Э.Л. Кузин - Вопросы и задачи по курсу квантовой химии (1129479), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Что это значит?17. Может ли квантовая частица покоиться? Почему?18. Обязательно ли использование ψ-функции в аппарате квантовой механики? Всегда ли ψ-функции имеют математический вид волн? Приведите примеры, подтверждающие Ваши утверждения.19. Каким условиям должна удовлетворять волновая функция частицы?Какой физический смысл имеют стандартные условия: непрерывности, однозначности, ортогональности, нормированности ψ?20. Какой физический смысл можно увидеть в том, что ψ-функция свободной частицы не нормируется обычным образом? Какой физическийсмысл в нормировке волн Де Бройля по Борну?21.
Сформулируйте принцип суперпозиции полей, волн и т.д.22. Пусть r - расстояние до некоторой фиксированной точки, котороеможет принимать значения от 0 до ∞. Волновая функция частицы имеетвид Aeαr. Любые ли значения r допустимы?23. Может ли функция er быть волновой функцией? А функция eir? Почему? Может ли функция аrcsin x быть волновой функцией?24. Пусть α - угол, определяющий положение точки на окружности.Нужны ли какие-либо ограничения на функцию ψ= eiαm , чтобы она моглабыть волновой функцией? m=±1, ±2,...25. Какое выражение характеризует плотность вероятности найти частицу с координатами x, y, z?26.
Чем отличается плотность вероятности от вероятности? Какова вероятность найти частицу в точке x0, y0, z0?А плотность вероятности?827. Какие эксперименты указывают на невозможность классическогоописания движения микрочастицы?28. Состояние микрочастицы характеризуется волновой функциейiΨ = А exp px.hКакая из следующих функций (1, 2) описывает другое состояние частицы?iΨ = А exp p′x ,(1)hiΨ = А exp px′ .(2)h29.
Для чего введен принцип суперпозиции состояний в квантовой механике?30. Какой математический смысл имеет утверждение, что умножениеволновой функции на любую постоянную С не меняет состояние системы?31. Будет ли суперпозиция двух разных волн Де Бройля описывать состояние с определенным импульсом и энергией?2. ОПЕРАТОРЫ32.
Почему математический аппарат квантовой механики используетоператоры? Что называется оператором? Сформулируйте постулат об операторах.33. Почему операторы квантовой механики должны быть линейными?34. Проверьте, линейны ли операторы :$ = ψ 2 (1) 1 dV ;а) d/dx;б) id/dx;в) x+d/dx;г) Al∫ l r12 1д) оператор комплексного сопряжения;(е) − h 2 / 2m)∑ ∇2i.i35. Почему операторы квантовой механики должны быть эрмитовыми?36. Проверьте являются ли эрмитовыми операторы:а) d/dx;h2 d 2в) −;2m dx 2б) id/dx;2($ = ψ 2 (1) 1 dV ;г) Аl∫ l r12 1)$ = T$ − e , где T$ = − h 2 / 2m ∇ 2 .д) Hr1937.
Выполните действия с операторами:23⎛ d⎞⎛ d 1⎞б) ⎜ + ⎟ ;в) ⎜ i + 2ϕ⎟ .a) ( d / dx + x) ;⎝ dx x ⎠⎝ ϕ⎠Решение. Чтобы выполнить действия с оператором, необходимо подействовать им на волновую функцию, произвести действия, а в результатеволновую функцию отбросить.2⎛ d⎞⎛ d⎞ ⎛ dψ⎞а)+ xψ ( x)⎟ =⎜ + x⎟ ψ ( x) = ⎜ + x⎟ ⎜⎝ dx⎠⎝ dx⎠ ⎝ dx⎠d 2 ψ ( x)dψ ( x ) d=+x+ ( x ψ ( x )) + x 2 ψ ( x ) =2dxdxdxdψ ( x )d 2 ψ ( x)dψ ( x )=+x+x+ x 2 ψ ( x) + ψ ( x) .2dxdxdx2dd2⎛ d⎞2⎜ + x⎟ = 2 + 2x + x + 1.⎝ dx⎠dxdx238.
Подействуйте оператором на функцию:∇ 2 sin 2x ⋅ e i 2 y cos ZРешение.⎛ ∂2∂2∂2∂2∂2 ⎞i2 yi2 y⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ sin 2x ⋅ e ⋅ cos z = e ⋅ cos z 2 sin 2x + sin 2x ⋅ cos z 2 ⋅∂y∂z ⎠∂x∂y⎝ ∂x∂2⋅ cos z = − e i 2 y ⋅ cos z( 4 sin 2x) − 4 sin 2x ⋅ e i 2 y ⋅ cos z −2∂z− sin 2x ⋅ e i 2 y ⋅ cos z = −9 sin 2x ⋅ e i 2 y ⋅ cos z .⋅ e i 2 y + sin 2xe i 2 y[]$ и ∇2 :39. Найдите операторы Мzа) в сферической системе координат;б) в цилиндрической системе координат.40. Оператор квадрата углового момента в сферической системе коор$ 2 = − h 2 ∇ 2 . Запишите оператор ∇ 2 в явном виде идинат имеет вид: Мθ ,ϕθ ,ϕ$ 2 на следующие функции :подействуйте оператором Мб) sin ϕ cos 2θ ;в) e iθ sin 2ϕ .а) e i2ϕ cos θ ;41. Найдите операторы переводящие одни функции в другие:а) ψ ( x) ⎯⎯b→ ψ ( x + a) = T$ ψ ( x) ;⎯b→ ψ (ϕ + α ) = T$ ψ (ϕ ) ;б) ψ (ϕ ) ⎯10в) ψ ( r ) ⎯⎯b → ψ ( r + a ) = T$ ψ ( r ) .Решение.в) Разложим ψ ( r + a ) в ряд в точке а = 0 .∞ a∇a∇ )a∇ )((( )ψr,a∇ψ(r + a) = ψ(r) +ψ(r) +ψ ( r )+...+ψ( r) = ∑()1!2!n!n =0 n !2где ( a∇)nnnn⎛∂∂∂⎞= ⎜ax+ ay+ az ⎟ .∂y∂z ⎠⎝ ∂x∞хп; тогда ψ ( r + a ) = e a∇ ψ ( r ); T$ = e a∇ , где е, возвеп=0 п !денная в степень оператора, подразумевает разложение степени в ряд.42.
Найдите коммутаторы:$ ,M$ ;$ 2,M$ ;$ .б) Mв) Mг) x$ , Mа) [ x$, p$ x ] ;xyzyУчтем, что е х = ∑[][[]][]$ ,∇2 = 0 .43. Покажите, что коммутатор Mz44. Коммутирует ли гамильтониан частицы с оператором импульса,оператором потенциальной энергии?3. ИЗМЕРЕНИЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ45. Сформулируйте постулат об измерении.46. Пусть частица находится в состоянии ψ. Какова должна быть этафункция, чтобы некоторая физическая величина в результате измерения недавала разброса значений?47. Как узнать теоретически, дает ли в состоянии ψ величина L разбросзначений?48.
Пусть при единичном измерении интересующей нас величины Lмы получили значение L=Lk. Можно ли на основании этого утверждать,что до этого измерения частица находилась в таком состоянии, что L равнялась Lk?49. Пусть частица находится в состоянии ψ(x,t), а функции ⎨ϕn(x)⎬ являются собственными функциями некоторого оператора L$ .
Запишем разложение:ψ ( x, t ) = ∑ c n ϕ n ( x ) .(1)n11Ответьте:а) зависят ли коэффициенты Сn от х?б) зависят ли коэффициенты Сn от t?в) какой физический смысл имеют коэффициенты Сn?г) как из (1) выразить Сn?д) каковы математические основы записи (1)?е) что является физической основой записи (1)?50. Частица находится в состоянии111ψ ( x, t ) =ϕ 1 ( x, t ) +ϕ 4 ( x, t ) +ϕ 6 ( x, t ) ,236где ϕ n ( x, t ) - собственные функции оператора L$ .Ответьте:а) какие величины будут получаться при измерении L?б) какова вероятность получить при измерении значения L1, L2, L3, L4,L5, L6, L7?51. Волновая функция частицы не удовлетворяет уравнениюL$ ψ ( x, t ) = Lψ ( x, t ) .Может ли в результате измерения получиться величина Lk? С какой вероятностью?$2 и М$ электрона в52.
Общей собственной функцией операторов Мzатоме является функция:ψ (ϕ ) = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ exp( 2iϕ ) .⎝2⎠Каковы следствия этого факта? Что это значит? Каков будет результат$2иМ$ ?измерения Мz53. Пусть величина в некотором состоянии может принимать два значения - L1 и L2. Будут ли вероятности их одинаковы?54. Можно ли одновременно точно измерить полную энергию частицыЕ и ее потенциальную энергию U? Кинетическую энергию Т и потенциальную U?55. Могут ли одновременно точные значения иметь величины Х и Рх?56.
Показать, что измерение координаты Х частиц с помощью узкойщели шириной в вносит неопределенность в их импульсы Δрх такую, чтоΔх · Δр ≥ h .Решение. Измерение координаты Х частиц путем сужения щели в приводит к дифракции частиц (рис. 3), при которой появляется неопределенность в импульсе Δрх вдоль оси Х: Δрх ≈ h, где Δλ - неопределенность вΔλ12дебройлевской длине волны частицы, имеющая порядок Δλ≈в. Чем меньшеширина щели, тем меньше Δλ и больше Δрх ≈ h . Неопределенность ввкоординате частицы Δλ≈в. Отсюда:Δ х · Δ рх ≈ h .Хр’Δрхϕр⎫⎬b⎭Рис. 3.57. Плоский поток частиц падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, образуя на экране дифракционную картину (рис.
4). Показать, что попытка определить, через какую щель прошла та или иная частица (например, с помощью введения индикатора И), приводит к разрушению дифракционной картины. Для простоты считать углы дифракции малыми.ХθzI(x)ИРис. 4.Решение. Чтобы установить, через какую щель прошла частица, ее Хкоордината должна быть определена (индикатором И) с погрешностьюΔх < d , где d - растояние между щелями. Это значит, что в соответствии с2принципом неопределенности измерение вносит неопределенность в Рх проекцию импульса Δрх ≥ 2h .
Но условие того, что дифракционная карdтина не разрушится, состоит в следующем: Δр′х << pΘ, где Δр′х ≈ h/p, λ 13длина де Бройлевской волны частицы, а Θ = λ/d. Таким образом, Δр′х<<h/p.А вносимая индикатором неопределенность - Δрх >> Δр′х , при которой дифракционная картина сохранилась бы.58. Сравнить скорость электрона на первой боровской орбите с неопределенностью скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атомапорядка 0,1 нм.Решение. Неопределенность в координате электрона Δх ≤ 1 = 0,1 нм,тогда ΔVх ≥ h/ml ≈ 106 м/с. Скорость же электрона найдем из условия Борао том, что в первой орбите электрона должна укладываться одна длинаволны, т. е. λ = 2πr = h/mv; V = h/mr ≅ 106 м/c, т. е.
V ≈ ΔV.59. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,1 нм.Решение.Δp 2h2T ≥ ΔE =; Δx ≤ l; Δp = h / l; ΔE ≥,2m2ml 2ΔE ≤ T min ≅6,6 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с ⋅ 6,6 ⋅ 10 −34 Джh2=≈2ml 2 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 кг ⋅ 0,1 ⋅ 10 −9 ⋅ 0,1 ⋅ 10 −9 м 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 Дж / Эв≈ 150 Эв.60. Электрон с кинетической энергией Т = 10 Эв локализован в областиразмером l = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скоростиэлектрона.61.
Оценить минимальную энергию Еmin гармонического осциллятора,имеющего массу m (потенциал U=kx2/2, частота ω=(k/m)1/2), используя соотношение неопределенности.62. Оценить с помощью соотношения неопределенности энергию связиэлектрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее расстояние электрона до ядра.p 2 e2− .Решение. Энергия электрона Е =2m rТак как r - размер области локализации электрона, для оценки р имеемр∼h/r.h2e2− .Е≅r2mr 2Найдем min этого выражения: (∂Е/∂r) = 0.o∂Eh2e2h2h22= − 3 + 2 = 0→= e ; rmin = 2 =a=0,529 A - радиус первой∂rmrrmrmeБоровской орбиты.14Есв ∼-mе4/2h2 = - 13,6 Эв.63. Оценить минимальную возможную энергию электронов в атоме Неи соответствующее расстояние от электрона до ядра.Решение.
Обозначим заряд ядра Ze, а размеры областей локализацииэлектронов - r1 и r2. Тогда для оценки импульсов имеем: p1 ∼ h/r1; p2 ∼ h/r2,так что кинетическая энергия электрона h2 ⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟.2m ⎝ r12 r22 ⎠Примечание:e2≈r1 − r2e2e2.≈r12 + r22 r1 + r2Для энергии взаимодействия между электронами примем поэтому величину порядка е2/(r1 + r2).h2 ⎛ 1 1 ⎞e21⎞2⎛ 1Е(r1 ; r2) =⎜ + ⎟ − Ze ⎜ + ⎟ +2m ⎝ r1 r2 ⎠⎝ r1 r2 ⎠ r1 + r2Считая r1 = r2 и используя (∂Е/∂r1) = 0, находим:rminh211 ⎞ me 4⎛=⋅; E min = −2⎜ Z − ⎟ 2 = −2( Z − 1 / 4) 13,6 Эв.⎝4 ⎠ 2hme 2 Z − 1464. Атом испустил фотон с длиной волны λ=600 нм за время τ=18-8 с.Оценить неопределенность Δх, с которой можно установить координатуфотона в направлении его движения, а также относительную неопределенность его длины волны.Решение.
Δх∼сτ = 3 м; (Δλ/λ) = сτ/λ; ΔЕΔt = hcτ/Δλ ≥ h; Δλ ≤ сτ.65. Монохроматический параллельный пучок электронов нормальнопадает на диафрагму с энергией Е=100 Эв, в которой узкая щель (рис. 5).На расстоянии L=100 см от диафрагмы расположен экран. Оцените ширину щели, при которой ширина изображения на экране будет минимальной.Решение. Пусть b - ширина щели, Δ′ - уширение, связанное с неопределенностью импульса Δру, вызванного дифракцией прохождения черезщель. Положив Δу ≈ b,p = 2mE ; Δр ≈ h/b,Δ′ = Lθ = L ⋅Δp hL,=ppb15Δ = Δ′ + b = b +Lh≈ 2b = 8,8 мкм,b 2mE∂ΔLh=0=1- 2;b=∂bb 2mEhL≈ 4,4 мкм.2mEΔ’ΔрЕрΔθ⎫⎬b⎭bLРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
