Э.Л. Кузин - Вопросы и задачи по курсу квантовой химии (1129479), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Частица массы m находится в двухмерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты x, y частицылежат в пределах 0<x<a, 0<y<b, где a и b - стороны ямы. Найдите собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы.находим E n =22118. Определите в условиях предыдущей задачи вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области 0<x<a/3, 0<y<b/3.119. Частица массы m находится в двухмерной квадратной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равна l . Найдите значения энергии Е частицы для первых четырех уровней.120. Частица массы m находится в основном состоянии в двухмернойквадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Найдитеэнергию Е частицы, если максимальное значение плотности вероятностиместонахождения частицы равно Pm.121. Частица массы m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины ребер ямыравны a, b, c. Найдите собственные значения энергии частицы.122. Что называется квантовым осциллятором? Чем отличается квантовый гармонический осциллятор от классического?6. ВЫРОЖДЕНИЕ123. Что называется вырожденным состоянием? Покажите, что еслифункции ψ1 и ψ2 являются собственными функциями оператора L$ , а состояния ψ1 и ψ2 - вырождены, то их линейная комбинация также являетсясобственным состоянием системы.124. Почему возбужденные состояния атома водорода вырождены?125.
Покажите, что если гамильтониан системы не меняется при некоторой операции симметрии, то состояние системы вырождено.126. Подсчитайте кратность вырождения состояния электрона в атомеводорода при n=3: а) без учета спина; б) с учетом спина.127. Почему в трехмерной прямоугольной потенциальной яме состояния электрона вырождены?7. МАТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ128. Как записывается оператор в матричной форме? Что понимают подматричным элементом оператора?129. Что представляет собой матрица оператора в собственном базисе?130.
Дайте определение эрмитовой матрицы: симметричной, положительно определенной. Почему матрица гамильтониана должна быть эрмитовой?131. Что понимают под диагонализацией матрицы и зачем необходимодиагонализировать матрицы операторов физических величин?23132. Как можно привести матрицу оператора к диагональному виду?⎛1 1⎞133. Найдите собственные значения матрицы ⎜⎟.⎝1 2⎠134. Что такое собственный вектор матрицы? Найдите собственныевектора (задача 133).8. АТОМ ВОДОРОДА135.
Почему задачу о движении электрона в атоме Н удается решитьточно, а для атома гелия это не возможно?136. Запишите наиболее общий вид волновой функции, описывающийэлектрон в поле протона. Почему угловая часть этой функции зависит отквантовых чисел l и m? Почему радиальная часть данной функции зависитот n и l?137. Найдите наиболее вероятное расстояние электрона 1S от ядра ватоме Н. То же для электрона в состоянии 2S .138. Найдите среднее расстояние 1S-электрона в атоме водорода от ядра.139. Постройте угловую зависимость орбитали Ψ2p x .140.
Координатная часть волновой функции электрона в 2S-состоянииатома водорода имеет вид:r⎛r⎞ −Ψ2s = Ψ2, 0,0 = b⎜ 2 − ⎟ e 2a 0 ;a0 ⎠⎝где b - постоянная, a0 - радиус первой боровской орбиты. Построить:а) график этой функции;б) график зависимости вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра. Установить положения максимумов плотности вероятностив единицах радиуса боровской орбиты (r/a0).141. Координатная часть волновой функции электрона в 3S-состоянииатома водорода имеет вид:r⎛rr2 ⎞ −Ψ3s = Ψ3, 0,0 = b⎜ 27 − 18 + 2 2 ⎟ e 3a 0 ;a0a0 ⎠⎝где b-постоянная, a0 -радиус первой боровской орбиты. Построить:а) график этой функции;24б) график зависимости плотности вероятности нахождения электронана расстоянии r от ядра.
Установить положения максимумов плотностивероятности в единицах радиуса боровской орбиты (r/a0).142. Радиальная часть волновой функции электрона атома водорода всостоянии 2рz имеет вид:r⎛ r ⎞ − 2a0Ψ2 p z = Ψ2, 0,0 = b⎜ ⎟ e;⎝ a0 ⎠где b - постоянная, a0 - радиус первой боровской орбиты. Построить:а) график этой функции;б) график зависимости плотности вероятности нахождения электронана расстоянии r от ядра. Установить положения максимумов плотностивероятности в единицах радиуса боровской орбиты (r/a0).143. Радиальная часть волновой функции электрона в состоянии 3рzатома водорода имеет вид:r⎛ 6r r 2 ⎞ − 2a0Ψ3p z = Ψ3,1, 0 = b⎜ − 2 ⎟ e;⎝ a0 a0 ⎠где b - постоянная, a0 - радиус первой боровской орбиты. Построить:а) график этой функции;б) график зависимости плотности вероятности нахождения электронана расстоянии r от ядра.
Установить положения максимумов плотностивероятности в единицах радиуса боровской орбиты (r/a0).144. Постройте зависимость вероятности нахождения электрона в состоянии 1S от его расстояния r до ядра.145. Постройте зависимость орбиталей 1S, 2S, 2Pz от углов θ и ϕ. Чтоозначает изображение 1S-AO в виде сферы? Почему сфера для 2S-AOимеет бóльшие размеры, чем сфера, изображающая 1S-AO?146. Постройте угловые зависимости d x2 − y2 и d xz -AO на плоскостях.147.
Почему полная энергия электрона в атоме водорода отрицательна?Что означала бы положительность этой энергии?148. В атоме водорода уровни энергии электрона при n>1 вырожденыпо орбитальному квантовому числу l, а в многоэлектронных атомах этовырождение снимается. Почему?149. Один из эффективных методов преобразования матриц к диаго⎡α β ⎤нальному виду - метод вращений. Показать, что матрицу Н= ⎢⎥ можно⎣ γ α⎦привести к диагональному виду поворотом плоскости системы координатна 45°.25150. Найти частоту перехода электрона в атоме водорода между уровнями 1S→2P.9. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ151.
Что понимают под оператором возмущений?152. В каком смысле говорят о необходимости малости возмущения?153. Чему равна поправка к энергии системы в первом и во втором приближениях теории возмущений?154. Состояние некоторой системы описывается волновыми функциямиψ1, ψ2, ψ3, ψ4, и соответствующими собственными значениями Е1=1, Е2=2,Е3=3, Е4=4. Матричные элементы оператора возмущения равны: V11=0,4;V22=0,3; V33=0,2; V44=0,1; V12=V13=0,1; V23=0,2; V14=V24=0.Найти:а) поправки к уровням энергии в первом и во втором приближенияхтеории возмущений;б) поправки первого приближения к волновым функциям;в) точные собственные значения возмущенной задачи;г) нормированные волновые функции в первом приближении теориивозмущений.10.
КВАНТОВАЯ ХИМИЯ. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ155. Что понимают под химической частицей? Молекулой? Атомом?Веществом?156. Чем отличается молекула от атома? Какие не известные для атоматипы движений характерны для молекулы?157. Что понимают в теории молекул под движением? Вращением молекулы как целого? Колебанием ядер? Движением электронов?158. Запишите уравнение Шредингера для молекул и ионов:а) Н +2 ; b) Н2; с) Li +2 ; d) Li2; e) B2; f) N2; g) O2; h) C6H6.159. Почему уравнение Шредингера для молекулы не решается точно?160. Как разделить приближенно вращательное движение молекулы какцелого, ее поступательное движение и остальные типы движений?161.
В чем физический и математический смысл адиабатического приближения?162. Что понимают под адиабатическим потенциалом? Почему его называют потенциалом? Почему адиабатическим?26163. Оцените относительные значения электронной, колебательной ивращательной энергий молекулы.164.
Чем отличаются квантовые представления о молекуле от классических?165. Назовите ученых, внесших существенный вклад в развитие молекулярно-кинетической теории.166. Получите оператор неадибатичности.167. Пользуясь теорией возмущений, покажите малость среднего значения оператора неадиабатичности.168. Уравнение Шредингера для двухъядерной молекулы с потенциа2лом Морзе имеет вид ⎡Т + D e 1 + e −βx ⎤ Ψv ( x) = E v Ψv ( x) ;⎢⎣⎥⎦а) начертите график потенциала Морзе;б) выясните физический смысл постоянных De и β.169. Сформулируйте теорему Яна-Теллера.
Каков ее физическийсмысл?170. На каком принципе основано действие лазера на аммиаке (NH3)?171. Сформулируйте принцип Паули. Какое специфическое свойствофермионов отражает этот принцип?172. Какие микрочастицы называют фермионами?173. Что такое одноэлектронное приближение?174. Что называют орбиталью, спин-орбиталью, атомной орбиталью,молекулярной орбиталью?175. Дайте определение спиновой функции.
Перечислите свойства этойфункции.176. Запишите антисимметризованную волновую функцию системытрех электронов и четырех электронов.177. Запишите детерминант Слэтера для системы четырех электронов.178. Запишите спиновую функцию пары электронов: с антипараллельными спинами (рис. 7, а и б) и параллельными спинами (рис. 7, в).()а)ε2б) ε2в) ε2ε1ε1ε1Рис. 7.179. Что такое электронная конфигурация? Однократно- или двукратновозбужденная электронная конфигурация?27180.
Что понимают в квантовой химии под наложением конфигураций?Для чего учитывают наложение конфигураций?181. Напишите волновую функцию молекулы Н2 в базисе четырех од-нократно возбужденных конфигураций. То же для молекул Li, B2, Li 2+ .182. Сформулируйте теорему Бриллюэна. Напишите гамильтониан молекулы в базисе четырех однократно- и четырех двукратно- возбужденныхконфигураций.183. Что понимают под электронной корреляцией? Оператором электронной корреляции?184. Каковы принципы нахождения многоконфигурационной волновойфункции?11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
