QM2 (1129336), страница 3
Текст из файла (страница 3)
,определяемый численно).5∗ . Частица массы m падает вниз с ускорением g на абсолютно упругуюгоризонтальную поверхность. Найти энергии стационарных состояний.(Ответ: En = (mg 2 }2 /2)1/3 αn+1 ; n = 0, 1, . . .; Ai(αk ) = 0 — см. (Д.12).)1.3.Прохождение через потенциальный барьерВ данном разделе мы исследуем некоторые аспекты инфинитногодвижения, а именно преодоление частицей потенциального барьера.Пусть поле V (x) таково, что потенциальная кривая, изображеннаяна рис. 1.5, имеет в ограниченной области «горб», а в асимптотике (x →→ ±∞) выходит на плато, т.е движение частиц становится свободным.Такой «горб» принято называть потенциальным барьером.Поставим задачу исследования процесса преодоления барьера частицей массой m, движущейся с полной энергией E. Последовательное рассмотрение требует моделирования частицы волновым пакетоми решения соответствующей нестационарной задачи (см.
пример 4.8части 1).14V(x)jîòðjïðîøVmaxjïàäEVminx0Рис. 1.5.Более простой, однако, представляется стационарная задача о рассеянии барьером установившегося потока частиц. После преодолениябарьера поток разбивается на прошедший и отраженный. Данный процесс удобно характеризовать следующими наблюдаемыми величинами:коэффициентом отражения, представляющего собой отношение плотности потока отраженных частиц к плотности потока падающих частицjотр ,где jотр = |j отр |; jпад = |j пад |(1.28)R=jпад x→−∞и коэффициентом прохождения, представляющего собой отношениеплотности потока прошедших частиц к плотности потока падающихчастицjпрош |x→+∞,где jпрош = |j прош |.(1.29)D=jпад |x→−∞Плотности потока предполагаются взятыми на асимптотически удаленных расстояниях в области выхода потенциалов на плато.Для вычисления плотностей потока необходимо знать волновуюфункцию рассеиваемой на барьере частицы.
Согласно условию задачи, в области x → +∞ имеются только прошедшие через барьер частицы (с положительным импульсом). Поэтому асимптотический видволновой функции при x → +∞ представляет собой плоскую волну:0гдеΨ(x)|x→+∞ = eik x ,(1.30)p2m(E − Vmin ).k0 =}(1.31)15Функция (1.31) нормирована на совпадение плотности потока прошедших частиц с классической скоростью (см. пример 4.3 части 1):jпрош |x→+∞}k 0=.m(1.32)В задаче о рассеянии частиц на потенциальном барьере в качествеграничного условия к уравнению Шредингера (1.1) необходимо использовать асимптотический вид 3 волновой функции (1.30).В области x → −∞ имеются как падающие, так и отраженные частицы. Согласно примеру 4.4 части 1, одномерное свободное движение будет двукратно вырождено по знаку проекции импульса.
Поэтомуасимптотический вид решения уравнения Шредингера в этой областипредставляется следующим образом:Ψ(x)|x→−∞ = A eikx + B e−ikx ,(1.33)где волновое число k определено в (1.10). Первое слагаемое в (1.33)соответствует потоку падающих частиц, второе — потоку отраженныхчастиц.
Плотности потоков вычисляются опять же в соответствии сформулой примера 4.8 части 1:jпад |x→−∞ =}k|A|2 ;mjотр |x→−∞ =}k|B|2 .m(1.34)Зная константы A и B, легко вычислить коэффициенты отраженияи прохождения по формулам (1.28), (1.29), (1.32) и (1.34):|B|2;R=|A|2k0D=|A|−2 .k(1.35)Пример 1.5. Доказать, что в ситуации с установившимся потокомR + D = 1.(1.36)Решение. В стационарных состояниях плотность вероятности не зависит от времени.
Поэтому, в соответствии с уравнением непрерывности,плотность потока вероятности не меняется на всем протяжении оси Ox:jx (x, t) = j = const .3(1.37)Строго говоря, в (1.30) должен стоять произвольный постоянный множитель,который сократится при вычислении R и D по формулам (1.28) и (1.29) в силулинейности и однородности уравнения Шредингера.16Предлагаем на основании (1.33) самостоятельно убедиться в том,что в области x → −∞ падающий и отраженный потоки не интерферируют, т.е.jx |x→−∞ = (jпад,x + jотр,x )|x→−∞ = (jпад − jотр )|x→−∞ .(1.38)В области x → +∞ поток является целиком прошедшим:jx |x→+∞ = jпрош |x→+∞(1.39)Из общих формул (1.28), (1.29) на основании (1.37)–(1.39) получаемфундаментальное соотношение (1.36), выражающее закон сохранениявещества при рассеянии частиц на барьере.Рассеяние микрочастиц на потенциальном барьере существенно отличается от аналогичного макроскопического процесса.Рассмотрим, во-первых, случай Vmin < E < Vmax .
В макромире всебез исключения частицы упруго отражались бы от барьера, т.е. R = 1.В микромире частицы могут с ненулевой вероятностью проникать вклассически недоступную подбарьерную область (см. замечание в конце предыдущего пункта). Если барьер не слишком широк (порядка дебройлевской длины), то частицы будут обнаруживаться с ненулевойвероятностью и на противоположной стороне барьера, т.е. D 6= 0. Частицы как бы «просачиваются» сквозь барьер, или туннелируют. Такоепрохождение частиц сквозь потенциальный барьер, запрещенное классической механикой, называется туннельным эффектом.
Данный эффект имеет чисто квантовую природу. Сам процесс прохождения сквозьбарьер принципиально не может быть изучен экспериментально, т.к. вобласти барьера импульс не имеет определенного значения и не измеряется классическими приборами. Экспериментально фиксируется лишьсам факт прохождения электрона сквозь барьер. Туннельный эффектиспользуется в электронике (туннельные диоды), при вырывании электронов с поверхности проводника внешним электрически полем (холодная эмиссия); в теории Гамова вероятность α-распада вычисляетсяв предположении о туннельном механизме выхода α-частицы из ядра;сильное постоянное или низкочастотное электрическое поле приводитк туннельной ионизации атомов.Рассмотрим теперь случай E > Vmax .
В макромире все без исключения частицы продолжили бы свое движение в положительном направлении оси Ox, изменив разве что свой импульс, т.е. D = 1. В микромире несохранение импульса во внешнем силовом поле приводит ктому, что в области барьера появляются состояния со всевозможными значениями импульса, в том числе и с другим его знаком.
Потокис одинаковыми сонаправленными импульсами интерферируют друг с17другом, что в конечном итоге приводит к появлению наблюдаемых отраженных частиц, т.е. R > 0. Такой классически запрещенный эффектназывается надбарьерным отражением. Для появления надбарьерногоэффекта существенен не столько барьер, сколько наличие силового поля в ограниченной области пространства. Поэтому отражать можетне только барьер, но и яма.Таким образом, рассеяние микрочастиц на потенциальном барьереимеет скорее оптическую аналогию, чем классическую механическую.Потенциальный барьер можно уподобить среде с переменным показателем преломления.Пример 1.6.
Показать, что если частицы налетают на барьер(рис. 1.5) из области x → +∞, то при неизменных остальных условиях коэффициенты отражения и прохождения остаются прежними.Решение. В общем случае произвольного стационарного состоянияасимптотический вид волновой функции представляет собой суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в обе стороны оси Ox:Ψ(x) = A− eikx + B− e−ikx00Ψ(x) = A+ eik x + B+ e−ik xпри x → −∞;при x → +∞.(1.40)Поскольку эти выражения представляют собой асимптотические формы одного и того же решения линейного дифференциального уравнения, между коэффициентами A− , B− и A+ , B+ существует линейнаясвязь. Пусть A+ = αA− + βB− , где α, β — постоянные (вообще говоря,комплексные), зависящие от конкретного поля V (x). Аналогичное соотношение для B+ можно тогда написать на основании соображений,связанных с вещественностью стационарного уравнения Шредингера(1.1): если Ψ(x) есть решение данного уравнения Шредингера, то иΨ∗ (x) есть решение того же уравнения.
Асимптотические виды∗ ikxΨ∗ (x) = A∗− e−ikx + B−e00∗ ik xΨ∗ (x) = A∗+ e−ik x + B+eпри x → −∞;при x → +∞отличаются от (1.40) лишь обозначением постоянных коэффициентов;∗∗поэтому имеем B+= αB−+ βA∗− , или B+ = α∗ B− + β ∗ A− . Такимобразом, коэффициенты в (1.40) связаны друг с другом соотношениямивидаA+ = αA− + βB− ;B + = β ∗ A − + α ∗ B− .(1.41)Для частиц, налетающих на барьер в положительном направлении(рис.
1.5), в функциях (1.40) следует положить B+ = 0; при этом18B− /A− = −β ∗ /α∗ . Во противоположном случае полагаем A− = 0, тогда A+ /B+ = β/α∗ . Для коэффициентов отражения в соответствии с(1.35) имеем: B− 2 β ∗ 2 = ,R1 = α∗ A− A + 2 β 2 = ,R2 = α∗ B+ откуда ясно, что(1.42)R1 = R 2 .Для коэффициентов прохождения в силу (1.36) получаем аналогичноесоотношение.Соотношения (1.36), (1.42) выражают модельно-независимые свойства рассеяния на потенциальном барьере.Рассмотрим теперь отражение на потенциальном барьере заданнойформы V (x) и вычислим коэффициенты отражения и прохождения какфункции энергии частицы, имеющей массу m.Пример 1.7. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольной потенциальной ступенькивысоты V0 (рис.
1.6) в зависимостиот энергии частицы E (частицы движутся слева направо).V(x)V0III0xРешение. Введем систему координат вРис. 1.6.соответствии с рис. 1.6. Потенциальная кривая является кусочно-непрерывной с конечным разрывом в нуле. Поэтому уравнение Шредингера необходимо решить отдельно длякаждой из областей I и II, а затем сшить эти решения в точке разрываx = 0 в соответствии с (1.2).В области I присутствуют как падающая, так и отраженная волны.Поэтому решение ΨI (x) выбираем в виде (1.33).Решение в области II существенно зависит от знака E −V0 (заметим,что в отличие от общего случая в данной задаче Vmax = Vmin = V0 ).При E < V0 область II является классически недоступной, поэтому удовлетворяющее стандартным условиям решение с точностью допостоянного множителя выбираем в видеΨII (x) = e−κx ,(1.43)где κ определяется соотношением (1.22).
Легко проверить, что в состоянии (1.43) плотность потока равна нулю. Поэтому коэффициент19прохождения D = 0. Рекомендуем самостоятельно получить выражения для A и B и на основании (1.35) независимо от (1.36) показать, чтоR = 1.Таким образом, если область II недоступна в классическом смысле,то частицы полностью отражаются от ступеньки. Вместе с тем, вблизи ее края остается ненулевая вероятность обнаружения частиц (см.пример 1.4). Здесь можно провести аналогию с полным внутреннимотражением в оптике.При E > V0 область II является классически доступной, поэтомурешение ΨII (x) выбираем в виде (1.30) и сшиваем с ΨI (x). Рекомендуемтакже самостоятельно получитьk − k0B=.2kk + k0,A=2kКоэффициенты отражения и прохождения вычисляем по формулам(1.35):√√2ξ− ξ−1√= √;R(E) =ξ+ ξ−1p4 ξ(ξ − 1)4kk 0E√√D(E) ==.,гдеξ=(k + k 0 )2V0( ξ + ξ − 1)2k − k0k + k02Очевидно, что R 6= 0, т.е. имеет место надбарьерное отражение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
