Л. Прандтль, О. Титьенс - Гидро- и аэромеханика, том 2 - Движение жидкостей с трением и технические приложения (1132333), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Выполпение ьычисленнй ') дает: 1 '"З(а + у+ (4) Прибавляя к каждому из урзвнений (За) и !ЗЬ) тон десгно гда ди т д.л) ~) Для получения срслиего значения нормальных напряжений па шаро с ра..чусом, разным едиинне, необходимо прежде всего составить выражение для нормального компонента напряжения на каждом элементе Нр поверхношп шара. для этого пало силу рттг". в общем случае иапразлепнучо к поверхности шара не по нормали, умножить скалнрно на радиус г(1г —. Н.
Так кзк поверхность единичного шара равна 4к, то для искомого срелне1о значения получаем 1 1 ГГ г.раР—. Р гл(НÄЄл; ЛРУР -ь Пг:,Р,) -5 — кв илн, так как ттр —.-1гтг' -' унр, '-, и ИР. и П = Гр + грл 1- йр: ! Гà — р г -. (Нр - П), или, так как г1, 'пр: 1 3 с(Ре(г аП 4.. или„по теореме Гаусса н приникая зо внимание, что объем единичного шара 4 равен — — -: — $гтг (г': П) — 11 ~гйч (г:П) йу'= — - гйч!г: П). — г -р лр= - аж г" П = -- П- р„+ у- р, + тг =р,) =- -З (з + аг -Р а,). Так как всякое напряженное состояние можно считать одпоролпыч, если только леле «лет о лостаточно малой окрестности рассматриваемой ~очки, то окончательно полу ч ~еж связь мяжду аееиногоч ихняя;кений и деипюгом скогостай 71 и складывая затем обз урачнения, получаем, принпмзв во внимание равенство (4): ди (ди, дт~+ дм откуда 2 г ди дс , диж , ди ,дс ду аг дл Лнзлогичным образом получаем: 2 гди, ди .
(1п", д а,:= р, й(',, — 1 ."')+2й (~дс ду дгг) ду и ди ди ну дг 1и д д. дм дп ду дг ди ~1ы дл. дс дс дм ,';„! дг дг 'г '.с;» 'у у у (, дг уг г О О ( ~ г((чш О О ! р О ~ — р 1 1О г((кш О ! О р ) ( О О Йчш ! р ! — , 'О ! ~ О В векторио-аналитической форме это соотнгнпенпе записывается в следующем виде: 2 11.= й ('7 ш + ш 7) — р —:. й о(с та. 2 г д, дп дшт, и ди 41. Связь. вежду аффннорон напр»гненнй и аффннорон скоростей.
После того как мы усгзпоапли связь между нзпряженным состоянием и скоростями деформзпий длв отдельных частных случаев, перейден к определению спади между обшнм слу ием нзпрюкенного состояния и обусловленным этим состоянием скоростным полем. Совершенно ~ак же, как ны составили выражение И, опредстиюшее напрюкспное состояние, можно составить аналогичное девяюшленное нырзжснис, опр делающее скоростное поле и состояпгее из часгных про. взводных трех проекций скорости на направления координатных осей (см..гчз 40 первого тома).
Так кзк аффинор напряжений, как мы видели, симметричен, то его следует связать с симме~ричштй частью аффннорз скоростей (в М 44 первого тома мы нашли, по спмчетрнчнан часы зффииора соответствует скорости растаксиия, антпснчметричная же часть дает выражение для ротации). Принньая во внимание, но сумма аффииорз и сопряженного с нич аффинора (получаемого нз первого перестановкой столбцов на место строк) представляет собой симметричный аффипор, гюлу юеч в символической записи следуюгцее соотношение: 72 дифеггнЦИХЛЬНОЕ УГАВНЕИИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ для того чтаоы убедиться, что связь между напряженным состоянием и скоростньпг полем, устанавливаемая этим уравнением, содержит в ссбс выше:ыведснные частные случаи, следует только приравнять чежлу собой выражения, стоящие В обеих частях этого уравнения на состнеы ствугощих местах; например ди 2 о —...
2р — — р — — -Мб(фш, гни Зи г =!х~ — -+ — ) и т. д йу !1ОЛСтаНЛНЯ СЮГВ НайДСННЫЕ ВЫШЕ ВЫРВВГЕНПЯ ЛЛЯ Л, т,у, т,х, НаЛУЧПЧ: Аналогич ням г бразом получаем проекции гг на оси у и =. В вектор. ной форме булем иметь: )Е х= 7:!1 =- )г7. (Тгл+ и7) — ягайло -, йгай г!1уох; но |ак как )ЕТх(Тш+ ЕВТ) =)ЕТ рте+ Йягаб г(!у иг, ЧО 1 !х = — и а1Р+ —.
)Гдтас( Г(!У Ю+ Р5тв. 3 !!Олставляя это выражение в основнос уравнение, составленное иамп н начале этой главы, и заменяя -- чсрсз г, получаем; Р глто 1 1 — — = — й' — -- гайр+- -Упса!! д!Угв -'- ~Ьи, лг Р з нли н коорлинатнай форме, лля проекции на ось лч з й з й +-и — .1 О-+то ат ах ' йу ЗЛ Это лнференциальнае уравнение, известное пол названием уравнения )!ВвьемЭтоксз, составляет основу всей гндродинамики. Она имеет место как лля сжимаемых, так и лля несжимаемых жилкостей. В послелнем случае вследствие равенства: г(!у иг = О оно упрощается и при пгмает вил. гзш ! — .= у — — ягаг(р+ ултв.
(6) г Следовательно, в этом случае оно отличается от уравнения Эйлера дтя жилкостей без трения присутствием члена '~ага. 42. Уравнение Навье-Стокса. Теперь мы в состоянии в яразнгь резут~ьгир!Нощую поверхностную силу ЕГ н Вите фуньпнп скорое|ей дефо!тмацнй, Возьмем с п1чала проекцию силы )г на ось к; будем нагеть: йхх ~гху ~хх ЗАЕ!ечлния по ИОВОду унлвнения нАВъе"стОксА 73 Уравнение (8) впервые было составлено Навье ') (1827) и Пуассо пом:) (183!), причем в основе их вывода лежали соображения о дей станах междумолекулврных снл. Впоследствии Сен-Венан з) (! 843) и Стокс з ) вывели это уравнение, не лелая подобного рода гипотез и ли!Нь преднолщая (как это сделали и мы), что нормзльпые напряж иня и напряжения сдвига представляют собой линейные функции скоростей деформаций (закон трения Ньютона); кроче того, для случая, когда учитывается сжнчаемость !вил!гости или газа, они ввели предполо'ке ще, что среднее нормальное давление не зависит от скорости Обьемного расширения.
Следовательно, предполагается, что внутреннее трение проваляется |олько при скольжении слоев жидкости относительно друг дру!а, но не нри '!истом расширении, когда происходит нзче»ение обьема массы жидкости без скольжения с оев. Г!рав!щьносгь эгит гипотез, а также то, что уравнение Навье-Стокса ,!разил!.но передаег движения действительной жидкости, нолгвержлзегся совпадением результатов некоторых экспериз!ентов с соогве!ств!ющимн результатами, выв денными из уравнещщ (6), В ащности, для течений без иыгенения обь"ма Особенно убедительным дока:штельствпм прзвидь. ности уравнения Навье-Стокса яв !яется возможность вывода из него законов ламинарного д!Нпкения в прямолинейных трубах круглого сечения, котор ае сначала были найдены чисто экснериз!енгальнгяз! путем з). При этом слелует учесть, что вслежтвие больших магематнческих трудностей исследования этого уравнения до сих пор неизвестно ни одного строгого решения, при кото(том характерные лля движения жид!ости конвективные члены вступают во взаимолейстние с шеназ!и, зависюшщн от трения, в саз|ом общем смысле.
Так, при стро!ом решении, соответствуклцеч сг!уча!о лзз!инарного движения в .!рубах, коивективны члены вочбще пропадают, те же известные с!рою!е решения, при ьотооых ко !Нсктивпые члены не рвань! нулю ь), относятся к весыгз ч: тныч случаям, когда скорости зависят от координат особенно простым образом 43. Вакечакия ко поводу уравиевад Навье-Стокса. В связи с вышесказанным следует упомянуть, ч!о в !зачес! вз стро~их реш.
ний зрзвнения Нзвье-Стоксз мокнут рассматриваться также потенциальные те~ения, при которых не происходит изменения обьема, так как для ззких '!ечечий член, зависящий от вязкости, тождественно исчезает, В самом деле, если Ф обозначает потенциальную функцию, то лля потенцяального гвн кения имеет место равенство дФ вЂ” О, '! В а з ! е г: Мешогге зпг!ез ! Оа г(п Мовте|пеп1 без Р1НЫез, Мегп. бе ГЛсай, ггез . !епсез, т. 6, стр. 389. 19з7. з~ Ро! з з о и; Мешопе заг 1ез Вф аиопз йепсга1ез г1е Гйчп!1!Ьге е1 Лп Монуенсп! ггез Согрз зо1!г1ез е1аз!!чпез е! г1ез !'1НЫез. д це !Всо1е ро!у!есцп.
т. !.', тр. 1. !83!. з) 81. Ч е и а и 1: Согпр1ез Йепбцз, т. 17, стр. 124п. 1843. з) 8!ОКсз Оп Ше Т1зеог!ез о1 !Ье 1птеп!а! Впсйоп о1 81пшз !и Мо!1оп, Тгапз. о1 (йе СагпЬг. Р!н! 8ос., т. 8. !845. з) Эксперячентальназ проверка влияния скорости изменения об вема сцу тв на :рение н давзепне в сжимаемой яп!дкостн до сях пор не сделана. 9 Н айте!, Сд см.
сноску 2 на стр. 61. — К аг ш з ч, ТЬ. Уд СЬег 1апппаге 'нн! 1нгЬН!еп!е йе!Ьшзй. Х. апй. Ма!Ь. Мсгв,. т. 1, стр. 233. 1921, 74 диьвгвнцнлльнов >глвнгнив дни>кения вязкой жидкости з отсюда также равенство яга>( ЬФ = — Ь огас( Ф = О, нли, так как ига4 Ф =- о>, Следовательно, при потенциальном движении напряжения сдвига на каждом элемечтз обьема уравновешиваются сами собою. Олнако, нри потенциальном движении не могут быть одновременно удов "етзорены обз необходимые на основании опыта погра >нчные ус >овца, именно, жо и норм>льная и касательная составляющие скорости частицы жидкости непосредственно около твердой неподвижной стенки долж >ы бь>ть равны нулю. В самом деле, если нор>>з>пнзя состзвтяющая задана, то из уравнения Ьг!> =-О однозначно определяется касательная составляю цая.
Задание ее при диференциальном уравнении вт.>рого порядка относительно Ф нев.>змо>кно. Лля этого требуется диференциальное уравнение боле высокого порядка. Такое уравнение получается путем введен>ш функции тока н исключения давления. В случае олноролной нес>кимае»ой жидкости можно, как было упомянуто нз стр.
20, отбросить стзтическое давление и массовые силы, так как действие силн тяжести на отдельные частицы жидкости внутри жидкости уничтожается подьемной силой тех же частиц. Возникновение в жидкости свободных поверхностей в гном слу >ае мы должнь> исключить. Следовзгельно, мы можем нацисатзм 7>ш > — — — п>б о+ злгл р (7) Если, в частности, рзссчзтрнвзегся двухмерное >е >с»не, то целесообразно ввзсги функцию тока ф> йэ 14 и= —, о=.— — ' зг' ах благодаря чему удовлетворяется та>сже уравнение непрерывности.
Спроектируем уравнение (7) на оси х и у и продиференцируем полученные урзвнения соответственно по у и х; если теперь вновь получившиеся уравнения вычесть одно на друтого, то лавленпе выпадет, и после некоторых преобразований полушм; — .'>ф + и — Ьф + о — Ьф = я д.Ц. (8) аг Й Э, Здесь бф означает не что иное, как го(ш. Левая часть уравнения есть субсганциальная производная от Ьл>. Следовательно, это уравнение дает изменение ротации частицы вследствие трения. Полученное уравнение— четвертого порядка (вследствие наличия правой части). 44.
Дн>1>еренцнальн»е уравнение ползущего двн>пеняя. Ьольшие и ло спх пор непреодолимые математические трудности, возникающие при попытке интегрирования уравнения (7) илн (8), прин)жхаюг к введению некоторых упрощающих предположений. Эти трудное>п> связаны, с одной стороны, с квадратичным характером уравнения (невозможно наложение частных решений), а с другой — с высоким порядком членов, умножаемых 75 ДИФЕРЕНЦНАЛЬНОЯ УРАВНЕНИЕ ПОЛЗУП1ЕГО ЛВНЖЕНИЯ на т. Если этими членами, зависящими от трении, совершенно пренебречь, то получаются потенциальные движения, которые, как мы видели, хотя н удовлетворяют полному лиференцнальному уравнению, но зато в общем случае не допускают удовлетворения пограничных условий. Если ограничиться теми случаями, когда вязкость чрезвычайно велика или когда скорость или же размеры тела очень малы, следовательно, очень мало и число Рейнольдса, то всегдя можнодостичь того, чтобы квалрзгичный член Гш ам ш='гтв (в проекциях: и --, и — и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
