Э.Л. Кузин - Вопросы и задачи по курсу квантовой химии (1129479), страница 3
Текст из файла (страница 3)
5.66. Проверить принцип неопределенности на примере основного состояния электрона в одноименной прямоугольной яме с бесконечнымистенками.67. Пользуясь принципом неопределенности, оценить энергию основного состояния иона Li+.68. Какая возникает неопределенность в энергии частицы массой м приее локализации в области размером l см?69. Частицы массой м движется в одномерной прямоугольной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Неопределенность в знании координаты частицы Δх = l, импульс же частиц известен точно из ее полнойэнергии. Не противоречит ли это неравенству Гейзенберга?70. Не противоречит ли принципу неопределенности состояние с нулевым моментом количества движения?71. Оценить величину кулоновского отталкивания электронов в атомеНе.72.
Два атома водорода сближаются из бесконечности на конечное расстояние. Как изменяются уровни в системе?4. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ16ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВd2$73. Пусть L = 2 . При каком значении Ln функция Ψn = sin nx являетсяdxрешением уравнения L$ Ψn = LnΨn ?Решение. Подействуем оператором L$ на Ψn .d ⎛ d⎞ dn cos nx = - n2 sin nx; Ln = - n2.⎜ sin nx⎟ =⎠ dxdx ⎝ dx$ предыдущей за74. Покажите, что собственной функцией оператора Lдачи является функция Ψ(x) = с1 sin nx + с2 cos nx, где с1 и с2 - произвольные постоянные.
Найдите эти коэффициенты и Ψ(x), используя граничныеусловия75. Найдите собственные функции операторов:$ = − ih ∂ ;$ = − ih ∂ .а) Hб) Mz∂t∂ϕ76. Найдите собственные значения и собственные функции оператора−1$ , если для оператора Н$ они равны En и Ψn .H77. Покажите, что две разные собственные функции эрмитовского оператора ортогональны.i1 h pr78. Покажите, что волна де Бройля ψ p ( r ) =e является собственL3⎛ h2 ⎞ 2$ной функцией оператора кинетической энергии частицы Т = −⎜ ⎟ ∇ .⎝ 2м ⎠79. Покажите, что волны де Бройля ψ p ( r ) и ψ − p ( r ) ортогональны, ноотносятся к одному и тому же собственному значению T = p 2 / 2m . Каковфизический смысл вырождения состояний оператора кинетической энергии?⎛ a b⎞80.
Эрмитов оператор задан в виде матрицы F = ⎜⎟ . Определите⎝ c d⎠$собственные значения и собственные функции оператора F.81. Покажите, что если оператор симметрии системы R$ оставляет неизменным гамильтониан, то состояния системы вырождены.82. Какой физический смысл имеет ортогональность собственныхфункций оператора? А нормированость?1783. В чем состоит физический смысл вырождения собственных функ$ 2?ций оператора М5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СО ВРЕМЕНЕМ84.
Чем отличается уравнение Шредингера от уравнения диффузии?85. Почему в левой части уравнения Шредингера стоит частная, а неполная производная по t ?86. Что называется полным набором величин? Сколько величин входитв полный набор?87. Чем отличается полный набор величин в квантовой механике отклассического набора полных величин?88. Что такое интеграл движения? Какая разница в истолковании интегралов движения в квантовой и классической механике?89.
Что понимают под стационарным состоянием в квантовой механике? Чем это толкование отличается от классического?90. Если стационарное состояние в квантовой механике меняется современем, почему оно называется стационарным?91. Как стационарное квантовое состояние зависит от времени?92. Выясните зависимость от времени средней величины <A> не зави$ , если состояние частицы:сящего от времени оператора Аа) нестационарно;б) стационарно.93. Запишите уравнение Шредингера в энергетическом представлении.$ Ψ = ЕΨ в L-представлении, ес94. Запишите уравнение Шредингера Hли спектр L$ дискретный (ϕ1, ϕ2,..., ϕn...).95. Запишите гамильтониан для:а) Li,б) Be,в) Li2,г) Ве 2+ ,е) Н2О.96.
Покажите, что гамильтониан двух изомеров одинаков.97. Покажите, что:а) гамильтониан молекулы не меняется при перестановке любой парычастиц молекулы;б) гамильтониан левой и правой частей уравнения химической реакцииодинаков.98. Покажите, что из уравнения Шредингера следует закон сохранениямассы.1899. Покажите, что из уравнения Шредингера следует закон сохраненияэлектрического заряда.100. Что в квантовой механике называют:а) потенциальной ямой?б) потенциальным барьером?в) потенциальной стенкой?101.
Напишите уравнение Шредингера для стационарных состоянийчастицы, имеющей энергию Е и движущейся в потенциале вида (рис. 6).Решение.h2 d 2ψв) −⋅+ U( x)ψ = Eψ , где U(x) = U0, при x < 0,2m dx 2U(x) = - U2 ·(1 - х/а) при 0 ≤ х ≤ а,U(x) = U1, при х > а;г) при том же уравнении U(x) = U0, при x < 0, х > 2(b + R),U(x) = 0, ïðè 0 ≤ х ≤ b, b + 2R ≤ х ≤ 2(b + R),U(x) = -( x − b − R ) 2 − R 2 , при b < x < b + 2R;и) в этой задаче можно обойтись одной переменной: расстоянием поокружности, когда можно обозначить, например, l=aθ.Тогда, учитывая чтов одномерном уравнении Шредингера от переменной l можно перейти кпеременной θ 2d 2 ψ 1 ∂ ψ (θ),= 2⋅dl 2r∂θ 2это уравнение можно записать так:2h 2 d ψ ( θ)−⋅+ U ( r ) Ψ ( θ ) = EΨ ( θ ) ,2mr 2dθ 2U( r ) = 0, п ри х < r, а 0 ≤ θ ≤ 2π.U ( r ) = ∞, п р и х ≥ r102.
Обосновать качественно вид решений уравнения Шредингера дляпотенциалов предыдущей задачи. Чем отличаются решения уравненияШредингера для систем а-г от уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.103. Придумайте одномерный потенциал, отличный от а-и задачи 101, изапишите для него уравнение Шредингера.где19а) U(x)б) U(x)UoUoU1EОEaXв) U(x)OaXг) U(x)UoUoUoR>bU1EbOabXORX-U2д)U(x)Uoе)U(x)U1EEbROж)aXU(x)OXз)U(x)U1UoUoEEOaX-aU(x)и) ∞O rXРис. 6.OaX104. Что такое условия сшивания для волновой функции и каков их физический смысл? Запишите условия сшивания для волновой функции задачи 101 (и).105. Какие решения временного уравнения Шредингера называют стационарными? Покажите, что такие решения получаются в том случае, когда U не зависит от времени явно.106.
Как изменится волновая функция Ψ(х, t), описывающая стационарные состояния, если изменить начало отсчета потенциальной энергии нанекоторую величину ΔU?107. Найдите решения временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом р в положительном направленииоси Х.108. То же, что и в предыдущей задаче, но частица движется с импульсом р в произвольном направлении.109. Покажите, что энергия свободно движущейся частицы можетиметь любые значения (непрерывный спектр).110.
Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Покажите, чтособственные значения энергии частицы и ее нормированные собственныефункции (0 < x < l) имеют вид:En =n 2h2π 2nπx2;Ψx=sin, n = 1,2,...()nll2ml 2Решение. Уравнение Шредингера внутри ямы имеет вид:()− h 2 / 2m ψ ′′( х) = Еψ ( х) или ψ ′′( x) + k 2 ψ ( x) = 0 ,(1)где k 2 = 2mE / h 2 = p 2 / h 2 . Решение уравнения (1) имеет видψ ( x) = C1e ikx + C 2 e − ikx .Коэффициенты С1 и С2 находим из граничных условий: ψ(0)=0; ψ(l)=0.Из первого граничного условия получаем С1 = -С2 и ψ(х)=2i С1 sinkx; извторого граничного условия имеем sinkl=0, kl=nπ, где n=±1,±2,...
Значенияn=0 отбрасываем, так как при этом значении ψ(х) тождественно равно нулю во всех точках внутри ямы, что соответствует отсутствию такого состояния.k=nπ/l ; ψn(x) = csin(nπx/l) .Здесь мы воспользовались принципом суперпозиции, умножив Ψ(х) напостоянное число -0,5i. Коэффициент С находим из условия нормировки:21C2l∫ sin02nπxdx=1, откуда С = 2 / l , а из условия 2mE n / h 2 = n 2 π 2 / l 2l() ()n 2π 2h2.2ml 2111. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию Е частицы в стационарном состоянии:а) описываемом волновой функцией ψ ≈ sin kx , где k - заданная постоянная, х - расстояние от одного края ямы;б) если ширина ямы l и число узлов волновой функции Ψ(х) равно N.112.
Частица находится в одномерной потенциальной прямоугольнойяме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найдите нормированные ψ-функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчетакоординаты х в середине ямы.113. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальнойяме с бесконечно высокими стенками. Найдите:а) массу частицы, если ширина ямы l и разность энергий 3-го и 2-гоэнергетических уровней равна ΔЕ;б) квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалыэнергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся какη:1, где η=1,4.114. Частица массы m находится в основном состоянии в одномернойпотенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найдите:а) силу давления, которую оказывает частица на стенку;б) работу, которую нужно совершить, чтобы медленно сжать яму в ηраз.115. Частица находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками.
Найдите вероятность пребывания частицы в области l/3 < x < 2l/3.116. Частица массы m находится в основном состоянии в одномернойпрямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.Максимальное значении плотности вероятности местонахождения частицы равно Pm. Найдите ширину l ямы и энергию Е частицы в данном состоянии.117.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
