Л. Прандтль, О. Титьенс - Гидро- и аэромеханика, том 2 - Движение жидкостей с трением и технические приложения (1132333), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При этом дечается яаственчо з~метчым, что прздпотоженная вначале двухчерность течения нарушается Впервые об этом упоминает Кронер, а впоследствии это < бларужил Никурадзе. Прн угле рас1вора стенок, р1вном примерно 8 — 10', течение после отрыва струи от степки перестает быть двухме ным даже в том случае, когда отношелие сторон прячоугольника, образующего попереч ~о сечение при входе, составтяет 1:8, причем весьма вероягно, что нарушение двухмерности пр исходит еще до отрыва струи. 1У. Ди(реренциальное уравнение движения вязкой жидкоетп.
ЗВ. Оеновиов уравнение тидродииамиии. Будем похолить из положения, что для каждой частицы жидкости должно имегь ь~есто основщи. )равнение динамики: масса, уьшоженная на ускорение, равна резтльтирующей силе; следовттельно, дтя единицы обьема: Йге аг Результирующая сила складывается нз массовых сил К и поверхпост~ыт спл И. Гели отвлечься от того, что в ускоренно движучцейся системе 1нмут возникать некоторые добавочные плы (центробежная сила, кориолисова сала), то тогла в качестве массовой силы остается только сила тяжести, ь 1торая для единицы об ьема будет равча К= — К. Ч1о же касается поверхност- ',,' ' '...' ~у ! пях спл, то, если пренебречь си ~ачн —" ,~ Кг Гьч Рл" ф .рения, как мы э|о делали в первом ,пче, булок ичеть только падение давле- д пги — ягаг) р (ср. М 56 первого тома), гсх Теперь, олнако, мы не буден пре- фвь ю с:м.,вв.»м ч,ькгв "ада= 'брсга1ь трепнем или вязкос|ью гг илимска овъеча ых йглю ввьк а жи"- кчгси. гействи гельности всегла существующей, 1 выясним, в какой мере уравнение движения реа1ьной, обтадаюпгей тр .
леч жидкости отличается от уравнения двпкенпв жидкости пгеальной, ~вергпенно не обладающей трением. Будем предполагать, что поверхностная сила А' является ана:ппнческой ) ункцией места (точки) и что жидкости в общем случае представляют :кюй изогропные тета, в которых все направления равноправны и, следоьжельно, коэфнциент внутреннего трения не зависит от направления. Рассмотрим бесконечно малый этемент «кидкости, изображенный нл 32 С:нла, действующая на поверхность этого элемента, объем ~прего равен гтЪ'.=-Ыхггусг . сктадывается из трех векторов ар, Зр ар, ' сгх, г(у г)а г лу лгл сгхд г(а, 1х гуу.
дх ' ду ' ' вх у.щч пои этом считать, как это принято в теории упругости, растн'нваюппге силы потожительнычи, а сжимающие — отрпцательнымп. В та:оч случае результирующая указанных трех составляющих будет равна г = ( йр-" )- зру + '-~р=') ) (. а~ ау д / !чары н 1:и:,~ пес ь и Шььагшщиальноа гвавнаг1ик лвижания вязкой жидкости 3)). Рвздоясеине поверхностной рсзультирутпи)ейт силы нв элеиеиты иффинора напряжений, Разложим теперь векторы р„, р, р, на их прямоугольные компоненты; получим: рг=.з'л + утг +Атчю — )-,уз -',— Ат „ р =а:, +ут, )- йо,, 'Гак как в упругом теле з), находящемся в состоянии равновесия, момент относгмсльно произвольной оси должен быть равен нулю, следовательно, лошкны иметь место ргешштва: т „, гг'ч гза.
г)х = т, гзх гул ау и т. д., го +- ' ~+... кочпсн пт в направлении осп х, дз ~ Шмж грань Гззз ш х Аг Эго выражение лля А' мо,ксг быть прелсгавлзно также в сгшлующей форме я): ( д )с.== ( г +у дх д д1 д -+ й - ) з газо, + Ггт„„+ гй .з, + +уг'тз„+у)л +уйт а-)- + йт., -)-Ау ... -)- йй.,), ') Мы зшжсч ~ за~~ ътя аызола ннжсс ~стуюшего соотношения вместо жнткого ~ бъгма упругое тете пгпочг, чго чы нрслпозагаем !то напряженное согтояние ь вязкой жилкостн такомз же рола, как я напряженное состояцне в упругом теле, с тою лишь рюницсю, чгз напряженное состояние в упругом теле пгыагается пропорциональным лефорчаццям. а в жцлкости — скоростям леформацнй. Дзя кцгкостп ннжепрнвоцшые соотношения не могут быть получены путеч перехола к слушю равновесия.
зак как то. что прй разновески всякис напря- женна сленга лелаются разпымн нушо, как раз можно считаш за определение жидкости, з) Значок ознаьшег скшярное ушюкеппе величин, ич с ягзнпьо, например: д д-„ д:, . П:, == г г'г',—. = з дх * - — ' дх дх д дз у з Гз'з, — у ° гг -й ==. 0 дк ду о (сзг. дй )3 нсрьшн точа) Г)оэгочу результирукпцую поверхностную салу, отнесенную к единице объема, можно прсцсгавить в виде следующего выразкения: элементы йооинорл нлпряжьиий и ско~ ости дьоо~ наций или, если ввести оперзтор Галзильтопа Ъ,Э, Ъ Г--т — +у — +я Ък ЭР Эл в форме: уе А'= — 7ол ~о т л ку Чт» у ~т„о тт, цли, наконец, в сокращенной записи: )Э= — 7 И, (2) где и жу '«л д ы тз а Фи .
33. Распределеаие скаростеи аазкпй жидко. «ти, каплю.еикой между лаижушейса и «еиолиижкай пластиккаии. Ъл т=)лик' р, коэфициент вязкости, есть материальная постоянная жидкости лвисящая от температуры). Ооозначим угол, на который улаеньшилсв рлоначально примой угол элемента жидкости в виде прямоугольника, ь:роз у; тогда, согласно сказанному в лтй 3, дг :. с. напряжение «дчига пропорцнонзлшш скорости деформации, причем зфиционтом пропорциональности явлнется вязкость р.. лсть выражение, определяющее напряженное состояние рассматриваемого эттемента об.ьема.
Этот так называемый аффинор напряжений, связь которого с резуль1орующею поверхностною силою дается уравнением (2), является, вслед:твие соотношений -,. =-. т„„и т. д., симметричным аффинором нли тензоролт. Слсдовательио, он вполне определяется шестью величинами. 40. Связь иеяхду адеиевтпив ал)лфввора вавряясеввй и соотттетчтвующвии сиоростяив дефориицвй. После того как мы разложили результирующую поверхностную силу на ее отдельные (входящие симметричный аффинор П) элементы, следует найти связь между на.
~ряитенньзм состоянием П и скоростью деформации мт. Для этой цели чы пай тем сначала связь между отдельными элементами аффинора напряжений и соответствующими скоростями деформаций. На основании опыта мы знаем, что при установившемся течении, изображенном на фпг. 33, тан'снциальная сила на единицу плолшли верхней, движущейся пла- т панки, т.
е, напряжение сдвига т ЕЬ ° вязано с градиентом скорости . ногношениелн б3 дифеРенниАльное уРАаненне движения вязкой жидкосгн Рассмотрим бесконечно малый квадрат, изображенный нз фиг. 34. Указанные на черте>ке напря>кения сдвига -. = т = — ", вызываю> опросу ук деленное секундное изменение первоначально прямого угла квпдрасш Фвг. аа. Иапряпепия сльига на бесконекпо мами кубе Фиг.
аа. Иакененгы поямого угла куба поа асмсгвнеп гангенпияльнмк сил. Из фиг. 33 имеем.> Составляя ана.топшные выражения также и для -., и т„я, полу юем: / 3г> зл т.=-й(- + !!ерейдсм теперь к нормаш ным напрян аннам о, о, з . В>>пшел> у' л' н квадрат, вычерченный на фпг. 36 более жирными лшшямн, дру>ой квадрат, с в риинами в серединах сторон перво> о квалрзта (э>от квадрат вычерчен гонкими линиял>и). Из чертежа видно, что когда большой квелоат деформируется укг>- / / р '.пг / ванным на чертеже образом, малый квадрат переходит в преоюугольнпк.
'! ак кск силы, приложенные к прямоугольному тре/ угольнику, отделяемому от болыного квал/ ';., ',~'и',Ог рата диагональю, должны находиться и равновесии, то по д>/аго >аг>я>г должны дсй/ г г т вовать сжимающие и>и рас гаги пап>щис с>щы. Из фиг, 117 по.б шсм У т / / / Фы . Зб. дсфорнания палого квалра>а, понсаыыго в аольмои ьвааолг.
в примо> и ьннк нол леис>вием напрялыыы сленга на бо.>ьшое квалраге. 2. Дтжп -'- — а !' 3 у =... О, г»ьу>гг>. гаме>ши ь!>г с>о:пш;синем, нлхо >н > ЭЛГМЕНТЫ АФФПНОРА НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТИ ДСФОРМА11ИЙ 69 Лпалопгчным образом из равновесия прячоугольного треугольника, отд.ляемого от большого ква./рата другой диагонатено, получаем, что зо Определим теперь, насколько диагональ квадрата утлиняется (н "и укорачивается), когда последний деформируется так, как показано на Фиг.
ЗТ. Рненанесие наири кения сдви- ге и норчзвьнага напражеиин, Фиг. За. Идчененне дзинь ннагонааей «надреза грн бесконечна назон деб арьаонн вод дейсгнвен наорвженнн еде.га. фиг. 38. Следовательно, вместо квадрата АВС/Ъ мы псиучасм ромб А//'С'Бг причем первоначально прямой угол при точке А делается равным 90о —;г.
Так как /ЪП' = Е/Иг =-.. А В следа ва т ель и о, МЧ'= — Е.1/' А// а с друтой стороны: Ав! 2 АЛ ..—.- —, 2 СС' А/лр Аб' Лги 2 Вычитая е, из а,, имеем: 1 2 Если теперь квздрат, изображенный на фиг. 38, отнести к системе координат, повернутой относительно сторон квадрата на 45о, то будем иметь: Ът Ъ О„вЂ” О = 2-.„Р = 2/2-' =-. 2/2 /11 — аа). Вычитая з, из О,, находим: О " = — 2" 1 то удлинение е, диагонали АС будет равно: Аналоги1ным образом потучаеи для второй диагонали ВВ; С' С / / / / 70 диееРенцнлльное уРАВнение ДВижьнпя ВязкОЙ жидкости Но в этой системе координат дт( Зп дыт до дт дл дс ду следовательно о,--о, = 2Й ~~- — «.) „ дл дк Лналогичным образом получаем: гда дшу о„— па==2)л ( (дл дл) ' (За) (ЗЬ) Введем слелушнтее определение: среднее значение нормальных напряжений на шаре с радиусом, разным единице, представляет собой отрииательиое „давление жидкости" — р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
