Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 14
Текст из файла (страница 14)
На каждой итерации вес известен по предыдущей итерации, поэтому коэффициенты а~ь", 6!о легко находятся пз условия минимума квадратичной формы. Практика показывает, что коэффициенты наилучшего приближения слабо зависят от выбора веса, поэтому обычно итерации сходятся быстро.. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В указанных диапазонах изменения аргумента погрешность первой формулы ие превышает 0,44ю а погрешность второй формулы — 2,44де. Таким образом, точность этих аппроксимаций вполне достаточна для многих 'практических приложений. в) Положим у(х)=агс!йх при О=.х (со. Эта функция монотонна, причем у(х) =х прн х-РО и у(+ оо)=п/2. Легко построить дробь <р(х)=х '(1+ — х), удовлетворяющую тем же условиям.
Она дает грубую аппроксимацию арктан~енса; локальная погрешность в точке х=! составляет 304~4. Несложное видоизменение этой формулы ага!Их-х,г'1/ 1+( — х) дает вчетверо лучшую точность. г) Тангенс в первой четверти можно грубо аппроксимировать формулой х ~( — — х), передающей поведение вблизи нуля а наличие полюса прн х=л/2. д) В задачах рассеяний часто встречается одна из специальных функций— интегральная экспонента: Р е-' 1 жч хь Е! (х)= ~ — бт=!п — — — С+ 7 ( — 1)" 4 —. =3 т = эз ьь!' х ь=! Ряд, в который она разлагается, сходится при любых положительных значе.
ниях аргумента. Но только при х - ! сходимость достаточно быстрая, и ряд пригоден для вычисления функции. Если учесть асимптотику Е!(х)=е'х)х при х-ьоо, то рациональную аппроксимацию при хзи! целесообразно искать в следующем виде: л зд)г л Е1(х) — — у ааль 7 Ьчхч, а„=Ь„=1, х е=э е=о (б 1) где не полииомиальная часть асимптотики выделена отдельным множителем. Оказывается, уже л=з, т. е. шесть свободных коэффициентов обеспечивают точность 10 444.
Отметим, что рациональными функциями при небольшом числе коэффициентов можно удовлетворительно аппроксимировать функции с разрывами производной вроде у(х) =(х~, которые плохо поддаются аппроксимации другими способами. Первый ряд абсолютно сходится, но при х)1 сходимость очень медленная; второй ряд сходится асимптотически при больших значениях х. Заменяя первые члены каждого ряда дробями, получим Ф (х) бх при хс!, )' и (3+ха) Ф (х) ~ 1— 2х „4 е при х~!. )' и (1+ 2хз) (гл, И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 9 3, Равномерное приближение 1. Наилучшие приближения.
Поскольку чебышевская норма сильнее нормы Б, то принято считать, что равномерная аппроксимация лучше аппроксимации в среднем. Поэтому поиску равномерных и особенно нпллучших равномерных приближений, определяемых условием Л(у, гр)=пип, где Л(у, гр)= гпах (у(х) — гр(х)!, (52) а к<э где минимум ищется на множестве функций гр (х), посвящено много работ. В частности, получены следующие результаты (доказательства большинства из них приведены в учебнике И.
С. Березина и Н. П. Жидкова (4]). а) Гели выбрала линейная аппроксимация (37) с чебышевской системой функций фь(х), то равномерное наилучшее приближение единственно"). Дока. зательство существования наилучшего приближения для этого случая было приведено и й 2, и, 1.
б) Чтобы обобщенный многочлеи гр(к) по чебышевской системе функций яра (л), ! -- к - и, был наилучшим равномерным прибчижением к у'(х) на [а, Н, необходимо и достаточно, чтобы иа этом отрезке нашлась не менее и+1 таких тачек, в которых погрешность б(х)=у(х) — гр(х) попеременно принимает значения + Л и — Л (р, гр), Следовательно, погрешность имеет на (а, б) ие менее п нулей, как и у миогочленов наилучшего среднеквадратичного приближения, Впервые этот результат бьш получен П. Л, Чебышевым в 1859 г. для алгебраических мнагочленов.
в) Для функции р(х), имеющей р непрерывных производных„ причем уан(х) удовлетворяет у~повию Липшица с константой (р, д. Джексоном в 1911 г. получены некоторые оценки скорости сходимости наилучших равномерных приближений. При аппроксимации алгебраическим многочленом и-й степени на отрезке — 1 ~ х -= 1; Лл (Сее)ЙЯЯ)р/Ь 2л (Я+1) ппчг) =О(1)лг Я) (53) а при аппроксимации периодической функции с периодом 2п тригонометрическим многочленом такой нсе степени: Л„),(С,Уя)Я =О(1ря (54) где Се — универсальная константа (Са(137), С.
Н. Бернштейн доказал, что пз сходнмости приближений со скоростью О (1)па' Яте), е ) О, следует наличие у функции ограниченной р-1-1-й производной, поэтому оценки Джексона почти иеулучшаемы. Таким образом, эти приближения для достаточно гладких функций быстро сходятся при л-я-со, а для липшиц-непрерывных, ио не гладких функций следует полагать и = О, т. е. для иих приближения сходятся яяедлеяяно. Для произвольной функции, непрерывной на конечном отрезке а ек х«=. б, равномерные приближеиня алгебраическими и тригонометрическими чногочленами также сходятся (теорема, доказанная К. Вейерштрассом в 1885 г„но скорость сходимости, как показал С.
Н. Бернштейн в 1938 г., может быть скгшь угодно малан, 1(яяеиио, как бы медленно ни убывали члены монотонной последовательности б„-я-о, б„=..б„ы"-О, всегда найдется такая непрерывная функция р(х), для которой Л(у, )чя„(х))=б„. Соответствующая оценка джексона для ашебраической аппроксимации произвольной функции, непрерывной РАВНОМЕРНОЕ ПРИНЛИЖЕН1ГЕ прн — 1 ~ х~ 1 (н тем самым равномерно-непрерывной), есть Ьл ~ (')зСо+ 2) ы (2)л), (55) а для тригонометрической аппроксимации непрерывной функции с пернодом 2л: а ~ (,2 Со+ 2) оэ (2л,'л), /1 (56) где ы — модуль непрерывности функцвн.
Наилучшее равномерное прнблнженне рациональной функцией (отношеннеч многочленов) имеет таков нсе порядок точнсстн, как в оценках (55) — (56), где под л надо подразумевать полное число свободных коэффициентов, которое на единицу меньше суммарной степени числителя н знаменателя. г) Многочлены наилучшего равномерного прнблнження не обеспечивают хорошей сходнмостн (а иногда н просто сходнмостн) производных гр' (х) к у' (х).
Если нужна сходнмость производных, то приходится строить другие много- члены, которые имеют меньшую скорость сходвмости Например, многочлены С. Н. Бернштейна в В„(х)= ~~ С (1 — х)" ехеу! — ), 0(а~1, %т А /й1 а (,л)' е=-о (57) равномерно сходятся к любой непрерывной функции у(х), но не быстрее чем О (1)л), сколь бы гладкой функння нн была; зато если существует непрерыв- ная пронэводная у'Я' (х), то производные многочленов С. Н. Берншгейна В'„М (х) равномерно сходятся к ней на указанноч отрезке прн л-ьсо. Сходные оценки сугцествуют н для наилучших аппроксимаций алгебраическими многочленамн на отрезке — 1(х~ 1. Из неравенства (58) следует, что при небольших и погрешность многочлеиов наилучшего среднеквадратичного приближения даже в )! ))с несильна превосходит погрешность многочленов наилучшего равномерного приближения (например, при и ~ 12 не более чем в 7 раз).
Из оценок (53) — (56) следует, что для функций с непрерывными старшими производными, не слишком большими по абсолютной величине, наилучшие равномерные .приближения обеспечивают высокую точность уже при небольших и 5 —:1О. Значит, для таких функций наилучшие среднеквадратичные приближения будут обеспечивать в )! !!с почти ту же точность, что и наилучшие равномерные приближения. Только для недостаточно гладких функций д) Наибольший практический интерес представляет соотношение между точностями, достигаемыми при наилучшей равномерной и наилучшей среднеквадратичной аппроксимациях. Пусть для произвольной функции у (х) с периодом 2и тригонометрический многочлен наилучшего равномерного приближения есть )7„(х). Гхоказана (см.
монографию В. Л. Гончарова 191, стр. 186), что тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения той же степени Я„(х) имеет погрешность не более: ))у (х) — Я„(х) ))с ( (4,5+! п и) )!у (х) — )сг„(х)))с. (58) лппгоксимлция Фгнкцип [гл. и среднеквадратичные приближения не сходятся нли плохо сходятся в 1! 1!с, но в этом случае и наилучшие равномерные приближения сходятся настолько медленно, что практически их трудно использовать.
Описанные в 9 2 алгоритмы нахождения наилучших среднеквадратичных приближений намного проще, чем известные алгоритмы нахождения наилучших равномерных приближений, По всем указанным причинам на практике много удобнее искать наилучшие среднеквадратичные, а пе равномерные приближения; как отмечалось в 9 2, для улучшения их сходимости следует явно выделять в простой форме основные особенности функции и ее младших производных и аппроксимировать оставшуюся достаточно гладкую часть. К нахождению равномерных приближений прибегают в основном при разработке алгоритмов для стандартных программ вычисления функций, когда добиваются очень высокой точности при минимальном числе членов суммы. 2. Нахождение равномерного приближения. Для функции, заданной на отрезке [а, 61, не найдено способа определения коэффициентов наилучшего равномерного приближении за конечное число действий.
Рассмотрим простой итерационный процесс нахождения коэффициентов. Чебышевскую норму можно рассматривать как предел ~! !!ь Р при р-«со и единичном весе. В пространстве (р задачу нахождения наилучшего приближения зу — ~рЦ =гп(п удобно решать и итерированием веса: ь ~ ргп (к) [р (х) — ~р<" и (х)11 г(х = пп'и, й рпп (х) = ! У(х) — ф'~ (х) ',г-'; (59) для начала итерационного процесса можно положить рпп (х) = !. Если ~р (х) является обобщенным многочленом, то на каждой итерации задача на минимум опять сводится к решению системы линейных (относительно коэффициентов а„) уравнений. Для решения полной задачи зу — сг!!с=гп!и надо выбрать последовательность р — «оо, для каждого фиксированного р провести итерации (59) до сходимости, а затем в коэффициентах а~~) произвести предельный переход при р-«оо (т. е. оценить, начиная с какого р, коэффициенты перестают меняться в пределах заданной точности при дальнейшем увеличении р).
Двойной предельный переход требует больших численных расчетов. Поэтому целесообразно объединить предельные переходы з-«со и р-«со, Для этого на первой итерации по з положим р = 2, на второй возьмем р = 4, на третьей — р = 6 и т. д.
ЗАДАЧИ Вместо (59) получим следующую задачу: ь ~ реп (х) (у (х) — гр'"и (х) )з г(х =- пни, р"1 (х) = (у (х) — гр(<1 (х))з<, з = О, 1, 2, (ЕО) Здесь начальное условие для итераций рго) (х) ==1 получается естественно при 8=0. Этот итерационный процесс не исследован теоретически и мало опробован н практических расчетах, но поскольку обычно коэффициенты аппроксимации слабо зависят от выбора веса, то следует ожидать быстрой сходимости процесса.
ЗАДАЧИ 1. Доказать, что разделенная разность и-го порядка выражается через узловые значения функции следующим образом: л а у(хз «1, ..., хз)= ~ у(х») П (х» — хй-'. »-о (=а тза» 2. Вывести. оценку (11). а. написать оценки погрешности типа (11) для трех случаев интерполяцн- онного лшогочлена Эрмита 7.й степени: <У< (х; х„хь ..., х,), <т< (х; х<, х„хг, х„«,, «, «э, «,) и <У< («; «<, х<, «э, «<, «т, «ь «ь «т); суавнить нк по(задки точ- ности и численные коэффициенты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
