Минеева О.М., Неклюдов А.В., Скуднева О.В. Несобственные интегралы (2003) (1135778), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда, если сходится ин- +Ос +ОО теграл ) 9(х)«(х, то сходится и интеграл ),г(х)««х. Бели расхоа а +оо +ОО дится интеграл 1 г(х)««х, то расходится и интеграл ) 9(х)«1х. Этот признак имеет простую геометрическую интерпретацию, Рассмотрим интегралы как площадь под графиками соответствующих функций (рис. 3). Очевидно, что из того, что площадь под графиком у = д(х) конечна, следует, что и площадь под графиком у = +СО ~(х) конечна. То есть из сходимости интеграла ) 9(х)«(х следует О =ОЖ =УФ О ' О +СО 1 Пример 8. Исследовать на сходимость 1 — «1х. 3 Решение. Для всех х > 3 справедливо неравенство 0 < 1п х < 1 1 1 1 < х, отсюда О « — —. Возьмем у(х) = —, 9(х) = —. Так х 1пх х 1пх +ос 1 +оо как ) -««х расходится, то по признаку сравнения ) — ««х также х 3 расходится.
+ 1пх Пример У. Исследовать на сходимость ) «Ь. х +1 Решение. Так как для достаточно больших х справедливо неравенство 1п х < ~/х, то для этих значений х имеем 0 < г" (х) = 1пх ~/х 1 + «(х < хг+1 хг+1 хз«г < — = д(х). Так как интеграл / 2 зуг +со сходимость и ( г" (х)«Ь. А если, наобо- а рот, площадь под графиком у = 1(х) бесконечна, то и плогцадь под графиком ! у = д(х) бесконечна. То есть из расходи- 1 У +Оо О мости интеграла ),1(х)НХ следует рас- О Рис. 3 ходимость и / 9(х)«Ь. а Из рис. 3 также легко видеть, что из расходимости интеграла ' +ОО -«-ОО ) д(х)а«х, как и из сходимости ) 1(х)дх никаких выводов сдеа а лать нельзя. При применении признака сравнения удобно использовать ин- +оо «Ь тегралы вида ) — (где а > 0), которые сходятся при ««> 1 и рас- ха ходятся при а < 1 (см. пример 4). Кроме того, полезно помнить, что при х — ~ +ос степенная функция растет медленней показательной, а логарифмическая — медленнее степенной: х" < аа, 1ояа х < х" (здесь и > О, а > 1) при х > А (число А зависит от и и а, но не зависит от х).
10 3 сходится (гя = — > 1), то по признаку сравнения исходный интеграл 2 +' 1пх <Ь также сходится. хз + 1 2) Предельный признак сравнения. Пусть для всех х б [А, +оо) ( где А > а) выполняются неравенства /(х), 9(х) > О и существует конечный предел 1пп — = С ф О.
Тогда несобственные инте- У(х) * '+ОС 9(Х) +СО +СО тралы первого рода 1 /(х)Ых и 1 д(х)ах в смысле сходимости а а ведут себя одинаково, т. е. либо оба сходятся, либо оба расходятся. Замечание 1. Условие существования конечного предела Нгп — = С ф О можно записать в виде отношения эквиваПх) а-4+ д(Х) лентности функций /'(х) ' Сд(х) при х †> +со. Замечание 2. Из соотношения эквивалентности Дх) Сд(х) +СО +СО прим — > +ос не следует, что 1 1(х)~Ь = С 1 д(х)Нх.
а а Замечание 3. Обращаем внимание на важность условия неотрицательностн функций. Для знакопеременных функций признак сравнения и предельный признак сравнения не имеют места! При исследовании на сходимость несобственных интегралов с помощью предельного признака очень часто используется стандартный набор эквивалентных бесконечно малых при х — г О функций:вгпх; гйх; агсвшх; агсгбх; 1п(1+х); е — 1 х; аа — 1 х1па; 1ока(1+ х) ° —; (1+ х) — 1 ах(а > О; а ф хз 1) 1 — соэ х 3 2 Приягер 10. Исследовать на сходимость несобственный инте+' 6 — Зх 1+ 2хв+5 4 Решение. При х > 2 имеем 6 — Зх < О, поэтому подынтегральная функция отрицательна. Так как то достаточно исследовать на сходнмость интеграл +' Зх — 6 444х От пслохгительно при х > 2 функции ~(х) 1+ 2хв+ 5х4 Зх — 6 1 агг ~гг Зх 6 Зх 1 + 2хв + 5х4 2х6 при 1+ 2хв+ бх4' х-Ф со,то' Зх — 6 Зх 3 1+ 2хв+ 5х4 2хв 2хь +ОС +СО Г 3 3 Гдх Так как интеграл ~ — дх = — 11 — сходится (а ,/ 2хь 2 / хв 1 1 5 > 1), то по предельному признаку сравнения интеграл +СО Зх — 6 ах также сходится, следовательно, сходится и 1+ 2х'+ бх4 1 +СО 6 — Зх исходный интеграл Нх.
1 1+ 2хв+ 5х4 Пример 11. Исследовать на сходгпиость несобственный инте- +СО ГраЛ 1 Х(Е1/а — 1) 61П вЂ” аГСгя 1|жЬ. Зх4/3 1 1 Региение. Так как функции — и — являются бесконечно ма- х Зхв/3 1 . 1 1 лыми при х -1 +ос, то ег/ — 1 —, 61п — ° — при Зх4/3 Зх4гз х -+ +ос; агс16 ь/х — г — пРи х — 4 + оо. ПоэтомУ 2 ! 1 1 1 х х 1(х) = х(ег/* — 1) 61п агсГЗ тГх х — — — = — = 9(х). Зх4/3 х Зхв/3 2 бх4/3 + ггх Так как интеграл 1' — сходится (гг = 4/3 > 1), то исходный х4/3 интеграл также сходится в силу предельного признака. | 6 — Зх /' Зх — 6 дХ = — 4ГХ, 1+ 2хв+ 5х4 1 1+ 2хв + 5х4 13 12 +' сбх Пример 12.
Исследовать иа сходнмость интеграл / 1 40 — ~/ж Решение. 4 —;/х 4* при х -+ +со (корень растет медленней, 1 1 чем показательная функция), поэтому — при х — > +ос; 4х — Гх 4х +00 ССХ так как интеграл ( — сходится (см. пример б), то исходный ни- 1 40 теграл также сходится в силу предельного признака. Пример 13. Исследовать на сходимость +00 хйс о ха+ 2з/х+ 1+ з)их Реибение. Так как вбп х — ограниченная функция, то х + 2~/х + 1+ в1п х х~ при ж — > +ос, отсюда х ж 1 Ос Д(х)— — — — д(ж). х4+ 2 /х+ 1+ а)пж х4 хз +'0 с1х Заметим, что интеграл )' — не является несобственным интео 1 тралом первого рода, так как функция — имеет в точке О разрыв .з второго рода.
Поэтому исходный интеграл нельзя сравнивать с ни+00 с(ж тегралом ) —. Однако сходится несобственный интеграл первоз + ссх го рода ) — (сб = 3 > 1), поэтому в силу предельного признахз +00 хссх ка сходится интеграл ) , а, следовательно, ха+ 2~/х+ 1+ з1пх +00 хдх и интеграл ), который отличается от схоо хс+2~~5+1+ипх +00 ЫХ дящегося интеграла ) на величину опредеха+ 2~/ж + 1+ з)их 1 жмых ленного интеграла ( (см. замечание к опрео х~ + 2~5+ 1+ яп ж делению несобственного интеграла первого рода).
14 3) Признак сходнмости несобственных интегралов первого рода от знакоперемениых функций. Если сходится интеграл ) ~Дх) ~ х 1 хсЬсто интеграл 1 1(ж)дх также сходится. 1 Пример 14. Исследовать на сходнмость интеграл +00 соз хадж хз + (1/2)0' соа х 1 Решение. Пусть (ж) =, д(х) = —, тогда хз + (1/2)* хз 1 1 Щх)~ < ( — = д(х). + Нх Так как сходится несобственный интеграл первого рода ) 1 хз (сс = 2 > 1), то по признаку сравнения сходится интеграл +00 + ) Ях) фх = ( ссх.
Согласно признаку 3), схо- 1 (1/2) +ха +00 +' соа жзс(х дится исходный интеграл 1 1(х)ссх = ) сбх. 1 хз + (1/2)* Примеры для самостоятельного решения 1. Вычислить несобственные интегралы первого рода или установить их расходимость: +00 +00 хздх о б +001пхссх — х(1пзх+2)' з 9+жз' ' 0 хз 2. Исследовать на сходимость несобственные интегралы первого рода: + с(ж +'0 (2 с'00 — 1)хдх +'"' (1п ж + 1)Нх 0 б";б) ~ о е~ |за ж т х / + 1 т з/ж + 1 Г) Х 1 — соз(!х! з)сб ( + — )агсссб жссх; ~ ~з1з .',".нс ',, 15 У(х)дх = йш 1(х)пх. Рис.
5 ь ь У(х)Их = 1пп г(х)с1х. Е-++О / О а а+с ь а+Е Рис. 6 $ ° ° на11, Э. 1ЬАуЬ"АНА 1 НА ! ':.'~~~~'~О'~ 1=йек 16 д) 3' хте + агссоа— к 1 2 Ответы. 1. а) —; б) расходится; в); г) —. 2. а) сходится; бчГ2 ' 61п2' е' б) расходится; в) сходится; г) расходится; д) расходится. 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА Определение и свойства несобственного интеграла второго рода Как уже указывалось выше, понятия определенного интеграла как предела ин- 1 тегральных сумм может оказаться недоста- точно при рассмотрении функций, опре- с жмых) деленных на конечном интервале (о,Ь). Так, вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком положи- Ь е Ь е тельной функции у = Г (х) и прямыми х = Рис.
4 а, х = Ь, сводится к вычислению опреде- ь ленного интеграпа [ Дх)с1х, который существует только в случае, а если функция г'(х) ограничена на (а, Ь). Таким образом, если Г" (х) не ограничена на (а, Ь) (рис. 4), то для нахождения соответствующей площ ди необходимо ввести понятие интеграла, более общее, чем определенный интеграл. Пусть функция у = Г"(х) непрерывна на полуинтервале [а, Ь) и не ограничена в некоторой левой окрестности точки Ь (говорят, что 7(х) имеет особую точку или особенность в точке Ь).
Зафиксируем произвольное малое с > О. Функция Г"(х) непрерывна на отрезке(а,Ь вЂ” с) (рис. 5), поэтому существует определенный инте- Ь-е грал ) Г"(х)Их. а Определение. Несобственным интегралом второго рода от ' функции г'(х), непрерывной на [а, Ь) и неограниченной в окрестности точки Ь, называется предел при с -+ +О определенного инте- Ь вЂ” с трала [ Дх)е1х, если он существует.
О 1 Обозначение несобственного интеграла второго рода совпадает с обозначением ь определенного интеграла ) у (х) с1х. а Таким образом, для функции, неограниченной в окрестности точки Ь, Ь вЂ” е Если конечный предел 1пп [' Дх)е1х существует, то несоб- с++О а огненный интеграл второго рода называется сходящимся. Если пре- Ь вЂ” е дел 1пп [ ,г"(х)с1х бесконечен или не существует, то несобствен-, е-ъ+О ный интеграл второго рода называется расходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
