Х инте~рад ) — сходится, то по признаку сравнения сходится ин- /2 ХБ/2 + ! 31пх ! +' Бшх теграл ) ~ ~ с(х, следовательно, интеграл ) Ых ~ т/хз+ Б ~ /ха+ ХВ сходится абсолютно. Пример 27.
Исследовать на сходимость интеграл Нх 2 (х — 5)1/3(х — 2) /4 Реисеиие. Интеграл имеет две особенности — в точках х = 2 и х = 5. Возьмем промежуточну1о точку с = Ъ. Тогда по определени1о Г 1(Х (х — 5)1/3 ( — 2)Б/4 ( ' — 5)'/' ( ' — 2)'/' (х — 5)'/' ( — 2)'/' 2 з Рассмотрим интеграл БЬ /" 1Ь ( . 5)1/3 ( 2)3/4 / (5 )1/3 ( . 2)Б/4 (мы перешли к интегралу от положительной на интервале (2,3) 1 1 функции). Так как /'(х)— (5 — х) (х — 2) - Зк (х — 2) Б!х при х -> 2, а интеграл ( расходится„то по предельно- 2 (х — 2) / 3 Н~ му признаку расходится интеграл ( 3 . Поэтому (5 )1/3 ( 2)Б/4' Б!х исходный интеграл ! 4 также расходится. (Ин- 5)1/3 ( 2)Б/4 Б Нх теграл ! /, исследовать уже не нужно, так как 3 (х — 5) (х — 2) ' его сходнмость не влияет на расходимость исходного интеграла.) 1ТРимер 28.
Исследовать на сходимость интеграл +ОО 1 (1+ .2) дх. ХБ/3 -!- 31п хз Реюиение. В данном случае имеется особая точка х = +со и возможная особая точка х = О, Чтобы проверить, является 31 +00 | х — 1л(1+х ) |Ь = х5/3 + в,'„хз О ЗЗ ли точка х = О особой, найдем главную часть подынтегральх — 1п(1+ х ) иой функции 1(х) = 5 при х — » О.
Так как 1п(1+ хз/3+ вп хз . +хз) хз,х — 1п(1+хз) х 31пхз хз хв/з+в|пхз хв/зпрк х 1 х — » О, то /(х) — = — при х — 1 О. Отсюда 1пп 2(х) = оо хь/3 х2/3 т-+о и точка х = О действительно является особой для функции /'(х). Исходный интеграл представим в виде 1 +ОО ~ х ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ 2 х — 1п(1+ хз) /' х — 1п(1+ х ) дх+ . |1х. хв/3 + в|п хз „| хз/3 + вш хв 1 х — 1п(1+ х2) Интеграл | сЬ является несобственным интегра- Х / +В|ПХ лом второго рода с особой точкой х = О,причем, как было поках — 1п(1+ хз) 1 1 |1х вано выше, — при х — » О.
Интеграл /— хв/3 + в|п хз хз/3 2/З сходится, согласно предельному признаку, сходится интеграл и 1 х — 1п(1+ х2) дх. хз/3+ в»пхв Рассмотрим несобственный интеграл первого рода +'"' х — 1п(1 + Хз) |Ь. При х — » +со справедливы эквивалентности 5/З ( ;„ З . х — 1п(1+ х ) х (так как логарифм растет медленнее степенной функции), хз/3 + в»п хз хз/3 (так как вш хз — ограниченная х — 1п(1+ х2) х 1 ' функция), отсюда /(х) — 5/3 3 5/3 2/3 Интеграл +40 |1х 1 — расходится, поэтому расходится несобственный интеграл х2/3 2 +'"' х — 1п(1+ хз) +О»х — 1п(1+х ) |1х. Исходный интеграл / 5, |Ь, сох5/3 + в»пхз хз|3+ вшхв ' стоящий из суммы сходящегося и расходящегося интегралов, тоже расходится. Отметим, что если бы исследование на сходимость мы + х — 1п(1 + хз) начали с интеграла первого рода /, Нх, то в силу его х5/3+ в;„хз расходимости не было бы необходимости рассматривать интеграл ' х — 1п(1+ х') второ||» Рода 3' хз/3 + 31п хз +»о1п(1+ ее )4»х Ирил|ер 29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
