QM2 (1129336), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В предыдущихразделах рассматривались различные способы выбора динамическойпеременной: координаты, импульса, энергии и т.д. Здесь мы рассмотрим наиболее распространенные представления зависимости операторов и волновых функций от времени. В отличие от всех предыдущихслучаев (см., например, (3.18)), соответствующие унитарные преобразования должны теперь явно содержать зависимость от времени.Представление ШредингераЕсли спектр собственных значений оператора не изменяется с течением времени, удобно пользоваться такими операторами, математическая форма которых не зависит от времени.
В этом случае изменениесостояния во времени выражается только «вращением» вектора состояния. Такое представление векторов состояний и операторов называется представлением Шредингера. Операторы и волновые функции впредставлении Шредингера будем отмечать индексом «S». Противоположный случай, т.е. когда от времени зависят только операторы, ноне волновые функции, называется представлением Гейзенберга (см. ниже). Такому представлению будет сопоставлен индекс «H».Определим оператор эволюции состояния Ûev (t) соотношениемΨS (ξ, t) = Ûev (t)ΨH (ξ);Ûev (0) = 1̂,(3.50)где ΨH (ξ) ≡ ΨS (ξ, 0), и подставим волновую функцию в форме (3.50) вовременно́е уравнение Шредингера с гамильтонианом Ĥ. В результатеполучим уравнение «движения» для оператора эволюции:i}∂ Ûev (t)= Ĥ Ûev (t);∂tÛev (0) = 1̂.(3.51)Его решение имеет вид:iÛev (t) = exp − Ĥt .}(3.52)Унитарность Ûev (t) практически очевидна.Напомним, что по аналогии с преобразованием эволюции в классической механике движение можно рассматривать как непрерывно совершаемое каноническое преобразование.Прежде нами всюду использовалось представление Шредингера.73Представление ГейзенбергаПредставление Гейзенберга является противоположным случаем поотношению к представлению Шредингера, т.е.
векторы состояний остаются неподвижными, а состояния изменяются во времени только засчет операторов.Очевидно, при переходе от представления Шредингера к представлению Гейзенберга волновая функция будет преобразовываться по закону, обратному (3.50):i(3.52)−1ΨH (ξ) = Ûev (t)ΨS (ξ, t) = expĤt ΨS (ξ, t).(3.53)}В операторах появится зависимость от времени:ii(3.52)(3.40) −1Ĥt F̂S exp − Ĥt .F̂H (t) = Ûev (t)F̂S Ûev (t) = exp}}(3.54)Преобразование (3.54) позволяет вывести уравнение «движения» дляоператора в представлении Гейзенберга:dF̂H1=[F̂H , Ĥ].dti}(3.55)Представление Гейзенберга удобно в квантовой теории поля.Представление взаимодействияВ квантовой механике нередко приходится исследовать системы, состоящие из нескольких взаимодействующих подсистем.
В этом случаегамильтониан можно представить в виде суммыĤ = Ĥ0 + V̂ ,где V̂ — оператор взаимодействия, Ĥ0 — гамильтониан без учета взаимодействия. В таких системах часто для описания временно́й эволюции используется представление взаимодействия. Переход от волновойфункции в представлении Шредингера к волновой функции в представлении взаимодействия Ψint (ξ, t) осуществляется с помощью унитарногопреобразованияiΨint (ξ, t) = expĤ0 t ΨS (ξ, t),(3.56)}которое отличается от (3.50) заменой Ĥ → Ĥ0 .74Подстановка (3.56) во временно́е уравнение Шредингера дляΨS (ξ, t) с гамильтонианом Ĥ приводит к следующему уравнению дляΨint (ξ, t):∂i}Ψint (ξ, t) = V̂int Ψint (ξ, t),(3.57)∂tгдеiiĤ0 t V̂ exp − Ĥ0 t .(3.58)V̂int = exp}}В соответствии с (3.56) переход от представления Шредингера кпредставлению Гейзенберга у операторов осуществляется по правилуiiF̂int = expĤ0 t F̂S exp − Ĥ0 t .(3.59)}}Частным случаем (3.59) является (3.58).Уравнение движения для оператора в представлении взаимодействия выглядит следующим образом:dF̂int1=[F̂int , Ĥ0 ].(3.60)dti}Анализ (3.57) и (3.60) позволяет сделать вывод о том, что представление взаимодействия является промежуточным между шредингеровским и гейзенберговским.Задачи для самостоятельного решения43.
Система с не зависящим от времени гамильтонианом в начальныймомент времени находилась в состоянии с волновой функцией Ψ(ξ, 0).Найти волновую функцию этой системы в последующие моменты времени Ψ(ξ, t > 0). Энергетический спектр и базис системы предполагаются известными. Задачу решить с использованием унитарного преобразования.44. Получить уравнения (3.51), (3.55), (3.57) и (3.60).75Математическое приложениеА.Вырожденная гипергеометрическая функцияРассмотрим так называемое вырожденное гипергеометрическоеуравнение:dyd2 y− ay = 0,(А.1)x 2 + (b − x)dxdxгде a и b — заданные комплексные константы. Его регулярное в нулерешение представляет собой с точностью до постоянного множителявырожденную гипергеометрическую функцию:yreg (x) = 1 F1 (a, b, x) = 1 +a(a + 1) x2a x++ ...b 1!b(b + 1) 2!(А.2)При целых неположительных a она превращается в полином степени −a.При |x| → ∞ она имеет следующее асимптотическое представление:1 F1 (a, b, x)∼Γ(b)(−x)−a 2 F0 (a, a − b + 1, −x−1 )+Γ(b − a)Γ(b) −x a−b+e x 2 F0 (b − a, 1 − a, x−1 ).Γ(a)Здесьxx2+ a(a + 1)b(b + 1)+ ...2 F0 (a, b, x) = 1 + ab1!2!Введено стандартное обозначение для Γ-функции.Б.Полиномы Чебышева – ЭрмитаПолиномы Чебышева – Эрмита являются регулярными решениямидифференциального уравненияy 00 − 2xy 0 + 2ny = 0,где n — их порядок.76n = 0, 1, .
. . ,Дадим здесь несколько различных их представлений:1) формула Родрига:n x2Hn (x) = (−1) edn −x2;edxn(Б.3)2) разложение по убывающим степеням x:Hn (x) = (2x)n −n(n − 1)(n − 2)(n − 3)n(n − 1)(2x)n−2 +(2x)n−4 − . . .11·23) через вырожденную гипергеометрическую функцию:(2m)!12H2m (x) = (−1)m1 F1 −m, , x ;m!23 2m (2m + 1)!2x1 F1 −m, , x .H2m+1 (x) = (−1)m!24) рекуррентная формула:Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x);В.H0 (x) = 1;H1 (x) = 2x.(Б.4)Сферические функцииФункциями Лежандра первого рода (присоединенными «полиномами» Лежандра) называются регулярные в точках ±1 решения дифференциального уравнения2m(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + l(l + 1) −y = 0,1 − x2l = 0, 1, .
. . ;m = 0, ±1, . . . , ±l.При m = 0 они становятся полиномами Лежандра.Приведем здесь формулу Родрига для этих функций:|m|Pl (x)l+|m|12 |m|/2 d(x2 − 1)l .= l (1 − x )l+|m|2 l!dxПрисоединенные «полиномы» Лежандра входят в структуру сферических функций:s2l + 1 (l − |m|)! |m|Pl (cos θ) eimϕ ,(В.5)Ylm (θ, ϕ) =4π (l + |m|)!77являющихся регулярными на единичной сфере решениями уравнений∂1 ∂21 ∂sin θ++ l(l + 1) Ψ(θ, ϕ) = 0;sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2∂+ m Ψ(θ, ϕ) = 0i∂ϕи образующими на ней полную ортонормированную систему — базис:Z πZ 2πYl∗0 m0 (θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ) sin θ dθ = δl0 l δm0 m ;(В.6)dϕ0l∞ XXl=0 m=−l0∗Ylm(θ0 , ϕ0 ) Ylm (θ, ϕ) = δ(cos θ 0 − cos θ) δ(ϕ0 − ϕ).(В.7)Сферические функции удовлетворяют рекуррентному соотношениюcos θ Ylm (θ, ϕ) =ss22(l + 1) − ml 2 − m2=Yl+1,m (θ, ϕ) +Yl−1,m (θ, ϕ),(2l + 1)(2l + 3)(2l − 1)(2l + 1)(В.8)представляющему собой разложение его левой части по базису сферических функций.Приведем явный вид некоторых сферических функций:1Y00 (θ, ϕ) = √ ;4πr3Y10 (θ, ϕ) =cos θ;4πГ.Y1±1 (θ, ϕ) = ∓r3sin θ e±iϕ .8π(В.9)Присоединенные полиномы Лагерра(α)Присоединенные полиномы Лагерра Ln (x) являются регулярнымирешениями дифференциального уравненияxy 00 + (α + 1 − x)y 0 + ny = 0,n = 0, 1, .
. .При α = 0 они переходят в обычные полиномы Лагерра.Дадим некоторые явные выражения для присоединенных полиномов Лагерра:781) формула Родрига:Ln(α) (x)1 −α x dn n+α −x=x e[xe ];n!dxn2) вырожденная гипергеометрическая функция:Ln(α) (x) =Д.1 Γ(n + α + 1)1 F1 (−n, α + 1, x).n! Γ(α + 1)Функции БесселяФункциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные решенияцилиндрического дифференциального уравнения:x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0.(Д.10)Дадим некоторые явные выражения для функций Бесселя:1) разложение в ряд:Jν (x) =∞ x ν X2k=0(−x2 /2)k;k!Γ(ν + k + 1)2) вырожденная гипергеометрическая функция:e−iz z ν1Jν (x) =1 F1 ν + , 2ν + 1, 2iz .Γ(1 + ν) 22Сферическая функция Бесселяrπjl (x) =J 1 (x),2z l+ 2l = 0, 1, .
. .(Д.11)выражается через элементарные, например,sin xj0 (x) =;xsin x cos xj1 (x) = 2 −;xxj2 (x) =313sin x− 2 cos x.−3xxxФункция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравненияy 00 − xy = 0(Д.12)и выражается через функции Бесселя порядков ± 13 :Ai(x) =где1√x [I−1/3 (ζ) − I1/3 (ζ)];3Iν (ζ) = i−ν Jν (iζ);ζ=23Ai(−x) =x3/2 .791√x [J−1/3 (ζ) + J1/3 (ζ)],3ЛитератураОсновная1. Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. — М. : Наука,1973. — 704 с.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
