QM2 (1129336), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Примером служит основноесостояние осциллятора.Эффектами Штарка называются изменения, происходящие со связанной заряженной системой под воздействием внешнего электрического поля. Ниже мы рассмотрим эффект Штарка для заряженногоосциллятора в постоянном электрическом поле.Пример 1.11. Масса осциллятора m, частота ω, заряд e. На осциллятор действует постоянное однородное электрическое поле напряженности E, направленное вдоль оси Ox.
Найти энергии стационарныхсостояний и соответствующие им волновые функции.Решение. Уравнение Шредингера для осциллятора в электрическом поле1}2 d2 ΨE (x)+mω 2 x2 − eEx ΨE (x) = EΨE (x)(1.61)−22mdx226V(x)E=0V(x)E>0eEmw 2x002 2- eE22mwxРис. 1.10.можно упростить, если в потенциальной энергии выделить полныйквадрат:211eEe2 E 22 22mω x − eEx = mω x −.(1.62)−22mω 22mω 2После заменe2 E 2eE0x→X =x−; E→E =E+;mω 22mω 2мы приходим к уравнениюΨE (x) → ΦE 0 (X) (1.63)}2 d2 ΦE 0 (X) 1+ mω 2 X 2 ΦE 0 (X) = E 0 ΦE 0 (X),−2mdX 22(1.64)по своей структуре полностью совпадающему с уравнением Шредингера (1.51) для такого же осциллятора без поля.
Причину данного феномена легко понять, проанализировав (1.62): потенциальная криваяосциллятора под действием внешнего электрического поля претерпевает лишь параллельный перенос (рис. 1.10); форма кривой, определяющая частоту, остается неизменной. Таким образом, у осцилляторасмещается положение равновесия и начало отсчета энергии. Это целиком отражается в заменах (1.63), но не в конечном уравнении (1.64) играничных условиях к нему (вспомните их).Решение (1.64) легко строится на основании (1.52), (1.53) и (1.63):1e2 E 2;(1.65)En = }ω n +−22mω 2!eEx−12mω,n = 0, 1, .
. .(1.66)Ψn (x) = √ Ψ(osc)nx0x027Эффект Штарка для осциллятора в постоянном поле заключается всмещении всех энергетических уровней вниз на одинаковую величину,не исчезающую в классическом пределе.Ниже рассматривается случай двумерного осциллятора, имеющегов главных осях потенциальную энергиюV (x, y) =12 2m(ωXx + ωY2 y 2 ).2(1.67)Пример 1.12. Масса двумерного осциллятора m, часто́ты в главныхосях ωX , ωY (см. (1.67)).
Найти энергии стационарных состояний исоответствующие им волновые функции. Рассмотреть отдельно случай кругового осциллятора: ωX = ωY = ω.Решение. Уравнение Шредингера с потенциалом (1.67) 2}2∂21∂2 2−+Ψ(x,y)+m(ωXx + ωY2 y 2 )ΨE (x, y) = EΨE (x, y)E222m ∂x∂y2(1.68)допускает разделение переменных в декартовых координатах:ΨE (x, y) = ΨX (x)ΨY (y);E = EX + EY ;}2−2m}2−2m1d22 2Ψ(x)+mωXx ΨX (x) = EX ΨX (x);X2dx2d21Ψ(y)+mωY2 y 2 ΨY (y) = EY ΨY (y).Y2dy2Очевидно, что задача двумерного осциллятора сводится теперь к задаче двух независимых одномерных осцилляторов.
Поэтому сразу можнозаписать ее решение:11EnX nY = }ωX nX ++ }ωY nY +, nX , nY = 0, 1, . . . ; (1.69)22 xy1(osc)(osc)Ψ nXΨ nY,(1.70)ΨnX nY (x, y) = √x 0 y0x0y0гдеx0 =s};mωXy0 =Рассмотрим два случая.28r}.mωYТаблица 1.1n012...nX ; n Y0; 00; 10; 2...1; 01; 1...2; 0...1. ωX 6= ωY . Каждому значению энергии соответствует единственноесостояние, т.е. энергетический спектр будет невырожденным.2. ωX = ωY = ω. В случае кругового осциллятора x0 = y0 , а соотношения (1.69), (1.70) преобразуются:En = }ω(n + 1),n = nX + nY , nX , nY = 0, 1, . .
. ; 1 (osc) xyΨnX nY (x, y) =Ψ nXΨ(osc),nYx0x0x0(1.71)(1.72)Теперь энергия определяется не каждым из квантовых чисел nX , nYпо отдельности, а только их суммой n = nX + nY . Вместе с тем, состояния, соответствующие одному и тому же значению n, будут различаться значениями nX и nY (таблица 1.1). Таким образом, в круговомосцилляторе энергетические уровни вырождаются с кратностью n + 1.Задачи для самостоятельного решения10.
Проверить соотношение h∂ω Ĥi = ∂ω En для стационарных состояний осциллятора.11. Проверить соотношение h∂E Ĥi = ∂E En для стационарных состояний осциллятора во внешнем поле (см. пример 1.11).12. Решить задачу примера 1.12 для трехмерного осциллятора с частотами в главных осях ωx , ωy и ωz .3(Ответ: в сферическом осцилляторе En = }ω n +, n = 0, 1, .
. .;21кратность вырождения (n + 1)(n + 2).)213∗ . Две частицы массами m1 и m2 , способные совершать одномерное движение, соединены пружиной жесткости κ. Найти энергии стационарных состояний такой системы и соответствующие им волновыефункции.291.5.Бозе-операторыДанный раздел предназначается для углубленного изучения и припервом чтении может быть пропущен. В нем излагается алгебраическийметод решения задачи о линейном гармоническом осцилляторе.Запишем уравнение Шредингера для осциллятора (1.51) в безразмерных переменных.
Координату и импульс выразим в «осцилляторных» единицах — x0 и }/x0 соответственно:11 2p̂ξ ψ(ξ) + ξ 2 ψ(ξ) = εψ(ξ),22(1.73)где x0 определяется соотношением (1.54);ε=E;}ωp̂ξ = −id.dξ(1.74)Очевидно, что(1.75)[ξ, p̂ξ ] = i.Введем так называемые бозе-операторы:b̂ =ξ + ip̂ξ√ ;2b̂† =ξ − ip̂ξ√ .2(1.76)Они неэрмитовы, взаимно сопряжены и согласно (1.75) удовлетворяюткоммутационному соотношению[b̂, b̂† ] = 1.(1.77)Уравнение (1.73) в бозе-операторах после преобразований (1.76) сучетом (1.77) примет вид:b̂† b̂ ψ(ξ) = ε0 ψ(ξ),(1.78)где ε0 = ε− 12 .
Произведение b̂† b̂ будет очевидно эрмитовым оператором.Проясним «физический» смысл бозе-операторов. Предположим, чтоψ(ξ) есть собственная функция оператора b̂† b̂, соответствующая собственному значению ε0 . Подействуем на (1.78) слева оператором b̂† ипреобразуем левую часть в соответствии с (1.77). В результате получим:b̂† b̂[b̂† ψ(ξ)] = (ε0 + 1)[b̂† ψ(ξ)].(1.79)Из сопоставления (1.78) и (1.79) можно сделать вывод о том, что b̂† ψ(ξ)тоже является собственной функцией b̂† b̂, соответствующей уже другому собственному значению ε0 +1 (оно отмечено индексом у функции):b̂† ψε0 (ξ) = Cε+0 ψε0 +1 (ξ).30(1.80)Заменяя в наших предыдущих рассуждениях b̂† на b̂, нетрудно показать, чтоb̂ψε0 (ξ) = Cε−0 ψε0 −1 (ξ).(1.81)Константы Cε±0 в (1.80), (1.81) будут найдены ниже.Таким образом, можно утверждать, что оператор b̂† добавляет осциллятору квант колебательной энергии, равный в обычных единицах }ω, — так называемый фонон.
Оператор b̂ отнимает такой же фонон. Поэтому операторы b̂† и b̂ называются соответственно операторамирождения и уничтожения фонона. Последовательным действием этихоператоров можно показать эквидистантность спектра осциллятора.Вычислим теперь энергию основного состояния, которое мы тожеопределим через бозе-операторы. Прежде всего заметим, что спектр εограничен снизу минимумом осцилляторного потенциала, так что существует минимальное собственное значение ε0 и соответственно функцияψε0 (ξ) ≡ ψ0 (ξ).
Но согласно (1.81), b̂ψε0 ∼ ψε0 −1 (ξ), т.е. можно построить и не существующее состояние ψε0 −1 (ξ). Для устранения данногопротиворечия необходимо положитьdef(1.82)b̂ψε0 (ξ) = 0и рассматривать это тождество как определение основного состояния(или состояния фононного вакуума). Для нахождения ψε0 (ξ) запишемуравнение (1.82) в явном виде с учетом (1.74) и (1.76):dψε (ξ) = −ξψε0 (ξ).dξ 0(1.83)Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка решается существенно проще по сравнению с (1.73).
Его нормированное на единицу решениеψ0 (ξ) = π −1/4 e−ξ2/2(1.84)в обычных единицах переходит в «традиционное» (1.57). Непосредственная подстановка (1.84) в (1.73) дает искомое ε0 = 21 (или ε0 = 0) —энергию нулевых колебаний в безразмерных единицах. Таким образом,энергетический спектр осциллятора в безразмерных единицах1εn = n + ;2ε0n = n;n = 0, 1, .
. .(1.85)находится в полном соответствии с (1.52). Если сопоставить (1.85) и(1.78), то оператору b̂† b̂ можно придать смысл оператора числа фоно31нов в осцилляторе, т.к. его собственными значениями являются осцилляторные квантовые числа:b̂† b̂ψn (ξ) = nψn (ξ).(1.86)Вычислим теперь нормировочные константы в (1.80), (1.81). Дляэтого потребуем, чтобы функция ψn+1 (ξ) была нормирована на единицупри условии, что ψn (ξ) уже нормирована. Воспользуемся дираковскимиобозначениями:Z +∞ED(1.80) ††2+ 2ψn+1 dξ ≡ hψn+1 | ψn+1 i = |Cn | b̂ ψn b̂ ψn =−∞(1.77)(1.86)= |Cn+ |2 hψn | b̂b̂† |ψn i = |Cn+ |2 hψn | b̂† b̂ + 1 |ψn i = |Cn+ |2 (n + 1) = 1,откуда Cn+ = (n + 1)−1/2 .
Аналогичные действия с (1.81) дают Cn− == n−1/2 . Таким образом, мы получаем следующие правила действиябозе-операторов в пространстве стационарных состояний осциллятора:b̂† ψn (ξ) =√n + 1 ψn+1 (ξ);b̂ψn (ξ) =√n ψn−1 (ξ).(1.87)(osc)Согласно уравнению (1.73), ψn (ξ) ≡ Ψn (ξ). Исходя из (1.76) и(osc)(1.87), можно получить следующие соотношения для Ψn (ξ), не пользуясь их явным видом (1.55) и свойством (Б.4):rrnn + 1 (osc)(osc)(ξ) =Ψn−1 (ξ) +Ψn+1 (ξ);ξΨ(osc)n22(1.88)rrd (osc)n (osc)n + 1 (osc)(ξ) −(ξ) =ΨΨΨn+1 (ξ).dξ n2 n−12С помощью оператора рождения фонона и волновой функции основного состояния можно построить и волновую функцию первого возбужденного состояния в соответствии с (1.87):1(osc)(ξ) = √ (b̂† )n Ψ0 (ξ).Ψ(osc)nn!(1.89)Из выражения (1.89) можно получить формулу Родрига для полиномовЧебышева – Эрмита (Б.3).Эффект Штарка для заряженного осциллятора в постоянном однородном электрическом поле подробно в примере 1.11.
Основная идеярешения задачи заключалась в сдвиге начала координат в новое положение равновесия и сведе́нии ситуации к задаче об осцилляторе без32поля. Покажем, что эта задача может быть решена и с использованиемтехники бозе-операторов.Вначале перейдем в уравнении (1.61) к безразмерным переменным:√1 21(1.90)p̂ξ ψ(ξ) + ξ 2 ψ(ξ) − 2 γξψ(ξ) = εψ(ξ),22√где γ = eEx0 /( 2 }ω) и выразим его через бозе-операторы по аналогиис (1.78):(1.91)[b̂† b̂ − γ(b̂ + b̂† )]ψ(ξ) = ε0 ψ(ξ).Введем теперь новые операторы B̂, B̂ † , связанные с бозе-операторамиb̂, b̂† соотношениямиb̂ = B̂ + γ;b̂† = B̂ † + γ.(1.92)Нетрудно убедиться в том, что они тоже будут бозе-операторами, т.е.для них выполняется соотношение (1.77).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
