Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(34) Вычислять коэффициенты а, Ь, с на самом деле не нужно. Заметим, что равенства (34) означают, что столбец (г, г„го, го) есть линейная комбинация трех столбцов, стоящих в правой части при коэффициентах. Следовательно, составленный из всех четырех столбцов определитель равен нулю: г ! х у г, 1 х! у, 1 «о р'г сгвднвквздгхтичнов пгивлижвнив $ з! Раскрывая этот определитель по первому столбцу и вспоминая формулу (30), получим следующее выражение для интерполяционного многочлена; г=М~(~' лз лз)+гзФ(л> л лз)+ +гзЛ(лм тз, г)1,/'Л(лд, зз >зз) (35) Эту процедуру вывода формулы нетрудно обобщить на многочлен любой степени при произвольном расположении узлов, но сами формулы для многочленов высокой степени получаются громоздкими и неудобными для вычислений. $ 2.
Среднеквадратичное приближение !. Наилучшее приближение. Интерполяция позволяет легко аппроксимировать функцию у(х). Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки. Лля другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяциошюй формулы. Нам же всегда желательно иметь единую приближенную формулу у — р(х), пригодную для большого отрезка а= х=-б. Поэтому далее будем сравнивать заданную и аппроксимирующую функции на большом отрезке. При интерполяции мы приравниваем значения у(х) н р(х) в узлах, Если у(х,) определены неточно — например, из эксперимента,— то точное приравннванне неразумно. Поэтому нередко целесообразней приближать функцию не по точкам, а в среднем, т.
е. в норме Уз Пусть заданй функция у(х) и множество функций зр(х), принадле>кащие линейному нормированному пространству функций. Нас интересуют две задачи, Первая — аппроксимация с заданной точностью: по заданному е найти такую ч>(х), чтобы выпо,тнялось неравенство ~~у (х) — зр (х)11-.-.. г, Второе — нахождение наилучшего приближения, т. е, функции ф(х), удовлетворяющей соотношению ~~у (х) — ср (хЩ = ш( |!у (х) — Ч> (х) з = т. (36) Существует ли наилучшее приближение и единственно ли оно (для данных функции и множества)? Это имеет место не при любом выборе пространства н множества.
Например, в пространстве („— 1:::-х-=+1, выберем функцию у(х)=1 и множество зр(х) =сх; тогда +> ( 2 при (с)(1, ((У вЂ” зРРс, = ~ ( 1 — сх, 'е(х=-~ з +! ~ — — »2 при ~с,)1. В самом деле, при',с' == 1 эта норма равна площади заштрихованной трапеции на рис. 10, а, т. е. двум. При,'с(~1 эта АПпиоксИмлция Функций 1гл. и норма, согласно рис. 10, б, равна площади заштрихованной трапеции (которая опять равна двум) плюс площади заштрихованных треугольников. Значит, для любого с, по модулю меньшего единицы, ~р=сх минимизирует норму отклонения, т.
е. наилучшее приближение здесь существует, но оно не единственно. и а) Выведем достаточное усдовие существования наилучшего приближения. Пусть в линейном пространстве функций выбрано множество, образованное функциями вида (37) где функции 3Ч,(х) можно считать линейно-независимыми. Это множество есть линейное подпростраиство нашего пространства. Изменим один из коэффициентов суммы (37) на величину ба,; из неравенства треугольника (1.3) следует фу — (~р+Ьр)1~ — !1у — ср11~ ~ ~~бср~1 = ) бах ( ~1срД, т. е.
норма 1~у — ~!! непрерывно зависит от ам Очевидно, риЛ1 также есть непрерывная функция коэффициентов а„. Рассмотрим нормы как функции координат ам Сфера есть замкнутое ограниченное множество, поэтому Щ1 иа этой сфере имеет точную нижнюю грань р и в силу непрерывности достигает ее при некотором $(х) Очевидно, р)0; в противном случае ф(х) = — О, что противоречит линейной независимости сри(х).
53 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Возьмем шар ~х~ ~алс =- )!2 = ~ э+!!у!!+е ~2 / р', где е — какое-то л=! положительное число. В силу однородности нормы функции вне этого шара Еср!ГЗ- ИИ = — Р+ Щ~+е и, следовательно, йу — ср~~ =- "--~)ср!1 — ~~у!Г. т+е. Значит, вне этого шара норма погрешности заведомо далека от нижнеи грани. Только внутри шара у(х) и сг (х) достаточгю близки по норме. Но шар — ограниченное и залскиутое множество значений координат ал, поэтому непрерывная функция координат !~у — сей! достигает на нем точной нижней грани.
Следовательно, в любом линейном нормированном пространстве при линейной аппроксимации (37) наилучшее приближение существует, хотя не во всяком линейном пространстве оно единственно. На практике используются пространства !'.2 и С. В этом параграфе рассмотрим приближения в пространстве Ц, т. е. среднеквадратичную аппроксимацию. 2. Линейная аппроксимация.
Рассмотрим гильбертово пространство 7.2 (р) действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом р (х) > О на [а, Ь). Норма в нем равна й) йс,=)/(~, )), где скалярное произведение определено следующим образом: (7, ср) = ~ р (х) 7 (х) ср (х) с(х. а сризическнсй! смысл весовой функции будет пояснен в п.
4. Выберем в- качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (37). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (36), получим л л ~~у — срЦ,=(у у) — 2.У,'ав(у, срл)+ .У', ава (срв, ср )=ппп. А=! Ф,лс ! Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим систему линейных уравнений л .У, (срм ср„,)а,„=(у, !р„), )~э -и (38) сл =-1 Ве определитель есть определитель Грама функций срл (х); поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучсиее среднеквадратичное приближение суи(еетвует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (38). Линейно-независимую систему функций можно ортогонализировать.
Пусть срл(х) уже образуют ортонормированную систему, 1гл. и АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ т. е. (гр», гр„) =6„; тогда формулы (38) резко упрощаются и становятся удобными для вычислений ь а»=(грго у)=)р(х)у(х)гр»(х)г[х при (гр», гр )=б, . (39) а Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщеннога ряда Фурье. Если функции гр„(х) образунп полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля [] у — гр ][1,, = ~~ а». »=л.(- ~ Значит, при п-».оо норма погрешности неограниченно убывает, т. е.
наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у(х), и возможна аппроксимация с любой точностью. Отметим, что если гр»(х) не ортогональны, то при и-»-Оо определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (38) становится плохо обусловленной, т. е. ее решение связано с большой потерей точности (см. главу 1г'), и больше 5 — 6 членов суммы (37) брать нецелесообразно. Численная ортогонализацня базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогоиальных функций. При интерполяции мы обычно полагали гр» (х) =х».
Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве гр» (х) брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребнтельиы из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует р(х)= [. Сводка фортяул для ортогоиальпых полиномов приведена в Приложении. Все перечисленные выше системы функций полные, так что наилучшие приближения по ним среднеквадратично сходятся при п- ОО, если у(х) иитегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость. Приведем без доказательства некоторые результаты.
а) Ряд по многочленам Якоби Р"„' а(х) сходится к непрерывной функпии и (х) равномерно на [ — 1, +1], если существует непрерывная о'Р' (х) при некотором р=ч2+2шах(я, р] и если шах(и, Р]=-" — »Г». В частности, для миогочленоя Чебышена первого рода достаточно р=1, а для многочленов Чсбышеьа второго рода р=з, Для многочленоа Леисандра доказан более сильный результат; ряд сходится равномерно, если сущестиует ограниченная у'(х). а 2] СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ б) Если функция д(х) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на 10, со) н существует 1 Е "~22!за '112(у(Х) !с(Х, о то ряд по многочленам Лагерра 6~!а> (х) сходится к функции в точках ее непрерывности и к полусумме односторонних пределов '!з (а>+у ) в точках разрыва. Эта сходимость, вообще говоря, не равномерная.
в) Если функция у(х) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на ( — со, +со) и существует +со а — х' 2(), то ряд по многочленам Эрмита Л„(х) сходится так же, как в предыдущем абзаце. г) Если у(х) периодическая и непрерывная, причем се модуль непрерывности удовлетворяет условию ы (6) = сбро, о ( а — 1, то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на всем периоде (признак Липшица); в частности, это условие выполняется дтя функции с ограниченной производной. Если функция имеет ограниченную р.ю производную ! уса' (х) ! ~ Мр, а все младшие производные непрерывнй, то для погрешности тригонометрй.
чсского ряда Фурье и величии отдельных коэффициентов справедливы оценки (Ас„(Х) ! (А̄—, па=О(А- Рэзс), !па где А — константа. Видно, что при больших р ряд сходится быстро, Но если а(к) кусочно-непрерывна, то сколько бы ни было у нее кусочно-непрерывных и ограниченных производных, ее коэффициенты Фурье убывают не быстрей па=0 (1,%), и ряд сходится медленно (нли даже расходится), 3 а меч а ни е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
