Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 18
Текст из файла (страница 18)
15). Пока шаг достаточно велик, при его убывании неустранимая погрешность мала по сравнению с погрешностью метода; поэтому полная погрешность убывает. При дальнейшем уменьшении шага неустранимая погрешность становится заметной, что проявляется в не вполне регулярной зависимости результатов вычислений от величины шага. Наконец, при достаточно малом шаге неустранимая погрешность становится преобладающей, и при дальнейшем уменынении шага результат вычислений становится все менее достоверным. Полная погрешность мажорируется суммой Яь+г„(штриховая кривая на рисунке), Оптимальным будет шаг, соответствующий минимуму этой кривой.
Нетрудно подсчитать, что 6,(6) =(убоях; ~С,урС)п!'+"=О(6' +м), ппп (Кь+ гь) = СЬ~ (1 )- ~~ ) = О (6л!!л+'!). (224) Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность, вообще говоря, недостижима (хотя отдельные вычисления случайно окажутся более точными, но мы этого не сможем узнать). Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных и порядок вычисляемой производной и чем выше порядок точности формулы. Очевидно, ори бу(х)-ь-О можно получить сколь угодно высокую точность результата, если !иаг с!премится к нулю, будучи всегда не менее йь(6), Но если допустить й<п,(6), то результат предельного перехода может быть неправильным.
Эта тонкость связана с некорректностью задачи дифференцирования. Рассмотрим погрешность входных данных вида бу(х) == =-т-'згп'х. Она приводит к погрешности первой производной бу' (х) = т соз т'х. При !и -~ оэ погрешность функции в ~! (!с неограниченно убывает, а погрешность производной в той же норме неограниченно растет. Значит, нет непрерывной зависимости производной от функции, т. е. дифферен!1ирование некорректно.
Особенно сильно это сказывается при нахождении производных высокого порядка. вз ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ !л. Нп Изложенный выше способ определения оптимального шага и запре>цение вести расчет шагом.мейьше оптимального есть некоторый способ регуляризации дифференцирования, так называемая регуляризаиил по шагу. Этот способ в простейшей форме давно применялся физиками, которые при однократном численном дифференцировании всегда выбирали такой шаг, чтобы )у(х+Ь)— у (х) ~~~ б. К этой задаче прил>еиим и метод регуляризации А. Н.
Тихонова; он будет изложен в главе Х1Ъ', В 2. Физики издавна употребляют (без строгого обоснования) еще один способ регуляризации †дифференцирован предварительно сглаженной кривой, причем сглаживание обычно выполняют методом наименьших квадратов. Роль параметра регуляризации здесь играет отношение числа свободных параметров и аппроксимирующей кривой к числу узлов сетки А"; для хорошего сглаживания должно выполняться условие и ~(А'. Рассмотрим, как это делается в простейшем случае.
Выберем около искомой точки не очень большой интервал изменения аргумента, чтобы двучлениая аппроксимация у(х) а + Ьх обеспечивала удовлетворительную точность. Но этот интервал должен содержать довольно много узлов сетки, т. е. быть не слишком малым. Система уравнений (2.43) для определения коэффициентов среднеквадратичной аппроксимации принимает следующий вид: а ~~ р>+ Ь 'У', рлх, = '~ о;ун а У, 'р;х;+Ь ~р,х; '=-~ч, 'р,х,уи (25) где сумма берется по узлам сетки х„лежащим в этом интервале.
Введем на этом интервале средние значения .х =(,У, р>х>)!~~ р>) у =(~' р1у>)~(~ р>) ° (26) Тогда первое уравнение (25) можно записать в виде а+Ьх= у (см. задачу 8 к главе П). Умножая его на х ~я~ р> н вычитая нз второго уравнения (25), получим у' (х) = Ь = ~ У", р> (х>у> — хуфу ~х~~ р>(х) — ххв)1. (27) Пользуясь определением средних (26), произведем несложное преобразование знаменателя в (27): 'У', р; (х,' "— х-') = ~ч~ р> (х) + х-') — 2х' ~; р> = =,У„' р; (х) + х-) — 2х 'У', р;х; = ~ч , 'р> (х, — х)' и аналогично преобразуем числитель. Тогда выражение (27) ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ (гл.
н! приводится к виду, напоминающему коэффициент парной корреляции величин х и у: д' (х) - (г = [~ , 'р, (х; — х) (уг — у)1/[ '~', р; (х1 — х)'1. (28) Последняя формула несколько выгодней для численных расчетов, чем предыдущая, ибо ошибки округления в ней меньше. Двучленная среднеквадратичная аппроксимация дает удовлетворительные результаты, только если б/)/Аг(~А, где б — погрешности отдельных значений функции, А? — число точек в выбранном участке, а А — нелинейная часть приращения функции на данном участке. Если это соотношение нарушено, то надо строить сглаживающие аппроксимации с 3 — 4 членами и дифференцировать нх.
В заключение отметим, что выравнивающие переменные позволяют вести расчет крупным шагом или с малым числом свободных параметров. Поэтому предварительное приведение к выравнивающим переменным существенно ослабляет влияние погрешности начальных данных и позволяет теми же способами регуляризации Добиться большей точности.
ЗАДАЧИ нанти остаточные членьг формул (3) — (1О). 5. Получить длн второй производной формулу высокой точности (!0) из простейшей формулы (7) методом Рунге. 6. Строго обосновать рекуррентное примене. ние метода Рунге. 7. В таблице 8 приведены данные по энергии плазмы алюминия при плотности 10гз атом?сиз.
Составить таблицу теплоемкости с„и оценить ее точность, полагая, что: а) значения энергии вычислены точно, кялж г Т, зъ 2250 720 303 176 64,8 24,8 2,04 1,15 0,646 0,363 0,204 0,115 б) значения энергии имеют погрешность -+-10%. 8. Используя среднеквадратичную' аппроксимацию функции параболой у(х) — а+Ьх+схз, найти выражение для ее первой и второй производной через значения функции в узлах. 1. Составить формулу вычисления у'(х) на основании интерполяцноннога мпогочлена Эрмита (2.18) н сравнить ее с простейшей формулой у' (х) =у' (х,) 4.
+ (х — хе) у'(хз. хз). Найти погрешности обеих формул, Какая из формул точнее и почему? 2. Показать, что у двучленной формулы (1) есть две точки повышенной точности, определяемые соотношением Гг =-а+! хз'= уй 1.1 ~~ х! чст/ ~~ (х,— х))з~l((й-1-2)) й+1) г>?эьо в которых достигается третий порядок точности.
3. Аналогично (6) — (10) получить формулы для вычисления у и у 1П 1У в среднем узле по пяти узлам равномерной сетки. Таблица 8 4. Способом разложения по формуле Тейлора ГЛАВА 1Ч ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В главе !'ьг изложены основные методы численного интегрирования, В 4 1 выведены формулы вычисления однократных интегралов, основанные аа полнномиальной аппронсимации подынтегральной функции: простейшие формулы трапеций и средних и некоторые формулы более высокой точности, в том числе формулы наивысшей алгебраической точности (Гаусса — Кристоффеля и Маркова]. Исследованы погрешности этих формул и характер их сходнмости.
В 1 й рассмотрены способы интегрирования ф>нкций, для которых полиаомиальная аппроксимация не обеспечивает приемлемой точности, В 1 3 описанные методы перенесены на случай кратных интегралов, В 1 4 изложены основы метода Моите. Карло применительно к вычислению интегралов. $ 1, Полиномиальная аппроксимация 1. Постановка задачи. Пусть требуется найти определенный интеграл Р = ~ ~ (х) р (х) с(х, р (х) ) О, (1) Р где функция Г" (х) непрерывна на отрезке [а, Ь1, а весовая функция р (х) непрерывна на интервале (а, о).
Выразить интеграл через элементарные функции удается редко, а компактный и удобный для доведения до числа ответ получается еще реже. Поэтому обычно заменяют Г(х) на такую аппроксимирующую функцию гр(х, а) =) (х), чтобы интеграл от нее легко вычислялся в элементарных функциях. Чаше всего Г(х) заменяют некоторым обобщенным интерполяцнонным многочленом. Поскольку такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функция при этом заменяется некоторым линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах: л 1 (х) = ~х~ 1 (х;) тра (х) + г (х), (2) =о где г(х) — остаточный член аппроксимации. Подстаиляя (2) в (1), аб ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [гл. ш получим формулу численного интегрирования (хвадрпгпурную формулу) а г = ~х', с,((х;)+)с, -о (3) ь с, = $ Гр; (х) р (х) йх, а )т = ~ г (х) р (х) Г(х, а г = ~1(х) дх — (6 — а) (((а)+((Ь)1.
а (4) Зто одна из простейших ьвадратурных формул. Найдем ее погрешность. Для этого разложим ((х) по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых по ходу рассуждений непрерывных производных: 1(х) = 1 (х) + (х — х) ( (х) + — (х — х) 1 (х) + ..., (5) х= ~ (и+о). Погрешность есть разность точного и приближенного значений интеграла.
Подставляя в (4) разложение (5), получим главный где величины х~ назьшают узлами, с,— весами, а Й вЂ” погрешносьпью или оппаглочнььм членом формулы. Интеграл приближенно заменяется суммой, похожей на интегральную сумму, причелл узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от функции ((х). Интерполяционный многочлен (2) может быть не только лагран- жева, но и эрмитова типа; в последагх> нем случае в сумму (3) войдут производные функции в узлах.
Лучше всего изучена замена 1(х) алгебраическим многочленом; она рассматривается в этом параграфе. х Обычно будем полагать р(х) = 1, Случаи не единичного веса будут особо оговариваться. 2. Формула трапеций. Заменим функцию на отрезке 1а, 51 многочленом Лагранжа первой степени с узлами х, =- а, х, = 6. Зто соответствует замене кривой на секущую. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь трапеции (рис.
16); из геометрических соображений нетрудно написать для него формулу Гпрапеций ь полиномилльнья лппеоксимхция член погрешности х 2 (( (а) + ( (Ь)1 12 ( — а)э)' (Х) (6) где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегрирования. Заметим, что содержащие ((х) н !"' (х) члены разложения (6) уничтожились и не дали вклада в погрешность; это нетрудно было предвидеть, ибо формула трапеций по самому выводу точна для многочлена первой степени. Вообще говоря, длина отрезка Ь вЂ” а не мала, поэтому остаточный член (6) может быть велик. Для повышения точности на отрезке 1а, Ь) вводят достаточно густую сетку а=х,(х„(х, "...
...(хн=Ь. Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки н к каждому шагу применяют формулу (4). Получают обобщенную формулу трапеций ь У 1 ) (~) ~~=-~- ~ (х — х ) Ж- +И а г=! )г- — — -,т (х! — х! г)ь("(х,). 12 ~. На равномерной сетке она упрощается: ~ 1(х) г(х ')г( го+!г+гг+ ° +!и-г+ 2 1У) а )~=- — '- '~ й)-(-,)=--'-ЬР ~Г(.)йх. 12 .~, 12 г= ! й = х; — кг-г = сопз!. Поскольку в оценке (6) были отброшены члены, содержащие более высокие степени длины интервала, то выражение остаточного члена (8) является асимптотическим, т. е.
выполняющимся при lг-г-О с точностью до членов более высокого порядка малости. Но для справедливости втой оценки необходимо существование непрерывной ~" (х); если )" (х) кусочно-непрерывна, то удается сделать лишь мажорантную оценку ))т) ~ ггьМ„М, = !пах !)" (х) ). 1ю ь! (гл, ш ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Таким образом, обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности относительно шага сетки. На равномерной сетке это видно непосредственно, а на квазиравномерной сетке, порожденной преобразованием х = 3 (1), остаточный член (7) можно привести к виду ь ~ (р)) Г (х) а(х а ()()) если используемые в этой формуле производные непрерывны. Для произвольной неравномерной сетки аспмптотическая оценка в виде суммы (7) справедлива, но неудобна для использования; можно пользоваться мажорантной оценкой (9), подразумевая под шагом Ь= шах(х; — хг,). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
