Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(24) Попарно вычитая уравнения (23) друг из друга, получим Ра-РТ=[«-у), Ра-Ра=17([-у), или бл = у = (Ра — Ра)!(Р— Р?. Следовательно, эффективный порядок точности исходной формулы (22) равен Р=(!и [)) ' !и [(Ра — ГЧ)7(Ра — Рт)1. (25) Описанный алгоритм был предложен Эйткеном в 1937 г. дли ускорении сходимости итерационных процессов последовательного приближении, в которых ошибка убывает примерно по геометрической прогрессии (см. главу тг, й 2), 93 полиномилльнля аппроксимация 4 0 Погрешность численного интегрирования при изменении шага в Ч раз меняется приблизительно в чй раз; поэтому если сетки последовательно сгушаштси в одно н то же число раз, та ошибка убывает именно по требуемому закону.
3 а м е ч а н и е. Вычислять уточненное значение следует именно по формуле (24), не преобразовывая ее. В данной записи из Рз вычитается поправка, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок малости, поэтому зрметной потери точности не происходит. Если же привести все члены в формуле к общему знаменателю, то в вычислениях придется удерживать много знаков, чтобы избежать потери точности при округлениях. ! П Р имеР.
РассмотРим вычисление интегРала Е= ') ) 'х т)х=а/а. о У подынтегральной функции даже первая производная не ограничена, поэтому все приведенные ранее априорные оценки погрешности неприменимы. Мы не знаем, каков здесь эффективный порядок точности каждой из рассмотренных ранее формул численного интегрирования. Составим таблицу 10 значений функции и вычислим интеграл по формулам трапеций и Симпсона при разных шагах (таблица 11). Таблица 1О Таблица!1 Трапеций Симпсон эатнен 1,00 0,50 0,25 0,5000 0,6036 0,6433 0,6381 0,6565 0,6680 Видно, что обе формулы дают результаты невысокой точности.
Плохая точность формулы Симпсона означает, что формула трапеций фактически имеет не второй порядок точности и уточнение методом Рунге здесь бессмысленно. А уточнение первого столбца таблицы процессом Зйткена существенно улучшает результат; попутно выясняется, что в данном примере эффективный порядок точности формулы трапеций р — 1,88.
Эффективный порядок точности оказался не целым числом! С этим приходится встречаться, если функция имеет особенность, а формула интегрирования явно этого не учитывает, илн если особенность имеет сама формула (это возможно в нелинейных формулах интегрирования, рассмотренных в 9 2). Если никаких особенностей нет, то эффективный порядок точности может только слегка отличаться от теоретического благодаря наличию в погрешности не только главного члена, но и членов более высокого порядка малости.
В этом случае при й — ь0 эффективный порядок стремится к теоретическому, 94 1гл, щ ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1% этом основав быстрый метод контроля программ для ЭВМ. Зададим функцию, не имеющую особенностей, проведем расчеты иа сгущающихся сетках и проверим, согласуется ли эффективный порядок точности с теоретическим. Сильное расхождение свидетельствует об ошибке в программе. 7. Формулы Гаусса — Кристоффеля. Параметрами формулы интегрирования (3) являются узлы н веса. Однако, строя формулы трапеций, Симпсона, Эйлера, мы заранее задавали узлы и по ним находили веса. Поэтому мы не полностью использовали возможности общей формулы.
Только в-формуле средних мы подобрали положение узла из соображений симметрии, что привело к существенному улучшению формулы. Формула (3) с и узлами содержит всего 2а параметров; столько же коэффициентов у многочлена степени 2п — 1. Значит, параметры можно подобрать так, чтобы квадратурная формула (3) ь П Р=)7(х) р(х) с(х — ~", с„((х,) О ь=! была точна для любого многочлена степени не выше 2а — 1*).
Покажем, как находятся узлы и веса этих формул. Будем считать, что вес положителен р(х))0 и непрерывен на (а, Ь); он может обращаться в нуль или в бесконечность на концах отрезка так, чтобы существовал ~ р (х) г(х. Известно **), а что при выполнении этих условий существует полная система алгебраических многочленов Р (х), ортогональных на [а, Ь) с заданным весом; ь ~ Р, (х) Р (х) о (х) г(х = бв йР, (х) Ц,. (26) а Все нули этих многочленов действительны и расположены на интервале (а, Ь). Составим по узлам интегрирования многочлен и-й степени ь го„(х) =П (х — хь).
Функция 7(х) =о!„(х) Р (х) при лт(п — 1 А=! есть многочлен степени ие выше 2и — 1; значит, для нее формула Гаусса — Кристоффеля точна. Тогда получим ь в ~ о!„(х) Р (х) р (х) ь(х= У, 'саго„(ха) Р (хь) =О, (27) *) Первую танею формулу длв р(х) вв! построил Гаусс. Случай произвольного веса рассмотрел Крвстоффель. *ч) Смотри, например, 1241. ПОЛИИОМИАЛЬИАЯ АППРОКСИМАЦИЯ и ыл (х) =,5,' Ь,Р, (х), А=О ь О = ~(ол (х) Р,„ (х) о (х) с(х = Ь„ й Р (!' т«а — 1, т.
е. все коэффициенты разложения Ь =О при т=.=я — 1. Зто значит, что ыл(х) с точностью до численного множителя совпадает с Р„(х). Значит, узлами формулы Гаусса — Кристоффеля являются нули многочленов соответствуюи(ей степени Р„(х), ортогональных на (а, Ь1' с весом р (х). Веса интегрирования нетрудно определить, если узлы уже найдены. Функция л ф (х) = Ц (х — хл)((х — х„) А= (, А~ы есть многочлен степени и — 1, т. е. для нее формула Гаусса — Кристоффеля точна. Подставляя ее в формулу (3) и учитывая, что эта функция равна нулю во всех узлах, кроме т-го, получим веса формулы Гаусса — Кристоффеля Ь г л =1р ( )( !1 (* — ))(* —,)) р*.
(28) а А — (, Ава) Из этого выражения ничего нельзя сказать о знаке веса. Но если подставить в формулу интегрирования многочлен ф',„(х) степени 2п — 2, для которого формула также точна, то получим соотношение ь сл) $ !))л) (х) Р (х) ((х ) Ор а из которого видно, что все веса положительны. Подставляя в фор- мулу Гаусса 1(х) =1, получим соотношение л ь ~ са = ') р (х) с(х, А=! а (29) из которого следует равномерная ограниченность весов. Для наиболее употребительных весовых функций р (х) узлы и веса формул Гаусса — Кристоффеля приведены в Приложении вместе с соответствующими ортогональными многочлепами. так как го„(ХА) =О. Значит, многочлен (а, (х) ортогонален всем многочленам Р (х) степени т«а — 1. Если разложить ыл(х) в ряд по нашим ортогональным много- членам и этот ряд подставить в условие ортогональности (27), то получим ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ (ГЛ.
1У Формулы Гаусса — Кристоффеля называют также формулами наивь(сшей алгебраической точности, поскольку для произвольного многочлена степени выше 2и — 1 формула (3) с и узлами уже не может быть точной. Заметим, что в принципе можно не обращаться к ортогональным многочлснам, а просто подставить в (3) функции вида 1(х) =хаг и получить систему уравнений для определения узлов и весов интегрирования с х~~ — — М, 0(лг(2л — 1, »=! ',30) а Мм = ) х»гр (х) ах. а (Величины М называются моментами весовой функции.) Однако зто нелинейная система; йайти н исследовать се решение очень трудно даже при небольшик л.
Рассмотрим некоторые частные случаи. а) Собственно формула Гаусса соответствует р(х) =1. Линей- ным преобразованием аргумента можно перейти к отрезку а =- — 1, 6= — 1. На нем ортогональны с единичным весом многочлены Лежандра. Если обозначить их узлы и соответствующие веса через 5», у», то обратным линейным преобразованием можно полу- чить узлы и веса для произвольного отрезка 1 1 х = — (а+Ь)+ — (Ь вЂ” а) ь», 1 с» = — (Ь вЂ” а) ую 1 ~)с~и. В частности, при и=1 получаем формулу средних. Погреп)ность формулы Гаусса (выражение для которой мы приводим без вывода) пропорциональна той производной, которая соответствует низшей неучтенной степени аргумента; верхняя граница погрешности равна (Ь а)зле» (л1)4 Ь вЂ” о ~Ь а' тл шах Й( = Мял "1 — ~ Ма, (2л+1) 1(2л)йз 2,5 1' л ( Зл / Мт„= гпах ()(ал) (х) !.
(а, »1 Формула Гаусса рассчитана на функции, имеющие достаточно высокие производные, причем не слишком большие по абсолютной величине. Для- таких функций формула обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, ибо численный коэффициент в остаточном члене быстро убывает с ростом и. б) Формула Эрмита позволяет интегрировать на отрезке (†1, + 11 с весом р (х) = 1Дг1 — х'. При этих условиях ортогональны многочлены Чебышева первого рода Т„(х). Соответствующие 97 ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ узлы и веса интегрирования равны зь = саз [л ()з — г/з) л1, Та = л)п, 1 ()г ( л. (32) Отметим, что веса во всех узлах одинаковы. На произвольный отрезок зтн узлы и веса преобразуются так же, как в формуле Гаусса. Погрешность формулы Эрмита не превышает шах ~)с(=ИЛ(з,)[2" з (2л)11.
в) По формулам Гаусса — Кристоффеля возможно вычисление несобственных интегралов на полупрямай О~х(ОО; ес.чи весовая функция равна р(х) =х"е ", то ортогональными будут многочлены Лагерра й"„(х). То же относится к интегралам на всей прямой — ОО(х(+со при весе р (х) =е — ", только ортогональными будут многочлены Эрмита. Соответствующие примеры имеются в 9 2. В. Формулы Маркова.
Потребуем, чтобы квадратурная формула (3) была точаа для многочлена как моигно более высокой степени при дополнительном условии, что одна илн обе границы также являются узлами интегрирования. Очевидно, если число узлов равно я и одна из границ — узел, то формула может быть точна для многочлена степени 2л — 2; сслв обе границы являются узлами — то для многочлена с~висни 2н — 3. Соответствующие формулы называют формулами Маркова. Они рассчитаны на гладкие фуйкцин и по точности мапо уступают формулам Гаусса — Кристоффеля (для той же точности в формулах Маркова надо брать на один узел больше). Общие формулы разбирать не будем. Приведем только таблицу 12 узлов и весов для случая, когда оба конца отрезка являются узлами, а весовая функция о(х)=1; Лдя простоты положим а= — 1, Ь=+ 1, ибо преобразовать узлы и веса для произвольного отрезка можно по формулам (31).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
