И.Е. Иродов - Задачи по квантовой физике (1129339), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.40. Электрон с кинетической энергией К= 1О эВ локализован в области размером 1= 1,0 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона. 2.41. Частица массы гп локализована в области размером Оценить кинетическую энергию К частицы, при которой ее относительная неопределенность будет порядка 0,01. 2.42. Прямолинейная траектория частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку малых капелек тумана, размер 2б которых Фж1 мкм.
Можно ли, наблюдая след электрона с кинетической энергией К=1 кэВ, обнаружить отклонение в его движении от классических законов? 2.43. Ускоряющее напряжение на электронно-лучевой трубке аж 10 кВ. Расстояние от электронной пушки до экрана 1=20 см. Оценить неопределенность координаты электрона на экране, если след электронного пучка на экране имеет диаметр с~=0,5 мм.
2А4. Атом испустил фотон с длиной волны 1=0,58 мкм за время т 10 "с. Оценить неопределенность Лх, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения, а также относительную неопределенность его длины волны. 2.45. Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной 1 с бесконечно высокими стенками. Оценить силу давления частицы на стенки при минимально возможном значении ее энергии, которая равна Е„„„.
2.4б. Оценить минимально возможную энергию Е частицы массы т, движущейся в одномерном потенциальном поле У(х)е их~~2 (гармонический осциллятор с частотой аз= 'х7т). 2.47. Оценить с помощью соотношения неопределенностей энергию связи электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее расстояние электрона от ядра. 2.48. Оценить минимально возможную энергию электронов в атоме гелия и соответствующее расстояние электронов от ядра.
2.49. Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределенность кинетической энергии порядка 1,6 10 ~. Оценить, во сколько раз неопределенность координаты такой частицы больше ее дебройлевской длины волны. 2.50. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью в=1,2 км,~с падает нормально на диафрагму с узкой щелью, за которой на расстоянии 1=!00 ем расположен экран.
Оценить ширину щели, при которой эффективная ширина изображения на экране будет минимальной. Уравнение Шредингера 2,51. Какие решения временного уравнения Шредингера называют стационарными? Показать, что такие решения получаются в том случае, когда У не зависит от времени явно.
2.52. Как изменится полная волновая функция Ф 1х, ~), описывающая стационарные состояния, если изменить начало отсчета потенциальной энергии на некоторую величину Ло'? 2.53, Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом р в положительном направлении оси Х. 27 2.54. То же, что в предыдущей задаче, но частица движется с импульсом р в произвольном направлении. 2.55. Показать, что энергия свободно движущейся частицы может иметь любые значения (непрерывный спектр). 2.56. Установить связь между волновыми функциями Ч'(х, ~) и Ч" (х', г), характеризующими свободное движение нерелятивистской частицы массы т в инерциальных К- и К'-снстемах отсчета, если К'-система движется со скоростью к в положительном направлении оси Х К-системы.
Можно считать для простоты, что скорость частицы в К'-системе совпадает по направлению с тр. 2.57. Частица массы т находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 1 с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции (О <х <1) имеют вид Е =(к~Ьз~2т1Р)пз, ф„(х)= '2(! яп(клх~1), и=1, 2, .... 2.58, Частица массы и находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Найти энергию Е частицы в стационарном состоянии: а) описываемом волновой функцией фжяп)гх, где 1г — заданная постоянная, х — расстояние от одного края ямы; б) если ширина ямы 1 и число узлов волновой функции ф(х равно У. .59. Частица находится в одномерной потенциальной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы 1. Найти нормированные ф-функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы. 2.60.
Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти: а) массу частицы, если ширина ямы 1 и разность энергий 3-го и 2-го энергетических уровней равна ЛЕ; б) квантовое число л энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как т1:1, где Ч = 1,4. 2.61.
Частица массы т находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти число ой1 энергетических уровней в интервале энергий (Е, Е+дЕ), если уровни расположены весьма густо. 2.62. Частица массы и находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной 1 с бесконечно высокими стенками. Найти: а) силу давления, которую оказывает частица на стенку; б) работу, которую необходимо совершить, чтобы медленно сжать яму в т1 раз. 28 2.63.
Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ( с бесконечно высокими стенками. Найти вероятность пребывания частицы в области ! ~3 < х < 21/3. 2.64. Частица массы т находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно Р . Найти ширину 1 ямы и энергию Е часгицы в данном состоянии.
2.65. Частица массы т находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты х, у частицы лежат в пределах 0 <х «а, 0<у < Ь, где а и Ь вЂ” стороны ямы. Найти собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы. 2.66. Определить в условиях предыдущей задачи вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области О < х < а~З, О <у < Ь~З. 2.67. Частица массы т находится в двумерной квадратной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равна Найти значения энергии Е частицы для первых четырех уровней.
2.68, Частица массы т находится в основном состоянии в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти энергию Е частицы, если максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно Р„. 2.69. Воспользовавшись условием и решением задачи 2.67, найти число состояний частицы в интервале энергий (Е, Е+г) Е), если энергетические уровни расположены весьма густо. 2.70. Частица массы т находится в трехмерной прямоугольной гютенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.
Длина ребер ямы равна а, Ь, с. Найти собственные значения энергии частицы. 2.71. Частица массы т находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти: а) разность энергий 3-го и 4-го уровней, если длина ребра ямы равна б) число состояний, соответствующих 6-му уровню. 2.72. Воспользовавшись условием и решением задачи 2.70, найти число состояний частицы в интервале энергий (Е, Е+г)Е), если уровни расположены весьма густо.
2.73. Показать, что в точке, где потенциальная энергия частицы У(х) имеет конечный разрыв, волновая функция остается гладкой, т. е. ее первая производная по координате непрерывна. 29 2.74. Частица массы гп находится в одномерном потенциальном поле Цх), показанном на рис. 2.5, где ЦО) = со. Найти: а) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области Е < Ус; привести его к виду с ! х ! Й! .!Й! !и!2 !'с,, != !2 Г!ъ. Рис. 2.5 Показать с помощью графического реше- ния этого уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр; б) минимальные значения величины !' Ус, при которых появляются первый и л-й дискретные уровни. Сколько уровней содержит яма, у которой Я3 =75Й ~т? 2.75.
В предыдущей задаче энергия единственного уровня Е= (/р/2. Воспользовавшись решением этой задачи, определить: а) значение величины (2 с7 у такой ямы; б) наиболее вероятное значение кооптдинаты частицы; изобразить примерный график функции Ч! (х); в) вероятность нахождения частицы в области х > !. 2.76. Частица массы т находится в одномерной потенциальной яме, конфигурация которой показана на рис. 2.6, где У(2!)=со.
Показать, что при Е) с7 уравнение, определяющее возможные значения энергии Е, имеет вид 'с2 Фс! ~ 'с! ~с 2~ где !с!= с! 2тЕ(й, 7ст= /~т(Е-Юс) (Ъ. 2.77. Частица массы т находится в одномерной потенциальной яме, описанной в предыдущей задаче (см. рис. 2.6). Если энергия частицы Е < Ц, то уравнение, определяющее возможные значения Е, имеет вид и ф!с!'= — /с ~Ьи!', Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
