Э.Л. Кузин - Вопросы и задачи по курсу квантовой химии (1129479)
Текст из файла
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТЭ.Л. КузинВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ПОКУРСУКВАНТОВОЙ ХИМИИH$ Ψ = ?Калининград1997УДК 530.145+541Кузин Э.Л. Вопросы и задачи по курсу квантовой химии / Калинингр. ун-т. - Калининград, 1997. - 37 с.Даны вопросы, задачи, и образцы их решения по курсу “Квантовая механика иквантовая химия” для студентов химического факультета университета; может бытьиспользована студентами физического факультета.Печатается по решению редакционно-издательского Совета Калининградского государственного университета.© Калининградский государственныйуниверситет, 1997Э.Л. КузинВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ПО КУРСУ КВАНТОВОЙ ХИМИИЛицензия № 020345 от 14.01.1997 г.Редактор Л.Г.Ванцева.Оригинал-макет подготовлен Д.В. Голубиным.Подписано в печать 29.07.1997 г.
Формат 60×90 1/16.Бумага для множительных аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 2,5.Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 120 экз. Заказ.Калининградский государственный университет,236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14.СОДЕРЖАНИЕ1. Квантовая механика. Состояние микрочастицы ............................................ 42.
Операторы .......................................................................................................... 93. Измерения. Соотношения неопределенности ............................................... 114. Собственные значения и собственные функции операторов ...................... 175. Уравнение Шредингера. Изменение состояния со временем ..................... 186. Вырождение ..................................................................................................... 237. Матричная форма уравнений .........................................................................
238. Атом водорода ................................................................................................. 249. Теория возмущений ......................................................................................... 2610. Квантовая химия. Общие понятия ............................................................... 2611. Метод Хартри ................................................................................................. 2812. Метод Хартри-Фока ......................................................................................
2813. Приближения Хюккеля ................................................................................. 3014. Метод МО ЛКБФ. Метод Рутана ................................................................. 3015. Теория двухъядерных молекул .................................................................... 3116. π-электронное приближение ........................................................................ 3517. Гибридизация атомных орбиталей .............................................................. 3518.
Индексы реакционной способности ............................................................ 3631. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, СОСТОЯНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ1. Для чего потребовалось создать квантовую механику? Что такое микро- и макрообъект?2. Что такое прибор? Измерение? Какую роль измерение играет в квантовой механике?3. Что такое электрон? Протон? Нейтрон? Ядро атома? Почему понятиемикрочастицы в квантовой теории определяется на основе результатов измерений?4.
Почему квантовая теория пользуется вероятностным описанием поведения микрочастиц?5. Чем наблюдение микрообъекта принципиально отличается от наблюдения макрообъекта?6. Точечный источник S испускает монохроматические электроны, проникающие через точечное отверстие в диафрагме, находящейся на расстоянии а от S. Электроны падают на экран Э, расстояние которого додиафрагмы - В.
Исследуйте дифракционную картину на экране.Решение. Чтобы найти дифракционную картину, необходимо определить плотность вероятности попадания электронов в любую точку экранах. Обозначим эту плотность ρs1(х). Индексы S и 1 означают, что электроныпопали в точку х, пройдя от источника S через точку 1 (рис. 1):2ρs1 (х)=⏐ψs1 (х)⏐ .(1)XPLxSρs1(x)1abЭРис. 1.Так как из точечного источника электроны равновероятно испускаютсяво всех направлениях, движение электронов можно описать сферическойволной.4AiΨs ( r, t ) = r exp ( pr − Et ) .rhУ отверстия 1 имеем: t = t1; pr = pa; r = a .Ψs1 ( r, t ) =Аiexp ( pа − Et1 ) .аhВолновая функция электрона, попавшего в точку х:Ψs1 ( x) =Biexp ( pL − Et 2 ) ,Lhгде В = ψs1.То есть1⎞Аi⎛22 2exp ⎜⎜ pa + p( x + b ) − E( t1 + t 2 )⎟⎟ ,Ψs1 ( x) =h⎝аL⎠(2)где L=(x2+b2)1/2.
Подставляя (2) в (1), получимρs1 (х) =⏐ψs1 (х)⏐2 =(А2а2 в2 + х2).Максимум этого выражения в точке х=0. Кривая ρs1(х) приведена нарис. 1. Амплитуда А находится из условия нормировки.∞∫ a2∞2A dx(x2+b2)=πA22a b;A = ab iδe ,πгде δ∈R.7. Электроны от точечного монохроматического источника S проходятчерез два бесконечно малых отверстия, находящихся на одинаковых расстояниях от источника L. Расстояние от S до экрана с отверстиями - d, расстояние между отверстиями - b. Найти:1. Положение максимумов на экране Э, удаленном от экрана с отверстиями на расстояние L.
Нормировать волновую функцию конечного состояния.2. Определить λ пучка электронов, если расстояние между главным ипервым боковым максимумами - а.3. Как изменится картина, если ширину 2-й щели увеличить вдвое?4. Как изменится картина, если щели сблизить вдвое?5. Как изменится картина, если источник поднять на высоту h?5Решение. Чтобы найти интерференционную картину, необходимо состояние электрона, прошедшего через оба отверстия и попавшего в точку хэкрана, представить суперпозицией:(ψ s ( x) = ψ s1 ( x) + ψ s 2 ( x) ,)ρs ( x) = ψ *s1 ( x) + ψ *s 2 ( x) ( ψ s1 ( x) + ψ s 2 ( x)) .(1)(2)Если волновые функции (1) записать аналогично задаче 6 и подставитьв (2), получим:2A ⎡1 1⎤p2ρs ( x) =++l−lcos()21 ⎥.⎢L ⎣ l12 l 22 l1l 2h⎦При х«l; b«l; x≈b можно положить в амплитудах l≈l1≈l2 , но в фазе l2-l1,необходимо разницу учесть.⎡⎛l 2 = ⎢l 2 + ⎜ x +⎝⎢⎣12 2⎤⎛ b2 + x2 ⎞b⎞bx+ 0⎜⎟,⎟ ⎥ ≈l+2 ⎠ ⎥⎦2l⎝ 2l ⎠1⎤2⎡2 ⎛⎛ b2 + x2 ⎞b⎞bx+ 0⎜l1 = ⎢ l + ⎜ x − ⎟ ⎥ ≈ l −⎟,⎝⎠ll222⎝⎠⎥⎦⎢⎣l 2 − l1 = bx .l2Отсюда22A ⎛pbx ⎞ρs ( x) = 2 2 ⎜1 + cos⎟.hl ⎠Ll ⎝pbxpbx= 1;= 2πn , где n=±1, ±2,...hlhl2πh ln h ln λ ln.==1.
Положение максимумов x n =pbpbb2. При x1-x0=a λ=ав/l.3. В этом случае А2=2А1=2А. Интенсивность главного максимума возрастет в 9/4=2,25 раза.4. Интерференционная картина расширится в двое.5. Картина сместится вниз на величину hl/L.6. Найдем А из условия нормировки. Поскольку х«в, то при нормировании волновой функции имеет смысл интегрировать в приделах (-в, в).Тогда получимМаксимум ρs (x) соответствует cos6A =LlLl iδ; A=e , δ ∈R .2 b2 b8. Поток электронов падает на экран с двумя щелями 1 и 2 (рис.2). Вточке Р расположено входное отверстие счетчика.
Пусть ψ1 - волноваяфункция частицы, достигшей точки Р, если была открыта щель 1, а ψ2 - если была открыта только щель 2. Отношение ψ2 /ψ1 = η = 3,0. Если открытатолько щель 1, счетчик регистрирует N1 =100 электронов в секунду.Сколько электронов в секунду будет регистрировать счетчик, если:а) открыта только щель 2;б) открыты обе щели и в точке Р наблюдается интерференционныймаксимум;в) то же, что в пункте б), но в точке Р - минимум.1Р2Рис. 2.Решение.2⎛ψ ⎞Nа) 2 = ⎜ 2 ⎟ = η2 ; N 2 = η2 N1 = 900;N1 ⎝ ψ 1 ⎠ψ +ψб) N = ( 1 2 2 ) = 1 + 2ψ 2 + ⎛⎜ ψ 2 ⎞⎟ = 1 + 2η + η2 = (1 + η) 2 ; N = N1 (1 + η) 2 = 1600 ;22N1ψ1ψ1⎝ ψ1 ⎠в) N = N1 (1 − η) = 400 .9.
Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которойВ=0,1 мм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l=0,5 м, ширина центрального дифракционного максимума Δх=8 мкм.Ответ: ν=hl/mbΔх=4,5⋅105 м/с.10. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов V=25 в, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d=50 мкм.
Определить расстояние между соседними максимумами интерференционной картины на экране, расположенной на расстоянии l=1 м от щелей.Ответ: hl/2d√2meV≅2,5 мкм.2711. Проходя через отверстие, электроны попадают на один из трех участков экрана: А, В, или С. На участок В они попадают чаще, чем на участкиА или С.
Вы собираетесь пропустить через отверстие очередной электрон.Ответьте на вопросы:1. Можно ли предсказать, куда попадет электрон?2. В какой из участков - А, В или С вероятность попадания наибольшая?12. Сформулируйте постулат о состоянии квантовой системы. Что такоеволновая функция? От чего она зависит?13. Почему волновые свойства частиц обнаружены в явлениях атомногомасштаба? Можно ли в рамках квановой теории описывать движения макротел? Вселенной?14.
Что означают координаты x, y, z в волновой функции ψ (х, y, z). Чемэти координаты отличаются от координат частицы в макромире?15. Как в квантовой механике понимается классическое выражение“Частица движется”?16. Волновая функция позволяет получить полную информацию оквантовой системе.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
