QM2 (1129336), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Подобно случаю с векторами, G-представление оператора F̂ является упорядоченным набором коэффициентов его разложения по базису оператора Ĝ. В дираковской форме этот базис представляет собой «операторную» конструкцию |Gk ihGn |, так что разложение выглядит следующимобразом:F̂ =Xkn|Gk i Fkn hGn | .(3.21)Выражение для коэффициентов Fkn получается из (3.21) на основесвойства ортонормировки (3.15):Fkn = hGk | F̂ |Gn i .(3.22)Конструкция в правой части (3.22) называется матричным элементомоператора F̂ в G-представлении.Пример 3.6. Исследовать структуру матрицы линейного эрмитоваоператора Ĝ в своем собственном представлении.Решение.
Вновь ограничимся случаем дискретного спектра:(3.15)hGk | Ĝ |Gn i = Gn hGk |Gn i = Gn δkn .В случае непрерывного спектра получим δ-функцию. Таким образом, всвоем собственном представлении матрица линейного эрмитова оператора будет диагональной. Обратное утверждение неверно.59Пример 3.7. Получить правило действия оператора F̂ на вектор |aiв G-представлении.Решение. Пусть |bi = F̂ |ai. Домножим это соотношение слева на базисный вектор hGn |:(3.16)hGn |bi = hGn | F̂ |ai = hGn | F̂ 1̂ |ai =XmhGn | F̂ |Gm ihGm |ai— обычное правило умножения матрицы на вектор.В непрерывном спектреZhG |bi = dG0 hG| F̂ |G0 ihG0 |ai .(3.23)(3.24)Это интегральное преобразование с ядром hG| F̂ |G0 i.В случае диагонального оператора суммирование (интегрирование)снимается.Использованные ранее операторы в координатном представлениитакже могут быть записаны в матричной форме: hr| r̂ |r 0 i = r δ(r − r 0 );hr| p |r 0 i = δ(r − r 0 )(−i}∇r0 ) и т.д.
При этом интегрирование (3.24) поd3 r0 снимается δ-функцией.Правило пересчета матричного элемента из одного представленияв другое легко выводится из свойства полноты (3.16), например, дляперехода от ξ-представления к G-представлению оператора F̂ имеем:XhGk | F̂ |Gn i = hGk | 1̂F̂ 1̂ |Gn i =hGk |ξ 0 ihξ 0 | F̂ |ξihξ |Gn i .(3.25)ξ ξ0Для перехода от координатного представления диагонального оператора F̂ к G-представлению на основании (3.25) получаем следующуюформулу:ZhGk | F̂ |Gn i = Φ∗Gk (r)F̂ ΦGn (r) d3 r,(3.26)где ΦGn (r) ≡ hr |Gn i.Пример 3.8. Найти оператор координаты в энергетическом представлении по базису линейного гармонического осциллятора с частотой ω и массой m.Решение.
Оператор координаты в своем собственном представлении будет диагональным, так что для вычисления матричных элементов можно воспользоваться (3.26). Напомним, что под базисными функциямисистемы понимаются собственные функции ее гамильтониана. Их координатное представление дается выражением (1.53).60Вычисление матричного элемента оператора координаты осуществ(osc)ляется по формуле (3.26) с заменой x = ξx0 . Произведение ξΦn (ξ)преобразуется с помощью рекуррентного соотношения (1.88).
Дальнейшее интегрирование осуществляется с помощью соотношения ортонормировки (1.56). Предлагаем выполнить все промежуточные вычисления самостоятельно. Приводим здесь окончательный ответ:xmn ≡ hm| x |ni = x0(rnδm,n−1 +2r)n+1δm,n+1 .2(3.27)r}.mωМатричные элементыxmn можно записатьнесколько иначе:rrnn+1; hn + 1| x |ni = x0, подразумевая всеhn − 1| x |ni = x022остальные элементы равными нулю. Приведем явный вид фрагментабесконечной матрицы xmn :√01 00 ...√√ 1 020...√√x0 xmn = √ 02 03 . . . .2√ 0030...........................Напомним, что x0 =Обратим внимание на ее недиагональную структуру.Пример 3.9.
Записать оператор F̂ = cos θ (сферическая система координат) в энергетическом представлении по базису пространственного ротатора.Решение. Базисом пространственного ротатора являются сферическиефункции Ylm (θ, ϕ), характеризующиеся орбитальным l и магнитнымm квантовыми числами (см. пример 2.2). Для сферических функцийизвестно рекуррентное соотношение (В.8), аналогичное соотношению(1.88) для осцилляторных функций. Поэтому все вычисления можновыполнить по аналогии с предыдущим примером.
Условием ортонормировки для сферических функций будет (В.6). Приведем результат:hl0 m0 | cos θ |lmi = δm0 m(s(l − m + 1)(l + m + 1)δl0 ,l+1 +(2l + 1)(2l + 3)61+s)(l − m)(l + m)δl0 ,l−1 .(2l − 1)(2l + 1)(3.28)Другими словами, ненулевыми матричными элементами будутs(l − m + 1)(l + m + 1)hl + 1 m| cos θ |lmi =;(2l + 1)(2l + 3)s(l − m)(l + m)hl − 1 m| cos θ |lmi =,(2l − 1)(2l + 1)т.е. матрица оператора cos θ оказывается диагональной по магнитномуквантовому числу.Пример 3.10. Вычислить матричные элементы декартовой координаты z между стационарными состояниями водородоподобного атома с главным квантовым числом n = 2. Зарядовое число ядра Z, массаэлектрона µ.Решение. В сферической системе координат z = r cos θ.
Координатноепредставление волновых функций hr |2lmi = f2l (r)Ylm (θ, ϕ) (см. (2.27)).Энергетический уровень с n = 2 четырехкратно вырожден по орбитальному и магнитному квантовым числам. Поэтому число искомыхматричных элементов равно 16. Однако вследствие симметрии числоненулевых матричных элементов уменьшается до двух :h210| z |200i = h200| z |210i =Z∞a0.Z(3.29)Рекомендуем самостоятельно вычислить радиальный интеграл.= h10| cos θ |00i0(3.28)f20 (r)f21 (r)r3 dr = −3Определение (3.26) пригодно и для оператора Ĝ с непрерывнымспектром.
В этом случае индексы состояния G и G0 в матрице hG0 | F̂ |Giбудут пробегать непрерывный ряд значений.По формуле (3.24) известные нам операторы могут быть переведеныв импульсное представление, если в качестве базисных функций будутвзяты Φp (r) = (2π})−3/2 eipr/} .Пример 3.11. Получить импульсное представление оператора координаты.Решение. На основе (3.24) получим вначале матричный элемент оператора координаты в импульсном представлении, исходя из его вида вкоординатном представлении:62Таблица 3.1Некоторые операторы в r- и p-представленияхОператорr-представлениеp-представлениеri}∇p−i}∇rpКоордината r̂Импульс p̂Момент импульса L̂−i}[r × ∇r ]}2 2∇−2m rV (r)Кинетическая энергия T̂Потенциальная энергия V̂r pp0i}[∇p × p]p22mV (i}∇p )Zi 0i1exp − pr r exp p r d3 r == hp| r̂ |p i =3(2π})}}Z1i 00)=(−i}∇(p − p)r d3 r = −i}∇p0 δ(p0 − p).expp3(2π})}|{z}0(2π})3 δ(p0 −p)Отчетливо видна диагональная структура матрицы координаты вимпульсном представлении.В импульсном представлении оператор координаты действует нафункцию в соответствии с правилом (3.24), т.е.
через интегральное преобразование с ядром r pp0 :b(p) =Zr pp0 a(p0 ) d3 p0 = −i}Z∇p0 δ(p0 − p) a(p0 ) d3 p0 == i}∇p0 a(p0 )|p0 =p = i}∇p a(p) = r̂a(p).Таким образом, r̂ = i}∇p , что по структуре аналогично оператору импульса в координатном представлении, за исключением знака.Ниже приведена таблица 3.1 для некоторых операторов в координатном и импульсном представлениях.Пример 3.12. Записать оператор T̂a , осуществляющий пространственный параллельный перенос квантовой системы на вектор a, вимпульсном представлении.Решение. Согласно определению оператора T̂a ,defT̂a ψ(r) = ψ(r − a).63(3.30)Вычисляя матричный элемент (3.24) на собственных функциях оператора импульса с учетом (3.30), получаем матрицу оператора T̂a вимпульсном представлении:Zi1i 00exp − pr T̂a expp r d3 r =hp| T̂a |p i =3(2π})}}Z1i 0i 0i030=exp − p ar(p − p) d r = δ(p −p) exp − p a .exp(2π})3}}}|{z}(2π})3 δ(p0 −p)Отметим здесь диагональность матрицы.
Множитель, находящийся после δ-функции, как раз и будет оператором сдвига в импульсном представлении:iT̂a = exp − ap .(3.31)}iВ координатном представлении оператор T̂a = exp − ap̂ , т.е. по}структуре формально совпадает с (3.31). Однако в этом случае p̂ == −i}∇r , т.е. оператор T̂a выражается через операторную экспоненту, а в импульсном представлении (3.31) T̂a — обычный множитель,являющийся функцией импульса p.Пример 3.13. Найти матрицу кулоновского потенциала VC (r) =e2=−в импульсном представлении.rРешение.
Воспользуемся стандартным правилом (3.24):Z3e20iqr d rhp| VC |p i = −,(3.32)e(2π})3rгде q = (p0 − p)/}.Интеграл в (3.32) вычисляется в сферической системе координат сосью Oz вдоль q. Интегрирование по угловым переменным проводитсяпо аналогии с примером 3.2. Мы предлагаем воспроизвести его самостоятельно.
При вычислении радиальных интеграловZ ∞I± =e±iqr dr.0возникает расходимость. Эта расходимость, однако, является формальной, поскольку исчезает при домножении кулоновского потенциала назатухающий множитель e−ζr и устремлении ζ к нулю:∞Z ∞1ie(±iq−ζ)r = ± .I± = lime(±iq−ζ)r dr = limζ→+0 0ζ→+0 ±iq − ζq064Выпишем здесь результат интегрированияZeiqr d3rr=4π,q2(3.33)используемый в теории рассеяния и квантовой теории поля.Искомый матричный элемент получается подстановкой (3.33) в(3.32):e21.hp| VC |p0 i = − 2 3 02π } |p − p|2Кулоновский потенциал в импульсном представлении недиагонален. Пример 3.14.
Матричные элементы операторов Â и B̂ в Gпредставлении известны. Найти hGn0 | ÂB̂ |Gn i.Решение. Вспоминая условие полноты (3.16), имеем:XhGn0 | ÂB̂ |Gn i = hGn0 | Â1̂B̂ |Gn i = hGn0 | Â|Gn00 ihGn00 | B̂ |Gn i .n00Итак,hG | ÂB̂ |Gn i =n0Xn00hGn0 | Â |Gn00 ihGn00 | B̂ |Gn i ,(3.34)что соответствует обычному правилу перемножения матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
