Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 148
Текст из файла (страница 148)
Две матрицы А и В над полем г'ч называются подобными, если существует нв)1 вырожденная матрица Р над полем г'ч, такая, что В = РАР '.) Ы 9.69. Пусть основная характеристическая матрица А ЛМС лт над полем $'э' имеет минимальный многочлен вида (х+ 1)' (ха+ х + 1)'. Какие порядки могуу'. иметь внутренние состояния ЛМС г67 9.70. Найти порядки всех внутренних состояний ЛМС лУ из примера 9.97в, 9.71. Пусть основная характеристическая матрица А ЛМС лч над полем 1Гйь обладает тем свойством, что ее минимальный многочлен совпадает с ее характерк ~"' стнческим многочленом. Пусть минимальный многачлен матрицы А имеет вид*„' Р (х)', где Р (х) .— ноРмиРованный непРиводимый многочлен над полем й'чхч бец(р (х)) —..= й.
Не пользуясь теоремой 9.96, доказать, что цикловая суммФ! ЛМС гй задается формулой, приведенной в этой теореме. 9.72. Найти цикловую сумму ЛМС ай над полем 1Г,, определенной в при ' мере 9.91. 9.73. Доказать теорему 9.98. Глава 10 Таблицы В этой главе собраны некоторые таблицы, облегчающие вычисления в конечных полях, а также таблицы неприводимых и примитивных многочленов над конечными полями. Описание э~их таблиц приводится соответственно в Э 1 и 2. 5 1. Вычисления в конечных полях Операции умножения и деления ненулевых элементов поля К« можно выполнять, пользуясь аналогом понятия логарифма.
При этом вместо термина «логарифм нам будет предпочтительнее пользоваться термином «индекс«. Если Ь вЂ” примитивный элемент поля Кч, то для любого элемента а Е К«существует единственное целое число г, О ( г ( д — 1, такое, что а = Ь'. Это число г называется индексом элемента а (по основанию Ь) и обозначается через !пдь (а) (или просто !пй (а), если элемент Ь фиксирован).
Индекс как функция (будем называть ее индексной функцией) удовлетворяет следующим основным условиям: !пб (ас) == !пй (а) + 1пд (с) (гной (д — 1)), !пй (ас '): — !пй (а) — !пс1 (с) (гпод (д — 1)). Функция, обратная к индексной функции и соответствующая взятию антилогарифма, называется экспоненциальной функцией и обозначается через ехрь или просто ехр.
При этом выполняются соотношения ехр (г) .= Ь«, ехр (!пд (а)) — а, !пй (ехр (г)) = г. Имея таблицу функций 1пд и ехр для поля К«, можно легко выполнять все четыре действия в ноле р« — сложение, вычитание, умножение и деление. Для выполнения сложения и вычитания з поле К«это поле удобно рассматривать как векторное пространство над его простым подполем Кр, для выполнения умножения и деления в поле К«используются свойства функции 1пй, а таблица функций ехр й !пд позволяет переходить от одних обозначений к другим. В табл.
А приводится полный список ненулевых ~лементов и соответствующих им индексов для всех конечных полей Г«, где а — составное число, ие превосходящее 128. В ко- 666 Гл. <О, Таблицы лонке, соответствующей значениям функции ехр, скобки и запя< тые, обычно используемые для записи вектора, соответствующе " заданному элементу а = (а„..., а„) =- а,Ь" ' + а,Ь"-г + ... + а„, 0 ( а< (р, и полЯ Гг, где 0 =- Р", бУдУт опУскатьсЯ. 1О.1.
Пример. В качестве примера использования таблицы )1;, вычислим в поле Кь выражение [(Ь+ 1)+ (2Ь+ 2) Ь) (Ь+ 2)-'+ Ь. бь Используя ту часть табл. А, которая соответствует полю получаем [п<[ ((2Ь + 2) Ь) == [п<[(2Ь + 2) + 1п<[ (Ь) = 3 + 1 = : — 4 (<под 8), (2Ь + 2) Ь =- ехр (4) = 2. Тогда (Ь + 1) + (2Ь + 2) Ь = Ь и 1пд ([(Ь+ 1) + (2Ь+ 2) Ь) (Ь+ 2) ') = [п<1 (Ь) — [п<[(Ь+ 2у = 1 — б = — 3 (<по<[ 8), [(Ь + 1) + (2Ь + 2) Ь) (Ь + 2) ' = ехр (3) = 2Ь + 2.
Таким образом, исходное выражение равно (2Ь + 2) + Ь „',' = 2. Таблица В предоставляет другую возможность для выполнен арифметических операций в конечных полях. Первые две ее лонки представляют собой таблицы логарифмов Якоби Ь (и) полей ггпу где 2 ( й ( 6 (определение логарифма Якоби е<4" в упр. 2.8). Символ и — в здесь означает, что й (и) =- в (относйр тельно некоторого фиксированного примитивного элемента В случае когда характеристика поля равна 2, величина Ь является нсопределенной.
Перемножение элементов Ь" про ВОдИтея ОбЫЧНЫМ ОбраЗОМ, т. Е. Ь Ь" = Ь +" СЛОЖЕНИЕ жс Иве производится по правилу Ь. + Ьь = Ь +«л--> (указанному в упр. 2.8). Символ +, расположенный перед вели;"„', чиной и, здесь указывает на то, что элемент Ь" является прн.-,' митивным. 10.2. Пример. Используя табл. В, вычислим выражение (Ь + Ь + Ь ) (1 + Ь )- + Ь в поле [['ьь. Получаем: Ьь+ Ь" =- Ьь+ь«г< = Ььь и Ььь+ Ь" =: =- Ь<ь+ь <ь> =- Ьгг. Так как 1 + Ьгь = Ьь мь< = Ь", то $ (Ьь [ Ьгь + Ь<м) (1 [- Ььь)-г ЬггЬ-ы Ьм 4 !. Вычисления в конечных полях далее, поскольку и аргумент функции Ь, и показатель степени ~лемента Ь рассматриваются по модулю 63, то Ьм [ Ьзв Ьм+с ~ — 1з> Ьо+ь <зо> Ь|о~ Ьзв что и является искомым результатом.
Заметим, что полученный элемент Ьв' является примитивным элементом поля Квв. [) В остальной части табл. В приводятся сведения о минимальных и характеристических многочленах, а также о дуальных базисах. рассмотрим в качестве примера две следующие строки из таблицы для поля Гвв над полем Гв: +20 — 26 [10000!] 26 6 49 29 9 46: 19 21 — 42 [101011) [1!] Символ [а,ав ...
а ] означает, что многочлен вида хы -г а,х — ~ + а,х †' + ... + а является характеристическим многочленом данного элемента относительно данного расширения поля. Так, х' + х' + 1 является характеристическим многочленом элемента Ь'-' Е (вв над полем Кв, а х' + х' + х' + х + 1 — характеристическим многочленом элемента Ьв' Е Квв над Кв, Если Ь" является образующим элементом данного расширения поля, то множество чисел, расположенных между характеристическим многочленом и двоеточием, описывает дуальный базис к полиномиальному базису, определяемому элементом Ь". Если же элемент Ь" ие является образующим элементом расширения, то в квадратных скобках приводится минимальный многочлен элемента Ь" относительно данного расширения (многочлен задается описанным выше символическим способом). Например, Ь'о является образующим элементом поля Квв над Гв. Тогда дуальным базисом к полиномиальному базису (1, Ь'о Ьв' Ьво Ьво, Ьвоо) полЯ Квв над Кв слУжит базис (Ьв' Ь' Ьв' Ь" Ь' Ь").
СдРУгой стороны, Ь" не является образующим элементом поля Квв над го Минимальным многочленом элемента Ьв' над полем г'в 6Удет хв + х + 1; таким образом, Ь" Е Кв. Если Ь" — не только образующий элемент данного расширения, но, кроме того, определяет и некоторый нормальный базис этого расширения, то число, стоягдее после двоеточия, указывает элемент, определяющий дуаль"ый нормальный базис. Например, элемент Ьво определяет нормальный базис (Ьво)в (! во)в (Ьво)в (Ьво)зв (Ьво) поли Гы над полем Гв, а его дуальный базис имеет вид (Ьвв (Ьхв)в (Ьзв)в (Ьзв)в (Ьзв)зв (Ьзв)м) Влементы подполей данного расширения (кроме подполя Кв) обозначаются в табл.
В заглавными буквами, значения которых 670 Га. !О. Таиаиаы выясняются при рассмотрении соответствующих минимальн ' многочленов. Так, например, в таблице для поля К„ буквой обозначен элемент Ьм ~ Г,, а буквой  — элемент Ьм с Г,,'. й 2, Таблицы непроводимых многочленов В табл. С приводятся все нормированные неприводимые многгй'.
члены степени п над простыми полями Г для малых значеи ' параметров и и р, а именно прп р == 2 для всех а ( 11, при р ='' для и ( 7, при р =- 5 для и - 5 и при р:== 7 для и ( 4. Мног"' член п„х" '- а,х" — ' --,' ... + а„сокращенно записывается в ви ' а,а, ... а„, где а, =- 1. Левая колонка„помеченная значени параметра и, содержит все нормированные неприводимые мно члены 7' степени п над полем Кр. Правая колонка, помеченна символом е, содержит соответствующее значение огд (7), Таблица [У содержит по одному примитивному многочле ', степени и над полем Р, для каждого значения и ( 100. В э таблице многочлен обозначается набором степеней его ненулев" членов. Так, набор 610 обозначает многочлен х'+ х + 1. В табл. Е приводятся все примитивные многочлены и х'+ а,х + а, над полями 1'р, где 1! ( р ( 31.
Для прост р < 11 все квадратичные примитивные многочлены можно п чить из табл, С, выделяя те многочлены 7 над [['р, для кото огд [7) = р' — 1. В табл. г приводится по одному примитивному многоч степени п над полем Гр для всех и > 2 и р, таких, что р <, и р" < 10'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
