Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Сходпмость не во всех рассмотренных случаях была равномерной. Более того, не существует такого веса р (х), чтобы любая непрерывная функция у (х) разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Дю Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится. 3 а м е ч а н и е 2.
Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции у(х) особенностей— разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особейности в виде несложной функции у,(х) и аппроксимировать разность у(х) — у„(х), точность аппроксимации существенно улучшается. Например, периодически продолжим функцию, изображенную сплошной линией на рис. 11, и аппроксимируем ее тригонометрическим рядом Фурье. Зтот ряд сходится в каждой точке, но неравномерно, ибо периодическое продолжение у(х) разрывно. Если >ке мы положим у,(х) =х, то функция у(х) — уэ(х), изображенная пунктиром на рис. 11, имеет непрерывное периодическое продолжение, и ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Скорость сходимости ряда при этом также возрастает. аппаоксимация елпсции !гл. и Замечание 3. Алгебраический многочлен Р„(х)= ~',а»х» »=о наилучшего среднеквадратичного приближения обладает свойством, напоминающим лагранжеву интерполяцию: разность у(х)— — Р„(х) на интервале (а, б) имеет не менее и+1 нуля.
В самом деле, предположим обратное: нули этой разности суть х,, где у=1, 2, ..., т~п. Составим многочлен Я„(х) = П (х — хт) = ~ о»х»! тогда произведение [у(х) — Р, (х)]1;1„, (х) не меняет знак, следова- тельно, $р(х) [р(х) — Р„(х)]!',! (х) с(х= )~ Ь,[(х', у) — ~~~ (х', х»)аДФО. »=- о Но если в (38) положить !р» (х) = х», то квадратные скобки в сумме должны обратиться в нуль. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
3. Суммирование рядов Фурье. Нахождение наилучшего приближения приводит к суммированию рядов. Казалось бы, просуммировать ряд нетрудно. Но, во-первых, он далеко не всегда сходится равномерно, даже при наличии сходимости в каждой точке. Так, если у(х)=1 на первой половине периода и у(х)=0 на второй, то максимум частной суммы тригонометрического ряда Фурье стремится к 1,09 при п-~оо (явление Гиббса, рис. 12), хотя в любой точке, кроме точки разрыва, этот ряд сходится к функции.
сРеднеквАЛРАтичное пРиБлижение Во-вторых, если надо суммировать много членов ряда, то происходит большое накопление погрешности входных данных и даже погрешности округления. Например, ряд Тейлора для у(х) = 22п х сходится при любых значениях аргумента. Вычислим гбп 2550', используя ЭВМ с 16 значащими цифрами и прекращая вычисления, когда очередной член ряда будет менее 10-'. Получим бессмысленный ответ: з!и 2550'=29,5! Причина состоит в том, что вычисления с заданным количеством цифр эквивалентны внесению погрешности в коэффициенты ряда. Погрешности вносятся и в том случае, если находить коэффициенты по формулам (39) не аналитически, а численно.
А бесконечные ряды, вообще говоря, неустойчивы по отношению к погрешности коэффициентов. В самом деле, изменим все коэффициенты аь ряда Фурье на малые величины есрь(ь); тогда сумма ряда изменится на 2, 'ефь(х) ф„(е) =еб(х — 3), х=! т. е. при х=$ изменение суммы бесконечно велико.
Таким образом, суммирование бесконечного ряда Фурье является некорректной задачей, и требуется какая-то регуляризац !я суммирования. Регуляризацня по числу членов. Простейшей регуляризацией является использование небольшого отрезка ряда и (е! ф(х; А!) = ~~ а„фь(х), ь=! где верхний предел суммирования есть функция ошибок е отдельных коэффициентов. Чем меньше е, тем больше допустимое!2'(е). Оценим оптимальное число членов для тригонометрического ряда Фурье. Ошибка из-за отбрасывания далеких членов ряда равна б,= ~', аьфь(х), ь-. и+ ! а ошибка из-за погрешности коэффициентов составляет б2 = ~~ баьфь (х).
ь=! При увеличении А! На единицу первая ошибка убывает на величину ах „срн„(х), а вторая возрастает на баА „фн„(х). Очевидно, при малых А! коэффициенты ан велики, и преобладает убывание первой ошибки, а при достаточно больших А' преобладает возрастание второй. Оптимальной является ситуация, когда АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ 1гл.
и ~ ал!р„(х)/(1+Ьл), Ьл)0, л=. ! где при малых номерах Ь, — О, а при больших номерах они достаточно быстро возрастают, причем Ьл-э со. Регуляризация по числу членов означает, что выбрано ЬА=О при А~А' и Ьь=со при й:-»А'. Естественный способ выбора регуляризирующих множителей предложил А. Н. Тихонов [441, показавший, что если ортогональная система ч!л (х) есть система собственных функций задачи Штурма — Лиувилля: — „- ~р (х) Д вЂ” ~Л+ д (х)) ср (х) = О, ср'(а) = ср'(Ь) = О, то сумму обобщенного ряда Фурье следует заменить на Ч!(х; а) = ~~ ~~ Ч!А(х), а>0. л=.! (40) Поскольку собственные значения Х, положительны и быстро растут при я-!- Со, то. опшбки на высоких частотах хорошо подавляются. В главе Х1У, в 2 будет показано, что суммирование ряда (40) устойчиво, а сумма !р(х; а) равномерно сходится скорости изменения этих ошибок равны, т.
е. при ал+, бах,+,. Получается естественный вывод: надо суммировать только те члены ряда, коэффициенты ал которых превышают уровень ошибки бам Суммирование следующих членов ряда только ухудшает точность и может привести к бессмысленному результату, как видно из примера с вычислением ебп 2550' (в котором роль ошибок коэффициентов играют погрешности округления при вычислении максимальных членов суммы). Ранее отмечалось, что если у(х) имеет ограниченную р-ю производную, то он=О(А! !Р! И). Отсюда следует, что по порядку величины оптимальное число членов А!=0(ба !яэ+'!), а достигаемая при этом погрешность бг+6,=0(баРЯР+и), Для достаточно гладких функций оптимальное число членов оказывается небольшим и при уменьшении ба растет, но довольно медленно.
Достигаемая точность тем выше, чем более высокие производные имеет функция. Ре гул яр из аци я форм — фактором. Описанный способ напоминает обрезание шумов в радиотехнике. Но подавлять шумы можно и с помощью форм-фактора, лишь ослабляющего высокие частоты. Для этого каждый член ряда (37) делят на соответственно подобранную величину 1+ Ьл и суммируют достаточно большое число членов ряда СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ й 21 к у(х) при е=тпах)ба»)-»-О, если параметр а-э О по определен- ному закону. Там же будет рассмотрен выбор параметра регуля- ризации а; сейчас отметим, что оптимальное 12=се(е) монотонно стремится к нулю при е-ьО. Попытки улучшить сходимость тригонометрических рядов Фурье предпринимались давно.
В методе Фейера рассматриваются частные суммы ряда Ф>рье: л 1р(х; л)=а»12+ ~ (а» созйх+Ь» Ип Ьх), »-1 н составляется функция 1 ф (х; У) = - — 7, 1р (х; л). л о ф'(х; л)= — ~Ф (х+ — "-; л) — Ф (х — —; л)1, На метод Ланцоша похож метод С. Н. Бернштейна, в котором полагают ф(х, «)= — (1р(х, л)+гр (х+ ' и) ~. Это обеспечивает равномерную сходимость для любой непрерывной функции р (х).
Однако последние три метода не слишком точны, и область их применимости узка; поэтому с появлением регуляризации по А. Н. Тихонову их почти перестали употреблять. 4. Метод наименьших квадратов. Если вещественные функции заданы табличио, т. е. на конечном множестве точек, то их скалярное произведение определяется формулой Д, 1р)=~~', р1~(хг)1р(х1), р1~0, (41) где Л' — полное число узлов таблицы. Тогда условие наилучшего среднеквадратичного приближения примет вид б~ ~х„р; = 'У, 'р1 (у (х1) — гр (х1))а = ш)п.
(42) Эта функция при А'- со равномерно сходится к у(х), если последняя непрерывна. Скорость сходимости невелика; если ограничиться небольшим числом членов, то все резкие колебания фуйкции будут сильно сглажены. Реально для хорошей передачи одного резкого скачка надо взять около 20 гармоник, а 1О гармоник дают невысокую точаость. Более быструю сходимость и меньшее сглаживание функции дает метод о-множителей Ланцоша. В нем частная сумма 1р(х, л) осредняется по отрезку х ж л((2л), т.
е, по одному полупериоду наивысшей гармоники. Это приводит к умножению каждого члена частной суммы на а»=(2л/(и»)) а(п(л»/(2л)). Метод Ланцоша позволяет даже почленно дифференцировать ряд Фурье, причем выполнение всех выкладок приводит к аесложной формуле лпппоксимация Функция ггл. П бо Выберем линейную аппроксимацию о гр(х) = '5, 'а„лра(х) а=1 с числом членов п.:= Аг. Тогда коэффициенты аппроксимации находятся из уравнений (38), где скалярные произведения нада брать согласно (41); эти уравнения можно получить и непосредственно, подставляя обобщенный многочлен в (42) и приравнивая нулю производные по коэффициентам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
