Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 29
Текст из файла (страница 29)
На каждой вертикальной или горизовтальной прямой графика биекции отмечена'одна н только одна вершина сетки. При стрелочном изображении бнекпии А — В из наждой точки, которой обозначен элемент множества А, выходит точно одна стрелка и в каждую точку, которая является обозначением элемента множества В, входит одна н только одна стрелка, б. 44, У к аз з н и е, Сначала нужно найти количество перестановок, которые оставляют без изменения по меньшей мере один элемент множества АЕ 7. б.7ь, 8. Пусть 6, н 6э — множества переставовок гр, которые удовлетворщот соответственно условиям (1)гр — (2)гр ) О и (Игр — (2)гр < О.
Понятно, что качгж,я перестановка содержится в одном из этих множеств, Поскольку отображевне множества 6ь на миогкество 6а в соответствии с которым каждой перестановке ! 2 3 ... и ф= гг (э гз ° " (и) из множества 6, ставится в соответствие перестановка /! 2 3 ... и ф= Оэ 1, (з ... 1„) из множества 6,, биективно (проверьте), то ~ 6, ,'=! 6,,'=и)12.
Дли (и — 1)! перестановки множества 6, справедливо равенство (1)ф — (2)ф — 1. и) Следовательно, существует - — (и — 1)! перестановок, которые удовлетворяют условию упражнения. (! 2 3 4 5) (а Ь с б е) 1 2 3 4 5 б (3 1 2 3 2 3)' 4. Вершина (а, Ь) координатной сетки при построении графика преобразования ф ф обозначается тогда и'только тогда, когда сушествует такое число с ги М, что на графике преобразования ф обозначена вершина сетки (а, с)„ а на графике преобразования ф †верши (с, Ь). 5. Допустим сначала, что ф — не перестановка.
Тогда найдутся 'элементы а, Ь ы М, а Ф Ь, такие, что (а)ф= (Ь)ф. Для них имеем (а) (ф 1р)=((а)ф)ф=((Ь)ф)ф=-(Ь) (ф ф), что противоречит условию задачи, Если ф — не перестановка, то множество образов элементов М при действии |р является собственным подмножеством множества М. Следовательно, элементы вида (а)(ф ° ф)= †((а)ф)ф, а си М, не исчерпывают все множество М, т, е. преобразование ф ф — не сюръекпия, а это противоречит условию задачи.
8, У к а з а н и е. Воспользоваться утвержденвем, сформулированным в предыдущем упражнении. /1 2 3 4 5 51 (! 2 3 4) (5 4 ! 2 б 3)' (,4 3 1 2)'. 8. а) Уравнение не имеет решений; б) уравнение имеет четыре решения: в) уравнение не имеет решений; г! 2 3 4) г) уравнение имеет единственное решение х=( $4 1. а) Нет; б) да; в) да. 2. а) Нет; б) да; в) да; г) ни одна из этих полугрупп группы не образует, 151 4. Таблица умножения абелевой группы симметрична относительно оси, которая проходит нз левого верхнего се угла к правому нижнему, 1, Нет. Если граф задает преобразование, то из каждой его вершины выходит одна и только одна стрелка. 3.
На графе произведения ф ф преобразований ф, ф множества М тачки, которыми обозначйны элементы а, Ь ш М, соединяются стрелкой в направлении от а к Ь тогда и только тогда, когда существует такая точка с, что на графе преобразования ф точки а, с соединяются стрелкой в направлении от а к с, а на графе преобразования ф точки с, Ь соединены стрелкой в направлении от с к Ь. 1.а)12; б)9. 2.1,2,3,4,5.6, 3.30, 4. (а» аэ-и ..., ат, а,). 6. Указа вне, Рассмотреть перестановки (3 4 5 '1 2)' (4 5 1 2 3)' 8! 6. — .
У к а з а н и е, Воспользоваться решением упражнения 11, 3 5' 4 5. 9. Если перестановка ф имеет разложение ф=(а„..., а,). (Ьм ..., Ь,)..... (см ..., с,) то цикл ф определяется так: Р=(а„Ь„..., с„ам Ьм ..., им ..., а„ьц . „с,). Убедитьсн, что справедливо равенство фг ф. 1. 'Ук а за н не, Доказательство легко проводится индукцией по числу л. 2. Достаточно проверить, что любое цреобраэование из Р (М) можно разложить в произведение перестановок из 3 (Л4) н преобразования а.
Это проверяется в несколвка шагов: а) умножением сс справа или слева на подходящую перестановку можно получить всевозможные преобразования, переводящие какие- либо два элемента множества М в один н тот же его элемент; б) из таких преобразований конструируются преобразования множества М, переводящие некоторые й элементов множества М в один и тот же элемент, а все остальные элементы оставляющие на месте (й ( ~ М ~); в) очевидца, что любое преобразование нз Р (М) является произведением преобразований вида б). 3.
а) (1, 3, 4, 7) = (1,3) ( 1, 4) . (1, 7) =*(1, 2) (4, 5) (5, 6): (6, 7) . . (6, 5) .(5, 4) .(4, 3) .(3, 2) (г, Н = (7, 2) .(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)-з (1, » . ° (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)-т . 11> 2) .(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)-т . (1, 2) .(1, 2, 3, 4, !52 5, 6, 7) т. (1, 2) (1, 2, 3. 4, 5, 6, 7) (1, 2) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) . (1, 2) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) (1. 2) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) (1, 2). 4.
Сеть дорог можно рассматривать как граф с л вершинами, Наименьшее число обязывающих дорог отвечает тому, что граф— дерево. Поэтому достаточно провести л — 1 связывающих дорог. 8. ла-з, 9. Да, 1О. Да. 12. Из равенства (й /, й)=(/, /) ° (~', й) вытекает, что (/, /) (/, /, й) ° (/, й), Прн фиксированных С й получаем, что транспознцин вида (1, 1) (1 — фиксированный, / — произвольный) можно выра- вить через отмеченные перестановки. Осталось убедиться, что множество таких транспозиций является системой образующих 3„, 1. Указа н не.
Для произвольной перестановки се ш Т существует натуральное число 1, такое, что ст'=з (например, равное порядку этой перестановки). Отсюда а '=ссгы. 2. Группа 34 содержит 4 трехзлементных подгруппы: (а,(1, 2, 3), (1, 3, 2)), (е, (1, 2, 4), (1, 4, 2)), (в,(1. 3, 4), (1, 4, ЗП, (а, (2, 3, 4), (2, 4, 3)), 3.
Подгрупп второго порядка в Яь столько, сколько имеется перестановок из Яз порядка 2. Перестановка имеет порядок 2 тогда н только тогда, когда она является транспозицией или произведением двух взаимно простых транспозиций. Следовауельно, таких перестановок С,'-)-С,' С,'=40. 4.
Четверная группа Клейна содержит 3 нетривиальные собственные подгруппы — любой ее неединичный элемент вместе с тождественной подстановкой образует подгруппу. Цинлическая группа Сз содержит одну нетривиальную собственную подгруппу, а С, не содержит нетривиальных собственных подгрупп. 8. Центр Зз совпадает с тривиальной подгруппой (з). Центр С„ совпадает с С„.
9.2,3,4,5,6. 10.30, !. Проверить, что вращение сз правильного л-угольника вокруг центра 'на угол-2я/л и симметрия 5 относительно любой из осей не коммутируют, т. е. сс ° 5~5 ° а. 2. В группе Р, имеются (без учета е) лишь элементы порядка 7 (неединичиые вращения) и элементы порядка 2 (симметрии). В группе Р„среди вращений имеются: один элемент порядка 2 (угол я), два элемента порядка 4 (углы п/2, Зя/2), 4 элемента порядка 8. 3. Системы образующих группы Р из двух элементов порядка 2 существуют.
Такими будут, например, симметрии относительно осей, образующих угол 2я/л. Оня, очевидно, неприводимы, Неприводимые системы образукхцих Р», состоящие из разного количества перестановок, существуют, когда и†непростое число. 5. Да. 8. Центр группы вращений тетраздра — тривиальная подгруппа. 10. Группа симметрий прямой призмы, в основании которой лежит правильный п-угольиик,— это группа Р„, одинаково дейст. вующая на множествах вершин верхнего и нижнего оснований, а ее группа вращений-подгруппа Рл, совпадающая с С„, 153 й 18 1. Если )6 ~=!6,(=2, то группы 6„=(е,, йт) и 6з=(ез, яз)— циклические н соответствие е,-ез, я,— яз является изоморфизмом этих групп, Если , '6т(=; 6, ~=З, то группы 6,=(ем дм й,), 6з=(е„д„йз) тоже являются циклическими н любое из соответствий ез — ~, йд — яз, Ь, — 1М либо ег ез, и, де йх пз является изоморфизмом этих групп.
2. У к а з а н н е. Установить сначала, что в группе, состоящЕй нз четырех элементов, могут встречаться лишь элементы порядков 2 и 4. Затем рассмотреть возможные случаи. 4. Стабилизатор любого элемента регулярной группы перестановок является тривиальной подгруппои. 7. У к а за н и е.
Проверить, что композиция изоморфнзмов, т, е, их последовательное осуществление, тоже нзоморфизм. й 11 1. Разложения Яз на правые и левые классы смежности по под. группе В совпадают. Зто строки из е ) (1, 2, 3) ) (1, 3, 2) (1, 2) ! (1, 3) ! (2, 3). Разложениен Яз на правые классы смежноств по подгруппе А будут строки из в (1, 2) (1, 3) (1, 2, 3) (2, 3) ( (1, 3, 2) а ва левые — строки из в (1, 2) (1, 3) (1, 3, 2) (2, 3) (1, 2, 3) 3. Если Н вЂ” подгруппа индекса 2 в группе 6, то множество 6 ) Н является одним нз двух классов смежности (как правым, так и левым). 4. Указа н не, Убедиться, что в Бм есть подгруппа такого порядка.
5. 1, 2, 3, 4, 6, 12. В группе Огз существуют перестановки порядков 2, 3, 6 (без учета тождественной перестановки). 6. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. В группе Я, существуют элементы порядков 2, 3, 4 (без учета тождественной перестановки). 1. Стабилизатор вершины в группе 6 состоит нз трех вращений куба вокруг диагонали (на углы б, 2п/3, 4п/3 по часовой стрелке). 3. а) Очевидно, имеем вщ ° м ° е=м; б) если у-т а ° у=(), то (у з) з ~ ° у э=а; в) если у т ° ст ° у=() и б г ° (1 ° В=п, то (у ° б) г ° ° а (у. )=я. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
