Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если перестановки а, () сопряжены с перестановкой у, то они сопряжены между собой, Поэтому множество 6 разбивается на наи. 154 большие возможные подмножества попарно сопряженных между собой перестановок, Пусть Р>, Р— два таких подмножества, причем Р,ПРз~!Т>, Тогда найдется такая перестановка >х, что пшР, и аш Кэ. Она сопряжена со всеми элементами из Р, и со всеми эле. ментами из Рз. Отсюда получаем, что все элементы Р,ОРз между собой попарно сопряжены.
А это противоречит выбору Р,, Р,. Сле. довательно, Р,() Р,= >т>. 5. У каза н и е. Можно воспользоваться решением задачи 7. 7. У к а з а н н е. Воспользоваться тем, что сопряженная перестановка к циклу тоже цикл; (1 2 ... й) т (1 2 ... й — 1 й) (1 2 ... й) а сопршкенная с произведением взаимно простых перестановок совпадает с произведением сопряженных к каждой нз ннх, 10. Проверить, что существуют перестановки, переводящие данную грань в любую другую. Стабилизатор грани совпадает с группой вращений куба вокруг оси, проходящей через центр грани н ей перпендикулярной. 4 14 2. Группой инерции многочлена»(х>, х„хэ, х,) является циклическая группа порядка 2: (а, (2, 4)).- 3.
Группа инерции мкогочлена А(х,, х„хэ, ха) состоит из 12 перестановок. 4. Доказательство. Рассмотрим многочлев»(х>,х,, ..., х„)= =хд+2хэ+...+пх„. Его группа инерции тривиальна. Кроме того, для каждой перестановки пы йш пчье имеем»о~А А поэтому для произвольной подгруппы 6=(а,, аз, ..., сса» группы З„многочлен » >~ ' ...» а=В(хм х,, ..., х„) инварнаатен относительно действия тех и только тех перестановок, которые входят в подгруппу О, 5.
оа(х',хэх,'ха) содержит шесть одночленов. л! 7. оа(хтх,...х>), 1(п, содержит С! = одночленов. "=В (и — 1)! 4 15 2. 5. 4. Подгруппа, которая содержит три элемента. 5. Центром группы А„является тривиальная подгруппа (и ) 3). У к а з а н и е. Доказать, что каждая четная перестановка, которая коммутирует со всеми циклами длины 3, тождественная. 7.
Указа н и е. Воспользоваться равенствами (>', 1, й)=(>, ») ° . (А й), (>, 1) ° (й, 1)=(1, 1, й) ° (Р 1, й), где >, /, 1, й — разные элементы множества (1, 2, ..., и). 8. Да. О. Указан не. Доказать, что прн умножении перестановки на транспозикню четность числа инверсий ее второго ряда изменяется. 10. У к а за н и е. Воспользоваться тем, что число Та перестано. Ф вок множества из и элементов, вторые ряды которых содерягат ровно й инверсий, удовлетворяет соотношению т'„=т„', + ть„— ', +...+ та„— ", + ', и — ! где Т'„=0 для 1 ~0 или 1 ~ —. 2 155 !1. Указание, Разложить каждый цикл в циклической форме записи перестановки в произведение транспозиций и подсчитать число чранспозиций, 6 16 1.
а) э, = о,' — 5о,'ох+ 5отоээ; б) ц = о', — 4а',от+ 2оээ+ 4отоэ' в) оэ(х(хэ)=о,о,— Зо„; 2. а) ((4; 16), -(16; 4)); б) ((2; 3), (3; 2), (2; — 5), ( — 5; 2)); в) ((1; 3), (3; 1)). 3. Указание. Выразить сумму попариых произведений длин сторон треугольника и произведение длин всех его сторон через даи. ные числа и воспользоваться тем, что в формуле Герона под знаком корня стоит симметрический многочлен.
4. У каза и не. Для многочлена /(х,, х,) рассмотрите одночлси ах~ха~, у которого показатель степени Ь наивысший. Если таких одночленов несколько, то нужно взять тот, у которого показатель 1 наивысший. Докежите, что одночлен с такимн свойствамн не может уничтожаться при переходе от /(х,, хэ) к /(ха+хм хгхэ) 6. Действительно если в многочлене /(х,, хт) поменять местами х, и х,, то он, с одной стороны, ие изменится, а с другой †измен знак на противоположный, Значит, /(хм хт) = †/(х,, хт), т. е.
/(хм хг) чождестзенно равно О, 6. Указан ие. Докажите, что /(хы хз, ха)=4шах(х,, ха, хз), $17 2. Разделим многочлен /(х) на х — и с остатком, т. е, запишем равенство /(х) =(х — ге) я(х)+г, где г — некоторое число, Подставляя в это равенство вместо переменной х число а, получим верное чис- ловое равенство: /(и)=(а — п)я(и)+г. Отсюда г=/(а)=О. 3. 'У к а з а н и е. Согласно упражнению 2 многочлен / (х) раскла- дывается в произведение /(х)=(х — йт) (х — 5а) ...
(х — $„). Раскры. вая скобки в этом произведении и приравнивая коэффициентм прн одинаковых степенях х в правой и левой части после раскрытия скобок, получим требуемое. 4. У к а з а н и е. Воспользоваться основной теоремой 4 16. 5. Числовое поле образуют все действительные числа, все числа вида а+Ь г' р, где р — простое число, и многие другие числовые множества. Однако, любое числовое поле содержит поле рациональ- ных чисел Я (поскольку оно должно содержать О н !), Всевозмож.
ные числа вида а+Ь Г'3 образуют числовое поле, поскольку сумма и разность чисел такого вида снова будет числом такого вида: (а+Ь)ГЗ) -в-(с+3) 3) (а-а-с)+(Ь ч-гОРгЗ. Для произведения и частного чисел такого вида имеем (а+Ь Г'3) (с+3'Г'3) (ас+ЗЬй) +(шг+Ьс) Г'3, и+Ь ф'3 (а+Ь г 3) (с — о ЬгЗ) ас — ЗЫ Ьс — ш( — + ЬГЗ, с+а у 3 са-ЪР, сэ — М' сэ-34э где с+3 г' 3 чь О. То есть это числа такого же вида, н, следовательно, множество таких чисел образует поле, 156 6 18 4. а) Да; б) нет. '5. Указание.
На каждой фишке вапишем новый номер по следующему правилу. Если старый номер 14 (!5), то новый 15 (соотвештвенно 14). На всех остйльных фишках новый номер совпадает со старым. Сами же. фишки передвигать не будем. Размещение фишек с новымн номерами характеризуется четной перестановкой и поэтому от аего можно перейти к стандартному относительно новых (!) номеров. Но стандартное размещение относительно новых номеров †э требуемое размещение относительно старых номеров.
6. Указа н ие. Занумеровать буквы в том порядке, в котором они стоят в фразе «игра в пятнадцаты. Учесть, что среди этих букв есть одинаковые †бук «а», и воспользоваться решением предыду. щего упражнения. 6 19 2. (6», й», ..., йю !м 1», ..., 1«). :.х'В-'"' ( ° » * » ° ° ) (1, 1) (1. 2) (1, з) (2, П (2, 2) (2, з) (з, П (з, 2) (з, 3)) (2, 3) (2, 2) (2, 1) (3, 3) (3, 2) (3, 1) (1. 3) (1, 2) (1, !)» =( ) 1 2 3 4 5 б 7 8 9) б 5 4 9 8 7 3 2 1!' 5. Пор.
(ах»1)=К (пор. а, пор. В) 6. К=(а, (1, 2)»Я(в, (3, 4)», 5= (а, (1, 2)) х [е, (1, 2)»; при рассмотрении перестановок из Е нужно учесть естественную нумерацию элементов множества (1, 2»х(1, 2». 7. (аО+В)-»=а 'О+В ' (ах В) '=а их В ' ' В»" В»' "'' Ва» [~ ' Вп!а-» В<2)а " "'' В(ыа-'». И. Группа симметрий многочлена / является сплетением 5»а 5„ для которого естественным образом определено действие на множестве (1, 2, 3, 4, 5, 6» номеров кортежей нз (1, 2»х(1, 2, 3». 6 20 1.
а) Меняются местами вредине кубики (фи, фн) и (пв, пн): б) меняются местами угловые кубики (флв, фвп), (пнт, фнп). 2. Обе перестановки имеют порядок 6. 6. Прямые суммы аОЬВ перестановок ашЯ„ВаЯ«», таких, что аЕВ,— четная перестановка (т. е. а и В имеют одинаковую четность). '7. Проверить, что имеет место равенство (1, », й) =((1, !) (», й))'. 8. КоммУтант ба совпадает с Ал, Указа н и е, боспользоватьсЯ решением предыдущей задачи, 10. Можно, СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Подробное обсуждение понятий отображения и преобразования можно найти з книгах: Кемени Дж., Саелл Дж., Томпсон Дж.
Введение в конечную математику. — Мл Л!ир, 1965. С о й е р У. Путь в современную математику. — Мл Мир, 1972. Ф р е йде н та л ь Г. Математика в науке и вокруг нас. — Мл Мяр, 1977. К о к сете р Г. С. М., Грей тце р С. Л. Новые встречи с гео мстрией. — Мл Наука, 1978. В последних двух книгах изучаются геометрические преобразова. ния. Много комбинаторных задач, связанных с понятием преобразования и перестановки, есть в книгах: Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И.
Эле. менты комбинаторики. — Мл Наука, !977. В и л е н к и н Н. Я, Популярная комбинаторика. —.Мл Наука, 1975. Калбертсон Дж. Математика и логика цифровых устройств. — Мз Просвещение, !965. Г и к Е. Я. Математика, ва шахматной доске. — Мл Наука, 1976, Р е н ь и А. Трилогия о математике. — Мл Мир, 1980. Подробнее ознакомиться с теоретико-групповыми понятиями можно в следующих книгах; Гроссман И., Магнус В.
Группы и графы.— Мл Мир, ! 971. Алекса яд ров П. С. Введение в теорию групп. — Мл Наука, 1980. Ф р и д Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. — Мл Мир, 1979. Изучению явлений симметрии в различных разделах естествознания посвящены книги: Дмитриев И. С. Симметрия в мире молекул. — Лл Химия, 1976.
Кр а си иов В. Б. О симметрии в биологии. — Лл Наука, 197!. В ей ль Г. Симметрия. — М, Наука, 1968. Узоры симметрии: Сб. переводов(Под ред. акад. Н, В. Бело во и проф. Н. Н. Шефта ла. — Мл Мир, 1980. Ша с кольская М. П. Очерки о свойствах кристаллов. — Мл Наука, 1985. 158 Коми а не ец А. С Симметрия в микро. и иакромире. — Мл Наука, 1978. Болтянский В. Г., Виленкин Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
