Л. Прандтль, О. Титьенс - Гидро- и аэромеханика, том 2 - Движение жидкостей с трением и технические приложения (1132333), страница 19
Текст из файла (страница 19)
д.) бьат сколь угодно мал по срлва.,' 5у нению с членом яЬти, зависящим от трения, Стокс ') вп ршзе ноказат, что при пренебрежении квздратнчньш членом уравнение (7) в некоторых слу. чаях может быть проинтегрировано. Однако, следует особо подчеркнуть, что полученное таким способом приближенное решение пригодно, как показал опыт, только для очень малых чисел Рейнольлса 17 (( — 1 5 / Примером тзких так называемых ползущих лвгпкений мо~гт служить, как уже упоминалось, движение тела в патоке или движение падаю цсй капли тумана (но не капли дождя, так как в этом слу ше чис.то Рейцоль ка уже слишком велико).
Если еще предположггть. что движение устзновившееся, то уравнние (7) переходит в следующее; (х цш = (кап Р г. е. Ьтв должно быть градиентом функции места. Зто уравнение мо.кно шце несколько преобразовать, если составить ротапию и этим исключить швление. Тогда, принимая во внимание, что го1ягаб р=:О, будем име,ги 1.1 == О. Гзк как уравнение непрерывности б(т ш = О уловлетворяется всегда, когда мы рассматриваем скорость пг как ротацвю произвочьного вектора А (см.
)чьа 47 первого тома), т. е, полагаем та = го1А, го из предыдущего уравнения следует.' О=го(л(го(А) = Ь(го1го(А). Если еще присоединить условие г((ъ А = О, что всегда допустимо, то получим: го1го1А = — ЬА. :ледовательно, диференцизльным уравнением ползущего движения будет: мЬА = О. ,1осле отыскания решений этого диференциального уравнения. уловлетво.
; яющих заданным погрзничным условиям, необходимо еще найти давление :. ~ упрощенного уравнения Навье-Стокса. И 51о1сей О. О.: СагпЬг, Рйй. Тгапзч т. 8. 18451 т. 9, 185! ити РаРегй т. 1, ~ гр. 75. днйеренцплльное урхвнечне движения ВязкОЙ жидкости 76 Стокс первый вычислил случай пол,гущсшт двитксншя вокруг шзра и интегрированием напра кеннй давлен«я и трения по асей поверхности опРелслпл сопРОгнвление (см, Гтд й1). Днференсгнз.змсос уравнен«с (7) остаетсв линейным и в том случае, коглз в выражснпи субсгзнциальной «ронзводной учитывается только локальдю дг но' ускор пнс — , При колебаниях с мз шыш зчплитулами, йй чл н (уско„сине вследствие конвекалым по сравнению с локзльныч ускорене достзточно.
Есгш смещение: из соложить равным ;= ив(пай д-; и=- — '-= иасова( дг ди даЬ вЂ” = — — = — иа' яп ад дг дс-' Обозначим через ( какую-нибудь длину« хзрактсрную для рассматриваемого янди лен«я, так ~то величина — будет подх и д рядка — . Тогда хотя величина и —, ЗХ Фпг. Вй. Две $аа» рас реаелення скоростей в поко»нен.я вяткой аялкостн в направаенпн, и рпепляк,перво» к коле давшейся сте~ке.
пя ди з следовательно, и —, ичссг олинзковука размерность с, но Вс.тсл( дй' стане соотиошсн«я па и'-' — --- — зй сов' а( ! ! ди ею чо>к«о и с«обречь по сравнснио с локзльньш ускорением —, если дт только — мало по сравнению с единицей. ! В качестве пгщмера рассчотрим течение, образуютпсеся в покоящейся жидкости, ггрзниченной стенкото, после того, как стенка начинает колебаться в своей плоскости (фиг.
39). Сасецгение из положения покоя восьмем в форме; с = 7(у) е'ег. ди дит дт дта' илн (аРГу) = Су" (у), д, Здесь и — точно равно нулю, следовательно, в отношении амплитуды и дх нс приходится делать никаких о~рани чений. Так как вследствие отсутствия ускоре ния в направлении у давление р =. сопя(., то урзвнсн«е г(авве-Стокса лз ет; попглвкл озинл тзк кзк !)1 и= — ' = !дг'(у) е".
дг Ползгзя г(у) = СезУ, получаем: откуда '1зк кзк у(у) = О при у — ъз, то окончзтельно для у(у) получаем действительное вырз>кение л „! у(у)=е - з ! з — у ~ ',— ! А сову ~/ —, + В иву ~у — ) э), где А и В суть постоянные. 45. Поправка 1)зина. Вычисления по спосооу Стоксз определяют состояние течения вокруг шага илп другого тела (з тем сзмым н сопротивление) в основном правильно только вблизи этого тела, но не нз большом рзсстоянии от него.
Кзк подробнее оудет покзззно в М Ь4, инерционные силы, свми по себе вялые, умею,шиотся по мере удзлсния от тела в степени меньшей, чем силы, обу'ловленные вязкостью. Поэтому, несмгнря нз то, что вблизи обтекземого телз играют преоблзлзю!цую роль силы вязкосжп при рассмотрении течения нз лосппочно большом рзсстоянин тела уже нельзя пренебрегать снлзми инерции, !!ринцнпизльнзя попрзвкз в этом направлении впервые была сдеззнз Овином в рзботе, опубгпиковзнной им в 1910 г. '). В этой работе, ре,улызты которой Лэмб з) вывел затем зизчительно более простым путем и, кроме то~о, дзл пм фпзичсс.ую интерпретзцшо, действие инерции учитывается по крайней мере частично тем, что квзлрзтичный член ш,7ш заменяется величиной )!'л'тш, гле !!г есть постоянная скорость нзтекзния в бесконечности. Следовательно, переменнзя гв входит в урзвпение движения опять в линейной форме.
Тзк кзк действие членов инерции проявляется по сравнению с действием членов вязкости только нз большом расстоянии от обтекземого тела, !де йг мало оьчичается от тв, то ол!годзря поправке Озинз главный член конвективного ускорения учигывзегся. Спектр .шний ~окз, вычисленный по способу Стокса, получается спереди и сзади телз симметричным, в то время кзк вычисления Озинз приводят к несимметричному спектру, Прзвдз, ззз!зтное отктонение от картины течения, вычисленной по способу Стоксз, пзступзет только нз болыпом рзсстошшн от тела; с постепенным же приближением к телу спектр линий тока Озинз переходит в спектр линий тока Стокса. г! О з е ел, Г, 1Ч:.
ВЬсг Ше 5!ойезм1ш Рогпгг1. Лгйы 1. Мзйь Лз1г. осв Гузгв, т. Ш 1910. т. 7. 19П1. Я! 1. з гп Ь, Нл Оп гпг 11пйогп1г Л1о1шп Ш з Яр!юге Пп юяй з Чыгонз Г1ШП. ПП !ПШ, г. 91, с~р. !ЗО. 1911. 78 дифхтвнцньльноь хгьвнвнив движения вязкои жидкости Для двухмерного ползущего движения вокруг круглого цилиндра уравнение Навье-Стокса переходит в уравнение Ьдф= О, где 'Ь есть функция тока. Однако, это уравнение вырождается в уравнение низшего порядка„ и поэтому попытка Стокса исследовать течение вокруг цилиндра таким же способом, как течение вокруг шара, осталась безуспешной.
Впоследствии Дамб, учитывая главный член инерции И':'тте, решил эту задачу способом, подобным примененному Овином для случая шара. Фнг. 56 таблицы 23 показывает фотографический снимок обтека- ~ В'~гт ! ния круглого цилиндра при числе Рейнольдса ' =: — (здесь соотно- 4 шення такие же, как для шара). Ясно видно, что симметрия течения хорошо соблюдается. У. 11огрйничные слои. 46. Область действвн внзпостп прп больших числах Рейноньдся.
Частичный учет наряду с действием вязкости также и действия инерции, как это делается в теории Овина, возмомсно вьн/ол~!нть только илн в случае очень нязкнх жидкостей или в случае очень небольших скоростей и размеров тела, т. е. нри очень малых числах Рейнольдса. В самом дете, только в этих случаях лействне коняев!ивных членов начинает проявляться лишь ыа очень большом расстоянии от об~екаемого те/и, т. е. тач, гле скорости почти не отличаются от скорости нагекапия в бесконечности, Только в этих случаях и можно пользоваться допущением Овина в качестве приближения, Вблизи же тета, где скорости значительно ошнюются от скорости натекзния, карпша течения обусловливается почти исключительно действиями вязкости, и не имеет никакого значения, если небольшие действия инерпыи булут у !тены злесь неправильно.
Однако, соотнопшння будут совершенно лругихш прн оольшпх числах Рейнольдсз, когда скорость или размеры тела очень велики нли когда кынематическая вязкость очень мала. В этом случае внутри жидкости /т. е. исключая облагпы соприкосновения !/п1лкост// с твердым телом) лсйс гния инерции пмеюг нреоолздающее зна/ение, в то время как действия вязкости почты нсчеззют.
Но, как мы уже выделы на стр. 9, действиями в~/акосты в д/!ферепцнальноа! уравнешш движения полностью пренебрегать отн/одь нельзя, так как в таком случае уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера, для которых, как мы заметили уже на стр. 74, не- воза/ожно удовлетворение необхолнмого пограничного условия — прнлинаши жидкости к сгенке, ограничивающей а/пакость, Значительный шаг вперед в изучении движений жидкостей при больших числах Рсйыольлса, следовательно, в общем случае с очень незни чительной вязкостью, сделал Л.
Прандтль '). Он в своем докладе „О движении жидкости при очень незначительном трении", прочитанном нз Международном мзтемапшеском конгрессе в Гейдельберге в 1904 г., показал, каким образов! проявляется действие вязкости, когда он! очень незначытельнз, и как в этом случае могут быть упрощены общие лнференциальные уравнения для того, чтобы сделать возможным хотя бы приближенное решение. Непосредственные наблюленпя над лвиженыямп жидкости !'например над движением вокруч цилиндрического твердого тела! показывают, что з случае жылкостн с очень незначительной вязкосп ю, вроле волы юп воздуха /в противоположность сильно вязкому маслу), скоросги почти вплоть ло поверхности обтекаемого тела по вели шне одного ' Р г а и д ! с 1..
1:Ьег В1азз!мхе/!зЬепедыпй Ье! зевг К1ешег. Йе!Ьипд. '1/егйапс/1. Ш 19 !и!. Вйащ. Копйгеаз 1п Неше1Ьегй 1904. Ее!рх!й 190гн 80 но> ран ичныр. слон порядка со скоростью натекания. Так, в случае обгекания тела, изображенного на фпг. 40, форм; > линий тока, а также скорости почти совпадают с тшов.>ми для потенциаз>ьн по течения жидкости без >рения.
Однако, ис лсдовзние поля с>серостей. более то шое, чем >зепосредственное набл>одение, п.нсазато, что жидкость непосредственно около самого тела не скольз>н по >жму, а прилипает, и что переход к скорости, наблюдаем й непосредственно около тела, совершается в общем слу >зе в очень тонком с.>ос жидкости. Тзк,>ч ооразом мы инес>> две области течения, резко м.жду собою не разграниченные. Первая обласп находится в непосредственной б >изости тверлого тела и имеет вид тонкого слоя, в котором гралпенг дм скорости — принпмзет в общем случае очень большие значения. Сле- дл довательно, в этом так называемом пограни шоч слое напряжения слви>а дна т = р —, обусловленные вязкостью, могут принимать большие значении, дл ' и поэтому злесь действие вяз...."; р,.,н;,з, о кости, саз>ой по себе очень о небольшой, будер все же зна- шгельньш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
