Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 145
Текст из файла (страница 145)
9!. Первый алгоритм для декодирования БЧХ-кодов был описан ' Питерсоиом в работе Ре1егзоп 11]. Другие декодирующие алго-, ритмы были предложены в работах Вег1е]еашр 1!1, Рогпеу П), Оогепз1е[п, 21ег!ег [! 1, Маззеу 121 до того, как Берлекэмп (Вег- ';, 1е(еатр 14!) и Месси (Маззеу 141) получили свой эффективный" алгоритм (см. также ~ 6 гл. 8 настоящей монографии). Для слу- ' чая малого числа ошибок этот результат был улучшен в работе " СЬеп С. 1. [2], Связь между непрерывными дробями; алто- 1' ритмом Евклида и алгоритмом Берлекэмпа — Месси изучалась в работах М]1!з (41, Реее(, БсЬо]1г, Тгцопн, ЪЧе)сЬ [! ), Реве],,' Тгцопн 14), Реес], Тгцопн, М]11ег 131, Же]сЬ, БсЬоНг [11.
Алто';,'! ритм Евклида и алгоритм Берлекэмпа — Месси могут быть танхсе „-';, использованы при декодировании кодов других типов (см. Пор))$,:;:4 [1], Не!нег! [1], Мапс1е!Ьашп [2), [31, Ра11егзоп ]к[. 3. [11, Йв4";;,л; 1ег (1), Багхна1е [! 1, Бцд]унта, КазаЬага, Н]газаша, Л[аше(гд', !~,':[ (11, [2]). В работе М(сЬе!зоп [1! рассматривались вопросы д дирования БЧХ-кодов с помощью ЭВМ. Процедура Ченя (ш в 9.50) была описана н работе СЬ]еп [1 1.
Коды Рида †Соломо начали изучаться в работе Реей, ~,)! 1ошоп [11. Дальнейшие результаты о кодах Рида — соломой[в,',Сз и их декодировании можно найти в работах Еш, Реед, Тгцопд [2~'„' "~ Мас%111]абаз, Ыоапе 12, сЬ. 10], Маиде(Ьацш 11], Реед, БсЬойа. '-,: Тгцопн, Юе!сЬ 1! 1, Реей, Тгцопн, М!!!ег [3], Реей, Тгцопк, '; %е]сЬ 11).
В работе В!аЬц( 1! ] приводится обзор применений дискретных преобразований Фурье при декодировании кодов Рида — '. Соломона и ряда других кодов. Информацию о реаерсианых кадах ' (см, упр, 9.33) можно найти в книге Мас%1!1(ашз, Ыоапе [2, ' сЬ. 71 и в работе Маззеу 11!. Класс полнноминальных кодов, включающий и себя БЧХ-коды и конечно-геометрические коды, Комментарии был введен в работе Казапп', [.!п, Ре1егзоп [!1 (см.
также Ое[- .аг!е Р. [2), Ооге, Соорег 11], Ре[егзоп, )кге!акоп [1, сЛ, 10)), Информацию о распределении весов в циклических кодах можно найти в работах Ванвег1, МсЕ[!есе 111, Вег]е[гавр [4, сЬ !61. СЛеп С. ) . 11 1, [)е[заг!е, Оое!Ла!з (! 1, Наг1вапп, и!е[г, !.опйоЬаггВ 1! 1, Наг!вапп, Тгепя, СЛ!еп 111, Не!]езе!Л, К!вуе, х!у[г]ге!!че!! [!1, МасТН!!!!авз, 5еегу 111, Мас%!1!!авз, 5]папе !2, сЛ. 81, Ре1егзоп, Же!акоп [1, аррепгВх О!.
Подход к задаче распределения весов. основанный на использовании гауссовых сумм !см, Вацвег[, МсЕ!!есе 1! ], МсЕ!!есе [51, МсЕ[!есе, Кцв,.еу ! ! () приводит к получению общего неравенства для весов кодовых слов в циклических кодах (Х!едегге!!ег 181). 9 3. Наиболее исчерпывающий обзор но проектпвным геомегрням над конечнымн полями приводится в работе Н!гзсЛ!е!б !51.
Конечные проектнвные плоскости рассматриваются также ао многих книгах по проективной геометрии, таких, как например. Ваег (! 1, В!Ыпепрпа] [1), Ногаг[ав [! ), НцйЛез, Р1рег (11, Р!серег! 111, 5ецге 16], НеЫеп, Уонип 1! 1. По вопросам конечных геометрий особенно рекомендуем А!Ьег[, 5апб!ег 111, Вегвап, Ггуег (! ), Сагв!сЛае! 14. сЛ.
! ! 1. Т)евЬочз]г! (21, На!! [61, ]8], Каг!езг! 1!1, 5еяге !21, На!да 1!1, чап !.!п! 12). Г!лоскость Фано из примера 9.55 впервые появляется в рабоге Еапо [! 1. Отсутствие проективных плоскостей 6-го порядка вытекает из работы Таггу [! ]. В работе ВгнсК Вузег (1! доказан полее общий результат, а именно если т == 1, 2 (вод 4), то конечная проективная плоскость порядка т может существовать голько в том случае, если т можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел (см.
также книгу На!1 [8, сЛ. 12!). Теорема 9.60 была получена в работе НеЫеп, Вцззеу 111. Свойства коняк и овалов более детально изучаются в книге Н!гасЫе]д ]5, сЛ, 7, 8); тем же можно найти доказательство теоремы 9,65 (!). Теорема 9.67 и следствия из нее были получены в работах 5едге !! 1. 18) (см. также Н!гзсЫеЫ [31). Связь с перестановочными таин очленами исследуется в работе Н!гзсЫеЫ !21, Для введения координат в конечной дезарговой плоскости бьв использован один метод из работы Гильберта Н![Ьег1 131.
Тех, кто интересуется задачей введения системы координат в проективной плоскости, отсылаем к работам А!Ьег1, 5апг[!ег [! 1, На!! [61, 181, где вводится понятие тернарноео кольца. Специальный класс тернарных колец представляют системы Веблена— Веодерберна. Если умножение в системе Веблена — Ваддерберна ассоциативно, то такая система называется почти-нолем (пеаг!!е!г]), Каждое конечное поле является почти-полем; все конечные почти-поля описаны в работе ЕаззепЛацз [! Ь Более подробную информацию о почти-полях можно найти в работе Р![г [1). Система Веблена — Веддерб:рна, в которой выполняются оба за- 15 Змс 243 Гл.
9. Праложоння конечных полей кона дистрибутивности, называется нолуполем или неассоциа»,:,''; 1 тивным кольцом с делением (см. А!Ьег! (21). Построение конеч'-а ных недезарговых плоскостей проводилось в работах А]Ьег1„" 5апс]!ег !1), На!1 (81. Нц8Лез (11, Кпц(Л [! [сйецшапп Н 111','~ ЧеЫеп, ЮеИегЬцгп [! ). Конечные поля использовались в статье Сготае (1]для построе" 5 ния конечных гиперболических плоскостей. Приложения конеч':.' ных геометрий к теории кодирования можно найти в работах3 Аззтцз, Ма!!зоп [2), Вег!екашр (4, сЬ. 15 [, Сап1егоп, чап ].!пг','. (! ], (2], Ое]заг!е Р. [11, 1 !и [! 1, Ре(егзоп, Же!г]оп 11, сЛ. Ю)„'(з Кцг!о!РЛ (11, 5асЛаг [11. 'т' ф 4. Большинство понятий, описанных в этом разделе, можнвг( найти в книгах по комбинаторике, см., например„На11 [81, КуФ3 зег [! ), 5!гее(, Фа!!!з (1).
Определение уравновешенной неполной блок-схемы можай( быть обобщеио следующим образом. Схема инцидентности наз вается бсхемой с параметрами (Ш !г, 8), если о ~ Й =- Г'=- 1 каждое множество из 1 различных элементов инцидеитно одном ' и тому же числу блоков, равному к. Тогда (о, и, к)-блок-схе совпадает с 2-схемой с параметрами (ш л, й). Наиболее значитель'„'- ной задачей в этой области является вопрос существования н6' тривиальных 1-схем с г ) 5 (тривиальной г-схемой является тазг кая схема, в которой каждое множество из й различных элеме,', тов является блоком). Важное необходимое условие для существования симметриФ, ных уравновешенных неполных блок-схем было получено Бр '„' ком, Райзером и Човлой, а именно: если симметричная (о, н, ф блок-схема существует, то (1) если о четно, то )г — ). является квадратом; х й (В) если о нечетно, то уравнение г' — — (и — ).) хл Ф + ( — !)<'-пl')у' имеет решение (х, у, г) в целых числах, не все из которых равны О. Этот результат был доказан в работе Вгцс]г, Кузег [11для слу"', чая Х = 1 и в работе Сйоч !а, Кузег (! ] в общем случае (см.
такжа'::,' На!! 18, сЛ. !0]. Кузег П, сЛ. 8], 131, 5Лг]кЛапбе П 1). Другие", результаты по схемам можно найти в работах Возе К. С. [2~'::~г ВПбйез, Кузег 111, Сашегоп !! ), Сашегоп, чап ] !п! [1], (21, ',~з ПетЬои з]г! (1 ], (21, Напап! [ ! 1, Нц8Лез ]21, ).йпеЬцт8 (1 )].4г Кузег (2), чап ].!п(, Кузег (11, Ж1!зоп '1! 1, [2]. Связь между „ схемами и теорией кодирования обсуждается в работах Аззтцз(;; Ма((зоп [! 1, 12], В!аке [21, Сашегоп, чап (.!п! 111, (21, Мас-", %!11!ашз, 51оапе (2]. Разностные множества из теоремы 9.79 были открыты в ра.",-. боте 5!пйег [11.
Поэтому они часто называются разнос ными ', мноокестеами Зингера. Прекрасные обзоры по разностным мно- ! жествам содержатся в работах Вацтег1 [1), НаП (51, [8], Мапп л Комментарии 659 [31, [41, 5!огег [11. Дальнейшие результаты можно найти в работах Вгис[с [11, Ечапз, Мапп [! ), Ссогдоп, МсПз, %е!сЬ [1), Най 171, [.еЛшег Е. 131, Мас%ППашз, Мапл [11, МсЕПесе [11, Мепоп [2), Тцгуп [11, %Ь!!ешап 1!21. Приложение некоторых разностных множеств Зингера к теории кодирования можно найти в статье ОгаЬат, Мас%ППашз 1! 1. Существуют интересные связи между разностными множествами, с одной стороны, и суммами Гаусса, суммами Якоби и циклотомией, с другой стороны. Эти связи отражены в работах Вапшег! [1, сЬ.
51, Ваитпег[, Егес!г!с1сзеп (11, Вацтег(, М!Пз, %асс[ [11, ВегпсП, СЬотч!а [!1, ВегпсП, Ечапз (! 1, СЬосч!а $. [41, Ечапз [41, 1!01, НаП [51, 171, ЕеЬтег Е, 13), Мапп [31, Мепоп !2), Мцз[са[, %ЬПешап [11, сйогег 111, %ЬПешап 1101, [1! ), Уашашо!о (31. По поводу латинских квадратов обычно ссылаются на книгу Оепез, Кеес[тмеП [11; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
