Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Описанный способ нахождения аппроксимации называется лгетодолг наименыиих квадратоа. Метод наименьших квадратов широко используют для обработки экспериментальных кривых, точки которых измерены с заметной погрешностью е. В этом случае весу р, придают смысл точности измерения данной точки: чем выше точность, тем большее значение веса приписывают точке *).
Аппроксими- рующая кривая будет прохо- ЪрКО дить ближе к точкам с большим весом. Сходные соображения используют в математической постановке задачи: выбирают весовую функцию р (х) большой при тех значениях аргумента, где нужно получить более высокую локальную точность аппроксимации. Если число коэффициентов аппроксимации л взять равным числу узлов Лг, то среднеквадратичная аппроксимация совпадет с лагранжевой интерполяцией. Очевидно, при наличии значительных ошибок эксперимента интерполяция неразумна.
Это хорошо видно из рис. 13, показываюгдего описание измерений радиоактивного распада в выравнивающих переменных интерполяционным многочленам (пунктир) и прямой, найденной методом наименьших квадратов. Поскольку при л Аг среднеквадратичная аппроксимация близка к интерполяции, то хорошее сглаживание ошибок эксперимента будет при гг~~ыЖ; но если а слипжом мало, то для описания сложной кривой коэффициентов может не хватить. Должно существовать какое-то оптимальное число коэффициентов; опо зависит от функции у(х), числа узлов Аг, их расположения, весов и от выбранной системы ота(х).
Оптимальное число коэффициентов определяют следующим образом. Выбирают некоторое и, находят из условия (42) соот- *) Обычно полагают о,.=-а--", е( СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ветствующие коэффициенты а1а>, 1 ~ й ( и, вычисляют полученное при этом среднеквадратичное уклонение б„и сравнивают его с известной погрешностью эксперимента. Если 6„:~е, т. е. математическая погрешность аппроксимации много больше физической погрешности исходных данных, то число коэффициентов недостаточно для описания у(х), и надо увеличить л.
Если б„~е, то старшие коэффициенты аппроксимации физически недостоверны, и надо уменьшить и. Если 6„- е, то число коэффициентов оптимально. Обычно начинают расчет с п = 1, когда наверняка 6, ~~<а, и увеличивают число коэффициентов до тех пор, пока не выполнится условие 6„ - е. Если при этом и -:-.' А(, то вид аппроксимирующей функции выбран удачно. Если же и.„, Аг, то следует поискать более подходягций вид аппроксимирующей функции. Отметим некоторые употребительные частные случаи метода наименьших квадратов. Первый — полиномиальная аппроксимация, когда срь(х) =ха при О-=.е(л. Система (38) принимает при этом вид ~Ч, '(х'", хь)аь=(у, хю), 0 —.т =и, ь=а (х, х") = Р, 'р,х~р+, (у, х ) = ~Ч, 'ргузх,".
(43) з= 1 Поскольку степени на любом отрезке образуют чебышевскую систему, то определитель Грама отличен от нуля и задача (43) имеет единственное решение. Но система степеней не ортогональна, и при больших значениях и задача (43) плохо обусловлена. Можно обойти эту трудность, строя и используя многочлены, ортогональные с заданным весом на заданной системе точек; но к этому прибегают только в задачах, связанных с особенно тщательной статистической обработкой эксперимента. Обычно же ограничиваются .
небольшими степенями л 2 —: 5, когда обусловленность задачи (43) удовлетворительна. В т о р о й с л у ч а й — типичная радиотехническая задача о тригонометрической,аппроксимации периодического сигнала, измеренного через равные доли периода, т. е. на равномерной сетке Описанная процедура напоминает регуляризацию суммирования ряда Фурье по числу членов. Сглаживать экспериментальные кривые можно и регуляризацией по А. Н. Тихонову (ом. главу Х)Н, 4 2]; при таком сглазкнванни не требуется предположений о аиде аппроксимирующей функции, ао она успешно выполняется только при довольно большом числе узлов АГ. При очень малом А( нахождение оптимального числа козффвциентов сгановится трудной, задачей; требуется очень удачно подобрать вид ф(х), а для определения достоверности результатов необходимо привлечь аппарат статистики (см.
главу ХН). 62 1гл. и хппгокснмхция етнкцип 2л У х„=-2лр ')У, где О ==- р == )т' — 1. Вес в этом случае можно считать постоянным рр —— 1. Система комплексных функций Ч~, (х) = ехр ((йх) ортогональна с неединичной нормой на этой сетке; в самом деле, их скалярное произведение равно Л' — 1 и — 1 Й~а Мт) = ~~ Ч>й (хр) фв (хр) = ~,~ ехр ~ у (ш и) 131= Лблт р=о о=о Поэтому коэффициенты аппроксимации можно находить по форму- лам (39) при условии введения нормирующего множителя, что приводит к так называемым формулам Бесселя л у(х) — ~, а„ехр (йх), (44) 1 ю ах = — ~ у (хр) ехр ( — Ихр), р=-о Благодаря ортогональности системы функций эти формулы без потери точности можно использовать при больших и и л1 (разу- меется, п~:)У вЂ” 1).
Особенно часто выбирают У=12, нбо тогда все коэффициенты очень просто вычисляются. Третий случай — это несложное сглаживание эксперимен- тальных таблиц, точки которых измерены со значительными ошибками. Возьмем несколько соседних точек, и в этом узком интервале построим среднеквадратичную аппроксимацию с одннм- двумя параметрами.
Центральной точке припишем то значение, которое дает аппроксимация. Для равноотстоящих точек и еди- ничного веса это приводит к несложным формулам. Например, для трех точек при аппроксимации многочленом первой степени из (43) нетрудно получить Й=- )з Ь~-1+У~+Уп1). (45) В радиотехнике этот способ сглаживания называют фильтром, ибо он ослабляет высокочастотные колебания, мало влияя на низкочастотные.
Все способы сглаживания надо применять осторожно, поскольку при этом можно исказить поведение функции. б. Нелинейная аппроксимация. Линейная, особенно линейная полнномиальная, аппроксимация часто не соответствует характеру функции. Например, многочлен высокой степени быстро растет при ~ х',- со; поэтому даже несложную функцию у(х) = 1,'(1+х') многочлен плохо аппроксимирует на большом отрезке.
Поскольку аппроксимация проводится в широком интервале изменения аргу- мента, использование нелинейной зависимости от коэффициентов здесь еще выгодней, чем при интерполяции. бз сгвднеквлдохтичнов пгивлижение На практике используют два вида зависимости. Один — квази- линейная зависимость, сводящаяся выравнива1ощей заменой переменных т) (у), $(х) к линейной, которая подробно изучена в предыдущих пунктах. Этот способ очень эффективен и часто используется при обработке эксперимента, ибо априорные сведения о физике процесса помогают найти хорошую замену переменных.
Надо только иметь в виду, что приближение, наилучшее в новых переменных, не будет наилучшим в смысле скалярного произведения в старых переменных. Поэтому на выбор веса в новых переменных надо обращать особое внимание. Классический пример — задача о радиоактивном распаде облученного образца, в которой удобны переменные 11 == 1яу и г, где у(() — скорость распада. В этих переменных кривая обычно аппроксимируется ломаной, звенья которой соответствуют распаду все более долгоживущих членов радиоактивного ряда.
Другой употребительный вид зависимости от коэффицнентов— дробно-линейная, когда аппроксимирующая функция рациональна: ~Р(х)=-Р„(х),ГЯ (х)=-~ У алхл~() ~ Ьохч). (46) Нередко используется и отношение обобщенных многочленов. Такая аппроксимация позволяет передать полюсы функции у(х)— им соответствуют нули знаменателя требуемой кратности.
Зачастую можно воспроизвести асимптотическое поведение у(х) при х- со за счет соответствующего выбора величины и — т; например, если у(со) =сопз1~0, то надо положить и — — ш. При этом сами и, гп можно брать достаточно большими, чтобы располагать многими коэффициентами аппроксимации. Однако квадрат погрешности ,'! у — (Р„,ГЩ„) ,';с, уже не будет квадратичной функцией коэффициентов, так что найти коэффициенты рациональной функции нелегко, Можно по аналогии со среднеквадратичной аппроксимацией мцогочленами выдвинуть гипотезу, что погрешность у(х) — [Р„(х),ГЯ„, (х)) имеет на [а, Ь1 число нулей, не меньшее числа свободных коэффйциентов (сравните с замечанием 3 в п.
2). Тогда задача сводится к лагранжевой интерполяции по этим нулям хр и коэффициенты ал, Ьо находятся из системы линейных уравнений: у(хр) у; Ь хо= ',),' алхл, О=р(п+т; Ь =1. (47) д:=о л.=о Разумеется, точное положение нулей неизвестно; их выбирают произвольно, обычно равномерно распределяя на отрезке [а, Ь1. Этот способ называют методом выбранних точен. Полученное этим методом приближение ф(х) вовсе не будет наилучшим.
Кроме !гл. и аппроксимация окнкции того, метод выбранных точек неразумен, как и всякая интерполяция, если у(хр) имеют заметную погрешность. Наилучшее приближение можно найти методом ипзврирвванного веса. Заметим, что задача /,'('„)ж (х) р(х) — Р„(х) Ц, =пни легко решается: стоящее слева выражение есть квадратичная функция коэффициентов аь, йы и дифференцирование по ним при- водит к линейной системе для определения коэффициентов, сход- ной с (38). Новая задача отличается от исходной по существу тем, что вместо веса р (х) используется другой вес р (х) (гма (х), поэтому ее решение не является наилучшим приближением. За- пишем исходную задачу в новой форме: ь /!у — (Р„,Я ) ()ь,=~р(х) Я (х)у(х) — Р„(х)]а Пх=пцп, а (48) р (х) = р (х), гя' (х), и будем решать ее простым итерационным процессом ро! (х) р (х) ~Ящ' (х)1 ь ~ р!'1 (х) (Я~" ,(х) у (х) — Ро! (х)~ с(х = пцп; а (49) а) Рассмотрим некоторые примеры аппроксимации рациональной функцией.
Положим 1 1 у (х) =!п (1+к) =х — — ха -(- — ла.(-...; 2 3 заменяя два первых члена ряда дробью, получим 1п (1+х) =2х)(2+к). Эта несложнаЯ фоРмУла обеспечивает точность — 1% пРи — г/а---к ма 1 и очень удобна для оценок, б) В теории вероятностей важную роль играет интеграл ошибок Ф(х), для которого известны разложения в ряды: к Ф(х)= — ~ е 1 г(ть==!х — — хт, —.ха --хт 1 ) 2 г 1 2 / ! ! 1 )г„--,) ' ~„- ~ 3' 1о 48 о 1 к~Г 1 „3 15 Ф(х)~1 — —,е "(1 .ха ( .ха --ха ! ) «)Уи (, 2 а 8 за нулевое приближение можно взять (~м'(х) = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
