QM2 (1129336), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Формула(3.34) справедлива и для непрерывно меняющихся индексов состояния;при этом суммирование заменяется интегрированием.Задачи для самостоятельного решения31. Найти оператор координаты в энергетическом представлении побазису частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме ши1рины a.(Ответ:hn| x |ni =a;hn0 | x |ni =2()n0 +nn0 −n− 1 (−1)−1a (−1)= 2−; n, n0 = 1, 2, . . .; n 6= n0 ).0202π(n − n)(n + n)32. Найти оператор F̂ = cos ϕ (в полярных координатах) в энергетическом представлении по базису плоского ротатора.
(Ответ:11hm0 | cos ϕ |mi = (δm0 ,m+1 + δm0 ,m−1 ), или hm ± 1| cos ϕ |mi = .)226533. Найти энергетическое представление оператора x2 по базису линейного гармонического осциллятора с массой m и частотойω. (Отx20 p1222вет: hn ± 2| x |ni =;(n + 1 ± 1)(n ± 1); hn| x |ni = x0 n +22n = 0, 1, . . .; x20 = }/mω).3.4.Теория представлений и наблюдаемые физические величиныПереход от одного представления к другому затрагивает вид волновых функций и операторов.
Неизменными, однако, остаются следующие величины и соотношения:– нормировка волновых функций;– ортогональность волновых функций;– коммутационные соотношения операторов (а, значит, соотношения неопределенностей и интегралы движения);– собственные значения операторов.Таким образом, вид представления не влияет на значения наблюдаемыххарактеристик исследуемой системы. Тем не менее, удачно выбранноепредставление позволяет значительно упростить решение задачи.Пример 3.15.
Найти волновые функции стационарных состояний одномерного движения частицы массы m в однородном поле V (x) = −F x(F = const).Решение. В уравнении Шредингера 2p̂− F x̂ Ψ = eΨ2m(3.35)оператор p̂ возводится в квадрат, а x̂ — в первую степень. Поэтому уравнение (3.35) в координатном представлении является уравнением второго порядка, а в импульсном — первого, следовательно, задачу удобнорешать в импульсном представлении. Уравнение (3.35) при этом примет вид (см. табл. 3.1): 2pdΨE (p) = EΨE (p).(3.36)− i}F2mdpПоскольку в однородном поле движение всегда инфинитно, энергетический спектр непрерывен.66При заданной энергии E, используя метод разделения переменных,решение (3.36) (с точностью до произвольного постоянного множителя)можно выписать сразу:p2ipΨE (p) = C expE−.(3.37)}F6mДля перехода к координатному представлениюнеобходимо найти√3фурье-образ функции (3.37). После замены p = z 2m}F с точностьюдо постоянного множителя получаем:ipx dp =ψ(x) ∼Ψ(p) exp}∞ Z +∞Ep3p=x++dp ∼exp −i −}F6m}F−∞(" r#)r!Z +∞2zEE3 2mF3 2mFexp −iz −+dz∼Ai−,∼x+x+}2F3}2F−∞Z+∞где Ai(ξ) — функция Эйри, имеющая интегральное представлениеZ ∞1z3dzAi(ξ) = √cos zξ +3π 0(см.
приложение Д).Таким образом, волновые функции движения в однородном полев координатном представлении выражаются через специальную функцию — функцию Эйри. В импульсном же представлении решение уравнения Шредингера дается в элементарных функциях (3.37). Таким образом, в данной задаче импульсное представление оказывается предпочтительнее координатного.Рекомендуем самостоятельно нормировать волновые функцииΨE (p) «по шкале энергий», т.е. найти нормировочный множитель C,R +∞исходя из условия −∞ Ψ∗E 0 (p)ΨE (p) dp = δ(E 0 − E).Пример 3.16. Найти импульсное представление сферических функций Ylm (θ, ϕ).Решение. Сферические функции Ylm (θ, ϕ) являются собственными2функциями оператора L̂ , соответствующими собственным значениям}2 l(l + 1), в координатном представлении:2L̂ Ylm (θ, ϕ) = }2 l(l + 1)Ylm (θ, ϕ).67(3.38)Такому же уравнению (3.38) будут удовлетворять собственные функции и в импульсном представлении. Следует заметить, что собственныезначения при этом не изменятся.Сравним прежде всего вид декартовых компонент L̂i в различныхпредставлениях.В координатном представлении:L̂i =Xjkεijk xj p̂k = −i}Xεijk xjjk∂.∂xkВ импульсном представлении (см.
табл. 3.1):L̂i =Xεijk x̂j pk = i}jkXjkεijkX∂∂pk = (j k) = −i}εijk pj.∂pj∂pkjkИтак, в координатном и импульсном представлениях структура компонент L̂i идентична. Отметим далее, что [x̂i , p̂j ] = i}δij в любом пред2ставлении, следовательно, структура L̂ и в координатном, и в импульсном представлениях одинакова. Поэтому собственными функция2ми L̂ в импульсном представлении также будут сферические функцииYlm (θp , ϕp ).
Отличие от координатного представления состоит в том,что углы θp и ϕp теперь задают направление p, а не r.Заметим, что данную задачу можно было бы решить, вычисливлишь фурье-образ Ylm (θ, ϕ), однако здесь этого делать не нужно.Уравнение Шредингера (Ĥ −E)Ψ(r) = 0 в энергетическом представлении (за базис которого выбраны собственные функции некоторого(0)гамильтониана Ĥ0 , отличного от Ĥ, с собственными значениями Ek )имеет вид линейной системы уравнений относительно коэффициентовразложения по базису:EoX nD (0) (0)En0 Ĥ En − δn0 n E CE (0) = 0.nnСобственные значения энергии являются корнями характеристическогоуравненияD E (0) (0)det En0 Ĥ En − δn0 n E = 0.Уравнение Шредингера в импульсном представлении есть 2Zp− E ΨE (p) + hp| U |p0 i ΨE (p0 ) d3 p0 = 0,2mZi1exp(p0 − p)r U (r) d3 r.где hp| U |p0 i =3(2π})}68В практических приложениях наиболее часто используется координатное представление.
Это обусловлено тем, что энергия взаимодействия выражается функцией координат частиц и в координатномпредставлении совпадает с соответствующим оператором. Кинетическая энергия является простой функцией импульса. Поэтому ее оператор в координатном представлении также имеет простой вид. Приисследовании систем, состоящих из слабо взаимодействующих частиц,часто применяется импульсное представление, а если используется теория возмущений, то энергетическое.Задачи для самостоятельного решения34. Линейный гармонический осциллятор (масса — m, частота — ω)находится в стационарном состоянии.
Найти импульсное представление21pHn (ξ) e−ξ /2 ; ξ =волновой функции. (Ответ: cn (p) = p;√p02n n!p0 πp20 = m}ω; n = 0, 1, . . .).35. Система может находиться лишь в двух состояниях: Ψ1 и Ψ2 .Матричные элементы оператора Ĥ известны: H11 = a; H22 = b;∗H12 = H21= c. Найти собственные значения энергии. (Ответ: E± =p1= {a + b ± (a − b)2 + 4c2 }).236. Записать уравнение Шредингера с кулоновским потенциаломαV (r) = в импульсном представлении.rZp2α1(Ответ:− E ΨE (p) + 2ΨE (p0 ) d3 p0 = 0.)02m2π }|p − p|237.
Найти собственные функции оператора координаты в координатном представлении следующим способом: собственные функции оператора координаты ищутся в импульсном представлении, а результатпереводится в координатное представление.3.5.Унитарные преобразованияПереход от одного представления к другому является частным случаем так называемого унитарного преобразования, которое осуществляется с помощью некоторого унитарного оператора Û:|a0 i = Û |ai .69(3.39)Напомним определение унитарного оператора: Û † = Û −1 . В соответствии с правилом преобразования (3.39) для вектора и определениемполучаем правило преобразования для оператора:F̂ 0 = Û F̂ Û −1 .(3.40)На основании (3.39), (3.40) нетрудно показать, что при унитарныхпреобразованиях остаются неизменными следующие конструкции:– средние значения физических величин;– собственные значения операторов;– скалярные произведения векторов в гильбертовом пространстве(а значит, ортогональность и нормировка);– матричные элементы операторов;– коммутационные соотношения операторов (а значит, соотношениянеопределенностей и интегралы движения).Примером унитарных преобразований являются сдвиги и поворотысистемы координат (см.
задачи 24 и 25 части 1).Унитарные преобразования важны потому, что в ряде случаев удачно выбранное преобразование позволяет существенно упростить решение задачи.Пример 3.17. Решить задачу примера 1.11 в формализме унитарныхпреобразований 2 .Решение. Исходим из уравнения (1.91) в бозе-операторах.
Будем искатьтакое унитарное преобразование, которое уничтожит линейные по b̂, b̂†слагаемые.Разложим вначале волновую функцию основного состояния смещенного осциллятора ψ0 (ξ) по базису волновых функций несмещенного осциллятора χn (ξ):∞X∞Xa√n (b̂† )n ψ0 (ξ) = f (b̂† )χ0 (ξ).ψ0 (ξ) =an χn (ξ) =n!n=0n=0(1.87)(3.41)В соответствии с определением основного состояния (1.83) для функцииψ0 (ξ) имеем:(1.92)B̂ψ0 (ξ) = (b̂ − γ)χ0 (ξ) = 0.(3.42)Это будет уравнением для основного состояния смещенного осциллятора.2Пример является дополнительным.70Подставим (3.41) в (3.42):[b̂, f (b̂† )]χ0 (ξ) = 0.Используя тождества†[b̂, f (b̂ )] =∂f (b̂† )∂ b̂†[b̂† , f (b̂)] = −;∂f (b̂)∂ b̂,(3.43)получаем операторные уравнения для f (b̂† ):∂f (b̂† )∂ b̂†= γf (b̂† ),решение которого имеет вид:†f (b̂† ) = c0 eγ b̂ ,(3.44)где c0 — подлежащий определению постоянный множитель.Вместо f (b̂† ) более удобным являетсяÛ(γ) = f (b̂† ) e−γ b̂ = e−γ2/2 γ b̂† −γ b̂ee(3.45)(см.
(1.83)). Значение множителя c0 выбрано таким образом, чтобы преобразование Û(γ) было унитарным.Теперь разложение (3.41) можно представить в видеψ0 (ξ) = Û(γ)χ0 (ξ).(3.46)Введем теперь по аналогии с (3.46) в совершенно общем виде новоепреобразование между искомым решением ψ(ξ) уравнения Шредингера(1.91) и новой функцией χ(ξ)ψ(ξ) = Û(γ)χ(ξ)(3.47)[b̂† b̂ − γ(b̂† + b̂)]Û(γ)χ(ξ) = ε0 Û(γ)χ(ξ).(3.48)и подставим (3.47) в (1.91):Если на уравнение (3.48) подействовать слева оператором Û −1 (γ),то гамильтониан претерпит унитарное преобразование. Найдем новыйвид гамильтониана. Подвергнем унитарному преобразованию Û −1 (γ)бозе-операторы по отдельности.
Для этого вначале преобразуем (3.45)в соответствии с тождеством Вейля (см. задачу 11 части 1)Û(γ) = eγ(b̂71†−b̂),а затем воспользуемся тождеством Бекера – Кэмпбелла – Хаусдорфа(см. задачу 10 Части 1). В итоге получим:Û −1 (γ) b̂† Û(γ) = b̂† + γ;Û −1 (γ) b̂Û(γ) = b̂ + γ,(3.49)откудаÛ −1 (γ) b̂† b̂ Û(γ) = Û −1 (γ) b̂† Û(γ) Û −1 (γ) b̂ Û(γ) = (b̂† + γ)(b̂ + γ),так что уравнение (1.91) принимает удобный видb̂† b̂χ(ξ) = ε00 χ(ξ),где ε00 = ε0 + γ.
В конечном итоге энергетический спектр будет совпадать с полученным в разделе 1.5.Построим теперь волновые функции стационарных состояний. В соответствии с (1.89),1χn (ξ) = √ (b̂† )n χ0 (ξ).n!В соответствии с (3.47),1ψn (ξ) = Û(γ)χn (ξ) = √ Û(γ)(b̂† )n Û −1 (γ)Û(γ)χ0 (ξ) =n!1(3.49) 1= √ [Û(γ)b̂† Û −1 (γ)]n ψ0 (ξ) = √ (b̂† − γ)n ψ0 (ξ).n!n!Здесь χ0 (ξ) = π −1/4 e−ξ2/2.Канонические преобразования являются классическим аналогомунитарных преобразований.Задачи для самостоятельного решения38. Доказать общие свойства унитарных преобразований.39. Доказать унитарность преобразования (3.18).40∗ . Доказать тождества (3.43).(Указание: методом математической индукции вычислить коммутаторы [b̂, (b̂† )n ], [b̂† , b̂n ].)41∗ . Проверить унитарность оператора (3.45).42∗ . Получить соотношения (3.49).723.6.Представления зависимости операторов и волновых функций от времениТеория представлений имеет несколько аспектов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
