И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Доказать следующие коммутационные соотношения: а) (А, Й+С]=(А, Й]+(А, С]; 6) ~А, Йс]=(А, Й]с+Й(А, с]. 3.7. Доказать, что если операторы А и В коммутнруют, то: а) (А+Й)2=А2+2АЙ+Йз; (А+Й)(А — Й)=А2 — В', 6) ((А+Й), (А — в)]=о, ЗЛ).
Оператор Аз=Ах+А',. Доказать, что если операторы А, и А, коммутируют с оператором В, то с ним коммутирует и оператор А'. 3.9. Доказать, что если коммутатор (А, Й]=1, то: а) (А, В2]=2В; 6) (А, В']=ЗЙ2; в) (А2. Йх]=2(АЙ-ВАЙА). 3.10. Проверить следующие равенства для коммутаторов: а) ~х, р"„]=16, ~х, р" ]=О, ~рх, р ]=О; 6) Их) р.]=16,,~ Ых) Р']=216,— ~р.+й' —,',27 в) ) хх [х рх )]= — 4йхх. Здесь 7'(х) — произвольная функция координаты. 37 3.11. Проверить следующие правила коммутации для гамильтониана Й в потенциальном поле ьз'(х): а) )Й, х]= — -- р„; б) ~Й, р„)=16 —; ,) ГЙ, р~1=2~Ь' — '-~ ~м — ' — '. 3.12. Оператор А коммутирует с операторами В и С. Можно ли отсюда заключить, что операторы В и С коммутативны? 3.13.
Доказать следующие теоремы: а) если операторы А и В имеют общие собственные функции, то такие операторы коммутируют; б) если операторы А и В коммутируют, то они имеют общие собственные функции (доказательство провести для случая, когда вырождение отсутствует). 3.14. Найти общую собственную функцию следуюших операторов: а) х и р,; б) р„, ру и р"„ в) р"„ и ра. 3.15. В некотором состоянии Че„система имее~ определенное значение физической величины А. Имеет ли в этом состоянии определенное значение также и величина В, если соответствующие им опера. горы А и В коммутативныу ЗЛб.
Доказать. что если оператор А эрмитов, то его собственные значения вещественны. 3.17. Доказать эрмиговость следующих операторов: а) р"„; б) хр„. Указание; иметь в виду, что на бесконечности волновые функции и их производные обранзаются в нуль. ЗЛ8. Воспользовавшись эрмитовостью оператора р„и указанием к предыдущей задаче, доказать эрмитовость операторов: а) р,'.; б) Й. ЗЛ9. Доказат ь, что если операторы А и В эрмитовы и коммутирующие, то оператор А В эрмитов. 3.20. Доказать, что если оператор А эрмитов, то и оператор А" также эрмитов, где и — -целое положительное.
3.21. Доказать, что если операторы А н В эрмитовы, то операторы А+В и АВ+ВА также эрмнтовы. 3.22. Доказать, что если операторы А и В эрмитовы и некоммутирующие, то оператор: а) )А, В1 не эрмитов; б) ~ ~А, В) эрмитов. 3.23. Наити собственные значения и нормированные собственные функции операторов: а) Х„б) Е„а. зя 3.24.
Найти собственные значения оператора Х г, соответствующие его собственной функции Ц9, тр) = = А (сов 9+ 2 айп 9 сов <р). 3.25. Доказать„что оператор Кз эрмитов. Доказательство провести; а) в полярных координатах; 6) в декартовых координатах. 3.26. Доказать эрмитовость оператора Х', имея в виду, что операторы Х„, Хт и Х, эрмитовы. 3.27. Проверить следуютцие правила коммутации: а) ) х, 1.„] = 0; 6) ~у, Х,] = — Йг; н) ~.-, 1.„] = Й1ь 3.28.
Доказать следующие правила коммутации: а) )г,„, р,]=0; 6) ) а,„, рД=Йр,; в) )г,„р,]= — 17трт. 3.29. С помощью правил коммутации, приведенных в предыдущей задаче, показать, что: Г« -,г] '0; 6) Р«„, г]=0 ) Р.г г]=0. 3.30. Доказать, что оператор Е коммутирует с оператором кинетической энергии К. 3.31. Проверить следуюгцие правила коммутации: а) ~Х„, ьт]=Й).,; 6) )г.т, Е,]=1ЙЕ; в) [Х„Х ]=Их,т 3,32. С помощью правил коммутации приведенных в предыдущей задаче показать, что оператор г,г коммутирует с операторами Е„, Ет и г'..
'3.33. Модель пространственного ротатора — — это частица с массой р, движущаяся все время на одном и том же расстоянии «о от центра. Найти собственные значения энергии такого ротатора, считая известными собственные значения оператора Е,г. Средние значения и вероятности 3.34. Доказать, что если физическая величина А описывается эрмитовым оператором А, то: а) ее среднее значение вещественно; 6) среднее значение квадрата этой величины (Аг) = =] )АФ~ 6); 3.35. Показать для одномерного случая, что ( р„) = — ~) 1 ф — — — фа — ) с1х.
Й ) г дф* с1ф1 2)1 дк дх) 3.36. Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее значение проекции импульса частицы равно нулю. Указание: воспользоватьсв выражением оператора р„через коммутатор операторов т) в л 1см. задачу 3.11, а). 3.37. Найти среднюю кинетическую энергию частицы в од- номерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно 39 непроницаемыми стенками (0(х(!), если частица находится в состоянии: а) з(з(х)=А51пз(кх1!); б) з(з(х)=А.х(1 — х). 3.38.
Вычисли~ь средние значения кинетической и потенци- альной энергий квантового осциллятора с частотой со в ос- новном состоянии з(з(х)=А ехр( — азха), где из=к!2лш, к — по- стоянная (Н к их з ! 2). ЗЗ9. В некоторый момент частица находится в состоянии з(т(х)=А ехр(1!сх — х'1а'), где А и а — постоянные. Найти средние значения: а) координаты х; б) проекции импульса р,. 3.40. Вычислить средние значения ((Лх)з) и ((Лрк) ) и их произведение: а) для частицы, находящейся на 1-м уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроница- емыми стенками (0(х(1); б) в основном состоянии осциллятора, з(т(х)=А ехр( — и'хз).
3.41. Определить среднее значение физической величины, описываемой оператором 1,з в состоянии т)з(ер)=-А гй'<р. 3.42. Вычислить средние значения ((Лзр) ) и ((ЛЕ,) ) и ик произведение для системы, находящейся в состоянии з(т(тр)= =А 51п зр. 3.43. Показать, что в состоянии з(т, где оператор Х, имеет определенное собственное значение, средние значения (Е,) и (! ) равны нулю.
Указание воспользоваться коммутационными соотношениями из задачи 3.31. ЗА4. Вычисли гь среднее значение квадрата момен~а импульса в состоянии з(з(9, цз) = А сйп 9со5 тр. 3.45. Возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось равны пзл, где и=1, ! — 1, ..., — 1. Имея в виду, что зти проекции равновероятны и оси равноправны, показать: в состоянии с определенным значением 1 среднее значение квадрата момента импульса (!.')=аз!(1+1). 3.46. Доказать„что собственные функции зрз и з(зз зрмитова оператора А, принадлежащие различным собственным значениям А, н А, дискретного спектра, ортогональны. 3.47. Непосредственным вычислением убедиться в ортогональности собственных функций: а) оператора Н для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками; б) оператора К,.
3.48. Система находится в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией з(т (х), которую можно разложить по собственным функциям зрмитова оператора А, ео т. е. ф(х)=~с,ф„(х), Считая функции ф, нормированными на единицу: а) получить выражение, определяющее коэффициенты с„ б) показать, что среднее значение физической величины (А)=2 А„~с,)~, где А,— -собственные значения оператора А. Каков физический смысл величин ~се~ ? 3.49.
В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (О < х(!) находится частица в состоянии ф (х). Определить вероятность ее пребывания: а) в основном состоянии, если ф(х)=А ып'(ях/!); б) на л-м уровне, если ф(х)=Ах(1 —.х). Вычислить значения вероятностей для первых трех уровней. 3.50, Определить возможные собственные значения оператора 1„и их вероятности для системы, находящейся в состоянии: а) ф(<р)=А а)азу; б) ф(<р)=-А(1+а1п<р). 3.51. Имея в виду, что собственные функции оператора волнового числа /г (к=/1/л) есть фг(х)=(1/ /2я)ец", найти распределение вероятностей различных значений волнового числа /г для частицы на и-м уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ! с абсолютно непроницаемыми стенками, Изменение во времени состояния 3.52.
Выяснить, является ли волновая функция, представляющая собой суперпозицию стационарных состояний, Ч'(л, г) = = 2 ф„(х) ехр(1со„!), решением временного и стационарного уравнений Шредингера? 3.53. Частица массы ьч находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ! с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти волновую функцию частицы в момент 1, если в начальный момент ~=0 она имела вид Ч'(х, О) = Ах(1 — х). 3.54. Плоским ротатором называют систему из двух жестко связанных частиц, вращающуюся в плоскости вокруг своего центра масс, Оператор энергии такого ротатора имеет вид О=,(Ьз/21)дз/доз, где 1--.
момент инерции системы. Полагая, что в начальный момент волновая функция ротатора имела вид Ф(р, 0)=А совку, найти эту функцию в момент 3.55. Вычислив с помощью временнбго уравнения Шредингера производную по времени от среднего значения некоторой физической величины А, изображаемой оператором А, показать, что: 3.56. Доказать операторные равенства: 3.57. Доказать справедливость следующих уравнений движения в операторной форме; а) г)х(г)г=р ггл; 6) г)р„,'г)г= — Лl(дх. 3.5в. Согласно теореме Эренфеста, средние значения механических величин подчиняются законам классической механики. Доказать, что при движении частицы в потенциальном поле Цх): а) (г)х~пг)=(р„),~пг; б) (г)р„,~г)г)= — (Л/?гх).
3.59. Доказать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле У(х), выполняются следующие операторные равенства: д 2 ! а) — (х-2) = — (хр, +р„х); й т д . р) дгг 6) — (хр„) = — — х —. й' " т дх' /. ддг дтг. в) — (р )= — р„— „+ —.р, й ( дх дх 3.60. Показать, что производная по времени от оператора равна оператору проекции момента внешних сил, т.
е. д - - ? д0 дГГ) — Е„=М„= — ( у — — г — ~. й " " ( дх ду)' 3.61. Частица находится в состоянии. описываемом собственной функцией ф оператора А, когорый не зависит от времени явно. Показать, что соответствующее собственное значение А этого оператора будет сохраняться во времени, если оператор А коммутирует с гамильтонианом Й. 3.62.
Какие из механических величин (энергия Е, проекции импульса, проекции и квадрат момента импульса) сохраняются при движении частицы: а) в отсутствие поля (свободное движение)„ 6) в однородном потенциальном поле Ц=)=и-, где а— постоянная; в) в центрально-симметричном потенциалыюм поле У(г); г) в однородном переменном поле Цг, г)=и(г)к? 3.63. Частица находится в некотором состоянии Ч'(х, г), причем Ч'(х, г) не является собственной функцией оператора А, Зная, что оператор А не зависит от времени явно и коммутирует с гамильтонианом Й, показать: а) среднее значение величины А сохраняется; 6) вероятности определенных значений величины А также не зависят от времени. 12 Четность 3.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
