QM2 (1129336), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти явный вид полных волновых функций состоянийсо значением главного квантового числа n = 2. Показать, что этифункции нормированы на единицу.Решение. При n = 2 имеется 4 различных состояния: n = 2, l = 0, m = 0(Ψ200 ); n = 2, l = 1, m = 1 (Ψ211 ); n = 2, l = 1, m = 0 (Ψ210 ); n = 2,l = 1, m = −1 (Ψ21−1 ). На основании (2.7) имеем:Ψ200 (r) = f20 (r)Y00 (θ, ϕ);Ψ21 ±1 (r) = f21 (r)Y1 ±1 (θ, ϕ);Ψ210 (r) = f21 (r)Y10 (θ, ϕ),)(2s)(2p)где, согласно (2.21),1f20 (r) = √2Za0 3/2ZrZrexp −1−;2a02a046(2.27) 3/21ZrZrZ.f21 (r) = √exp −2a0a02 6 a0Обратим внимание на то, что последние три функции отличаются только сферическими функциями, нормированными на единицу, согласно(В.6). Покажем теперь, что и радиальные части (2.27) также нормированы на единицу. Используя (2.27), получаем:2ZrZrr2 dr =1−exp −2a0a000Z1ZZrZ2 2 21 − r + 2 r r exp −=dr =2 a30 0a04a0a0Z111 2 −t1 ∞22! − 3! + · 4! = 1;t 1 − t + t e dt ==2 0424Z ∞Z ∞5 Z ∞Z11Zr2dr =f21(r)r2 dr =t4 e−t dt = 1.r4 exp −524aa24000 0}| 0 {zZ∞2f20(r)r2 dr1 Z3=2 a303 Z ∞Z∞4!В обоих случаях проводилась замена переменныхZr= t.a0Пример 2.7.
Непосредственным расчетом показать ортогональность волновых функций для 1s- и 2s-состояний водородоподобногоатома.Решение. Необходимо показать, что интеграл от произведения Ψ100 (r)и Ψ200 (r) равен нулю:ZZ ∞∗2f20 (r)f10 (r)r2 dr = 0.I = Ψ200 (r, θ, ϕ)Ψ100 (r, θ, ϕ)r dr sin θ dθ dϕ =03ZИспользуя (2.24), (2.27) и делая замену переменныхr = t, получа2a0ем:Z ∞3 Z ∞√ZZr3Zr1−exp −r2 dr =f20 (r)f10 (r)r2 dr = 2 3a2a02a000 0 Z∞√1818√t2 1 − t e−t dt =22 2! − · 6! = 0,=2732730что и требовалось доказать.Пример 2.8. Вычислить среднее значение r −1 в основном состоянииводородоподобного атома.47Решение.1 способ.Используя (2.24), имеем:ZZZ3 ∞Z ∞ −t2ZrZ−1hr i = 4 3dr =r exp −t e dt = .a0 0a0a0 0a02 способ.Воспользуемся теоремой вириала. Согласно этой теореме, 2T = N U ,где T и U — соответственно средняя кинетическая и потенциальнаяэнергии системы и предполагается U (r) ∼ r N .В атоме водорода U (r) = −Ze2 /r ∼ r−1 и теорема вириала принимает вид:2hT i = −hU i(2.28)в произвольном стационарном состоянии.В 1s-состоянии1 e2hT i + hU i = E1s = − Z 2 .2 a0(2.29)Решая уравнения (2.28) и (2.29) относительно hT i и hU i, получаем:hU i = −Ze2 hr−1 i = −Z 2e2,a0откуда hr −1 i =Z.a0Данный метод не требует непосредственного вычисления интегралов и удобен при рассмотрении возбужденных состояний.Пример 2.9.
Найти уровни энергии частицы массы µ в сферическойбесконечно глубокой потенциальной яме радиуса a.Решение. Потенциальная энергия в данной задаче имеет вид:(0,r 6 a;U (r) =+∞, r > a,т.е. поле центрально-симметрично. Поэтому достаточно решить уравнение (2.9). Так как потенциальная энергия имеет разрывный характер,решение уравнения (2.9) следует искать в видеR(r) = RI (r) для 0 6 r 6 a и R(r) = RII (r) для r > a.В связи с тем, что U (r) = ∞ при r > a, RII (r) ≡ 0, и уравнение(2.9) необходимо решать в области 0 6 r 6 a с U (r) = 0 и граничными48условиями RI (0) = 0 и RI (a) = 0.
Второе граничное условие следует изстандартных условий, а именно из условия непрерывности R(r) в точкеr = a. В результате для функции RI (r) получаем уравнение (2.17).Его решение найдено в примере 2.3. Необходимо лишь дополнительнопотребовать, чтобы оно обратилось в нуль в точке r = a.Финитный характер движения частицы приводит к квантованиюее энергетических уровней, соответствующих заданному орбитальномуквантовому числу l:2}2 Xnl,(2.30)Enl =2µa2где Xnl > 0 — n-й нуль сферической функции Бесселя jl (x):!r2mEjl (ka) = Jl+ 12a = 0.}2(2.31)— см. (Д.11); n = 1, 2, . .
. Значения Xnl табулированы. Заметим, чтосреди всех возможных значений Xnl , соответствующих различным парам (n, l), совпадающих нет. Таким образом, специфическое для кулоновского потенциала «случайное» вырождение в данном случае отсутствует.sin xВ частном случае l = 0 (s-состояние), учитывая, что j0 (x) =,xвместо (2.31) получаем уравнение sin(ka) = 0, откуда ka = πn (n == 1, 2, . .
.). Тогда спектр s-состояний имеет вид:Ens =π}2 2n2µa2(n = 1, 2, . . .)(n = 0 не удовлетворяет физической постановке задачи).Задачи для самостоятельного решения17. Найти hcos θi и hcos2 θi в s-состоянии пространственного ротатора.1(Ответ: 0, .)318. Найти hcos2 θi в p-состоянии пространственного ротатора с m =3 10, ±1. (Ответ: , .)5 519. Показать ортогональность водородных функций Ψ200 и Ψ210 , Ψ100и Ψ210 . Убедиться в неортогональности f20 (r) и f21 (r), f10 (r) и f21 (r).Объяснить причину.4920.
Найти среднее значение r n в 1s-состоянии водородоподобного атома(n + 2)! a0 n.)(n > −2). (Ответ:2n+1Z21. Найти среднее значение r n в 2s-состоянии водородоподобного атома1 a0 n 2(n > −2). (Ответ:(n + 3n + 4)(n + 2)!)8 Z22. Найти среднее значение r n в 2p-состоянии водородоподобного атома1 a0 n(n + 4)!)(n > −4).
(Ответ:24 Z23. Найти средние значения p2 и r−1 в произвольном стационарномсостоянии водородоподобного атома с главным квантовым числом n.Z 2 e2Z(Ответ: hp2 i = µ 2 ; hr−1 i = 2 .)n a0n a0Ze2 α24 . Найти дискретный спектр для электрона в поле U (r) = −+ 2.rrαµ1Z2e2.), где µl = 2(Ответ: Enl = −2 (n − µl )2 a0} (l + 12 )∗25∗ . Найти средний потенциал электростатического поля, создаваемоговодородоподобным ионом в 1s-состоянии, как функцию расстояния доточечного ядра с зарядом Z.
В чем состоит принципиальное отличиеслучая Z = 1 от Z > 1?Ответ: 22Z 2 2Z2ZrZe er + 1 exp −−ϕ(r) =−1−r +rra20a0a0Ze 2Ze2Zr−+ 1 exp −.a0a0a050Глава 3.Основы теории представлений3.1.Представление волновой функцииЗадание волновой функции Ψa (r) («a» — набор квантовых чисел) вконфигурационном пространстве [координата r в аргументе Ψa (r)] неявляется единственным. Фактически для данного состояния существенным является лишь набор квантовых чисел «a» («индекс состояния»).Сам же вид волновой функции Ψa (r) вторичен и представляет собойлишь «математическое изображение» данного состояния «a». ВместоΨa (r) для описания состояния «a» можно использовать коэффициенты ca (Gn ) разложения Ψa (r)XΨa (r) =ca (Gn )ΦGn (r)(3.1)nпо полной системе собственных функций ΦGn (r) любого эрмитова оператора Ĝ (ĜΦGn = Gn ΦGn ), действующего в том же пространстве,в котором определены функции Ψa (r).
Это следует из того, что между Ψa (r) и набором коэффициентов ca (Gn ) существует взаимно однозначное соответствие: задание ca (Gn ) однозначно определяет Ψa (r) поформуле (3.1), а знание Ψa (r) позволяет найти все ca (Gn ):ca (Gn ) =ZΦ∗Gn (r)Ψa (r) d3 r.(3.2)Упорядоченный набор ca (Gn ) называется волновой функцией состояния «a» в G-представлении. Величина |ca (Gn )|2 (т.е. квадрат модуляволновой функции в G-представлении) дает распределение вероятностей различных значений величины G в состоянии, характеризуемомнабором квантовых чисел «a».Отметим, что все сказанное здесь справедливо для оператора Ĝ какс дискретным, так и с непрерывным спектром.
В последнем случае Gnявляется непрерывной величиной, а суммирование в (3.1) заменяетсяинтегрированием:ZΨa (r) = ca (G)ΦG (r) dG;(3.3)51ca (G) =ZΦ∗G (r)Ψa (r) d3 r.(3.4)Рассмотрим теперь тот частный случай, когда Ψa (r) совпадает содной из собственных функций оператора Ĝ, например, ΦGm (r). Тогдаиз (3.2) следует, чтоZca (Gn ) = Φ∗Gn (r)ΦGm (r) d3 r = δGn Gm = δnm .(3.5)Таким образом, собственная функция оператора Ĝ в G-представленииимеет вид δ-символа (для дискретного спектра) и δ-функции (длянепрерывного спектра).Описание состояния с помощьюΨa (r) называется координатнымпредставлением (r-представлением).Если в качестве оператора Ĝ используется оператор импульса p̂,преобразование (3.2) дает волновую функцию состояния «a» вимпульсномпредставлении(pпредставлении).Напомним,чтоспектр оператора p вещественныйРис.
3.1.и непрерывный, а произвольномусобственному значению p соответствует собственная функцияi1(3.6)Φp (r) =3 exp } pr .(2π}) /2Подставляя (3.6) в (3.4), получим формулу перехода от координатногопредставления к импульсному:ZZ1i∗3ca (p) = Φp (r)Ψa (r) d r =exp − pr Ψa (r) d3 r. (3.7)3/2}(2π})Аргумент p этой функции является непрерывной величиной. Видно,что переход от координатного представления к импульсному является,по сути дела, известным преобразованием Фурье волновой функции.Если оператором Ĝ является гамильтониан Ĥ (предполагается, чтоон не зависит от времени), то преобразование (3.2) дает энергетическоепредставление волновой функции (E-представление).Пример 3.1. Волновой пакет задается функцией:x21exp ik0 x − 2 .Ψ(x) = 1/2 1/42x0x0 π52Найти импульсное представление данного состояния (одномерныйслучай).
Получить распределение по импульсам в пакете.Решение. Используем формулу (3.6). Напомним, что в одномерном слу-3-1чае множитель (2π}) /2 заменяется на (2π}) /2 :x2ic(p) =exp − px + ik0 x − 2 dx =11}2x0(2π}) /2 x0/2 π 1/4 −∞ Z +∞p1x2exp −i=− k0 x − 2 dx.13}2x0(2}x0 ) /2 π /4 −∞11Z+∞(3.8)Выделим в показателе экспоненты (3.8) полный квадрат:op1 n 2x22 p=− k0 x = 2 x + 2ixx0− k0+i2x20}2x0}ppp22 1= 2 x2 + 2ixx20=− k0 − x40− k0 + x40− k02x0}}}o2 x2 p21 n02 p+− k0− k0 .
(3.9)= 2 x + ix02x0}2 }Заметим также, что при произвольной комплексной константе α0Z +∞Z +∞√2−(t+α0 )2ee−t dt = π.dt =(3.10)−∞−∞Подставляя (3.9) в (3.8) и учитывая (3.10), получаем импульсноепредставление волнового пакета: 2r2 x0 px0√ exp −− k0c(p) =2 }} π(рекомендуем самостоятельно проделать соответствующие выкладки).Распределение по импульсам 2x0x022w(p) = |c(p)| = √ exp − 2 (p − }k0 )}} π}2имеет гауссову форму с параметрами }k0 (средний импульс) и 2 (ши2x0рина). График показан на рис.
3.1. Предлагаем самостоятельно убеZ +∞w(p) dp = 1.диться в выполнении условия нормировки−∞53Пример 3.2. Найти распределение по импульсам в основном состоянии водородоподобного иона с зарядом Z.Решение. Волновая функция основного состояния (1s) в координатномпредставлении имеет видsZ|r|Z3,(3.11)exp −Ψ1s (r) =πa30a0где a0 — боровский радиус. Подставляя (3.11) в (3.7), получим волновую функцию 1s-состояния в импульсном представлении: 3/2 ZZ1iZ|r|c1s (p) = 2(3.12)− pr d3 r.exp −π2}a0a0}Для вычисления интеграла (3.12) направим ось Oz вдоль вектораp и перейдем в сферическую систему координат (в этом случае угол θотсчитывается от вектора p и pr = pr cos θ, d3 r = r2 dr sin θ dθ dϕ):1c1s (p) = 2πZ2}a0 3/2 ZZr×r exp −a000Z 2πi× exp − pr cos θ sin θ dθ drdϕ.}0∞Zπ2(3.13)Последний интеграл в (3.13) равен 2π. Интегрирование по углу θ осуществляется с использованием замены cos θ = t (при этом sin θ dθ == −dt; cos 0 = 1; cos π = −1):Z 1Z πi} −ipr/}i− }i prtipr/}dt =ee−e;exp − pr cos θ sin θ dθ =}pr−10 −2Z ∞iiZZr exp −∓ p r dr =∓ p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
