В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 24
Текст из файла (страница 24)
вертого порядка 7,=<а> и так называеыая четвертная группа Клейна У, с таблицаыи Кэпи (сн. соответственно табл. 2.2а и 2.2б1. Таблецз 22» Таблена 22Э ! а ~ Ь ь е ед г=а' а* Ы=гз е Оказыяаегся, что с точностью до пзоыорфизыа сныыетрическне группы описывают все конечные группы. Теоаеыа 2.0 (георема Кали). Всякая конечная грулла порядка а изоэшрфяа иекогорол ладгрулае симметрической груп лы 5.. Пусть С вЂ” исходная группа порядка л, у~=е, уь ..., у„— ее влененты. Я вЂ” симметрическая группа порядка л, которую можно считать группой всех биекцпй иножестга С в себя, таю как природа элементов.
составляющих отображаемое ыножест. 'во, несущественна. Для любого элемента аахС рассыотрны отображение Ды 6-е -ь6, сжтоящее в уынажеини всех элеыснтов из 6 слева на аг (би) =айь П2 Тогда а, абь ...,аᄠ— Разлн шые элементы гРУппы 6, тэк как эб~=аб»п-'(адд)=а-'(абт)»(а-'а)ЬЧ=(а-'а)бг»бг бн п, сдедовзтельпо, снова составляют всю группу 6, оглпчаясь от Нь бт...., 2 лишь расположеннем элементов. Значит, Е, — бпек. генное отображение (подстановка); обратным ему будет отображение Ь гь бэ- . а елнннчным отображением является Уь Нследств:ш ассоняатпвностп умножения в С имеем Ь ь(д) (аЬ)2=а(ЬН)=( (lь(2)).
Отсюда следует, что множеспю Н=(ь» Ух, -., Ек„) образует яозгругку в группе всех баектнвных отобразкеппб множества 6 о себя, т. е. в 5 . Тогда отобрагкенне чю 6 НшЗ„такое, что гс(о) =Е, доя любого аш6 есть нзоморфпзм, посхотььу р (об) =(.э=6.(п=2.пэ.
2.1.5. Смшяные классы по подгруппе. Нормальные делнтелн. Фактор-группы Пусть 6 — подгруппа группы 6. Левил с.земны.х ххасгоз: 6 но Н назхзается множество НН всек элементов нпха 22. гхе П вЂ” факсг:, ованный элемент нз 6. а Ь пробегает зсс эхснснты подгрупны Н. т.
е а((= (уд(дезн). Лрсеьа анапимгт класс определяется аналогично: Н; = (ту((ншН). Зовет:.х, что ахнпм эз смежных классов является сзмз нод. группа Н; Н=Не=еН. Таоречз 26. Лвп левым смежных ююсса 6 по Н хиоо ме пгршгш юге., либо гоэпадшот, н множество ленью слглгх мх.гтлпггое оброзггг рабггэние 6. Дейстептельно. пусть классы 2,Н п бхН имеют обшад элемент п=ь.(гг=б Иь Тогда бг=б~д1йг ', п люппа элемент бхт кжсса.бьНг «ивет впд НАЬ» Рп где Ьбг 'ЬшН. Знэчнг. б Нтш »2,Н. Дазлогнчво доказывается, что Н,НшбхН, и. слсховатеты но, этн ю зссы совпадают.
Так яз:: любоб элемент Ншб содержатся в смежном классе 2Н, то ьлгхжество левых смежник классов образует разбпенае '6 6=()дН, Поскоську каждое разбиение порождает отпошенпе эквивалентности, то нз теоремы 2.7 вытекает Схедстзхе. Отношение прннадлежностп к одном> левозгу смежному классу есть отношенне эквивалентности. Двэ злгхкнта бь бэш6 лежат в одном левом смежною классе 6 по и то.ха и только тогда, когда 2 Ножн. Действэтс.таас. и-1зтз 313 пусть й шйН, 2 щйИ. Тогда й, Иль й,=йй, «-йг 'й, =Ь« 'й 'й, Ь -'а'бй,=я«ыь Н. Если й,мй,щИ, то д й (и й,)шй*И. Отсица согласно следствию из теоремы 2.7 сс гнщпенне хррчмр-'хшН зпаает отношение эквнвааеитности на 6. Множепво .«свих сиежнык классов 6 по Н обо«вачаетса 6/Н.
Это есть множества илассов эквивалентности во отношению р, т. е. фаьтор-множество 6/р. Мощность мвожества СН! нааывается ггндехсои подгруппы Н в группе 6. Аналогичные утверждения выполняются и дл» правых смежных илассов Одной из важных теорем теории групп является Теорем» 2.8. (теплело Ли«роища). Сержу«коке«ко«! грр .
лм религс вп порядок каждой сваей ладгрдлщк Пусть порядок грунин С равен л, порядок иодгртппм Н равен Ь. Из теоремы 2 7 вытекзсг. по 0 сеть объелпнснпе непересскающнхс» левых смежных кл ссов 0 по И. Пусть ! — число левых смежныч классов, т. е. индекс попгрунпы Н. Тоглп л=э!1 Множество левых и правык смежнык классов группы по одной н тай же полгруппе, вообще говоря, развит!го. Пусть 5— сиыиетрнческая группа порядка 3, Н вЂ” подгруппа, «юрождсниая злеиевтом (12), Н ( (12) ). Тогда 5, разбивается на следующие левые смежные илассы по Н: (е, (12)), ((131, (123)).
(123), (132)) и следующие правые смежные классы по И: (е, (Рй ). ((!3). (!32)), ((23), (123)). одгруппа Н иазывавкк иорлальиым делителе» группы С, если множество левых смежных клащов 0 но И соввадэет с множеством правых смежных классон. Это означает. что длэ всякого элемента дшС ИН=Нй, т. е. лля всякого элемента йщб н для всякого элемента ЛшН можно подобрать такие элементы ЬТ Ь'щН, что йй=д'й и Ьй=йяд Очевидно.
что если 6 — коммутатиена» группа, то любая ее полгрунва яэлиется нормальным делителем О. Под произведением двух подмножеств А и В группы 6 принято понимать множество всех элементов группы 6 вида лй, где ащА, йгиВ. Тогда, если Н вЂ нормальн делитель, провзвсленве пвух смежных классов явлапся смех<ими клас ом, т. е. й,Нр,Н=й,б,Н е силу ассоииатпвности и равенства 2,Н Нй.
Таннм образом, во множестве смежных нлассов грунин С по вориальному делителю Н определена операция уыноагсння. Дл» того чтобы найти произведение двух смежных классов. надо произвольным образом вибрать в пих по одному представителю (каждый смежный класс порождается любым своим элементом) и взять тот смежный илвес, в котором лежит произведенве зтиа представителей. Если Н вЂ” нормальнмй делитель С,то фактор-множество С(Н. т.
е.миож«ство смежных классов 6 по Н. являетсв группой, ко. тора» называкгся фактор-зррюгой. г«4 Действштльио. введенная выше операвдя умножении смежцых шшссоа ассониативна, роль едимнпы играет сама подгруппа ИгдИИ НУН=Н//1 для смежного класса рИ обратным будет смежный класс й-/Н, так как йыр-'И =сН=И. Пример 2.0.
1. Пусть И=(2, +, 0) — адлнтивная группа целых чисел, Н вЂ подгруп чисел, кратпых к Тогда б/Н вЂ” циклическая группа порядка л Ока пзоморфна грузие «лаосов вы'наов по модулю числа и (сы. пример 2.2, п. 6). 2. В сиимстрнчсской группе 5 знвкопсремеппая подтрунив А «пляется нормаланым делителем, фаптор-группа 5 /Я— циклическая группа порядка 2. Заметим. что фактор-группа И/Н абелеиай группы — абелева: р,//-/ИЙ=У»6*И=2„д,Н=й,Н р, Н.
Фактор-группа циклической группы в пвктичеспая. Действительно, пусть б=(а), йН вЂ” снежный класс. Тогда для некоторого Ь имеем й=а» и лН (аИ!» Задачи к упражнения 1. Доказиь, что ((О, 1), й) и ((О, 1). ) — моионды. Указать саииичные злечситы. 2. Доказать, что (Е, 24), где хзйр=хр+х+р, — моионл. Найти все обратимые элементы. 3. Написать таблицу Кала и выяснить, являются ли группой: а) вращения пвалрата; б) симметрия квадрата; в) симметрии ромба; г) симметрии прямоугольнипа. 4 Пусть а и 6 в произвольные элементы группы б. Доказать, но каждое нз уравнений ах — Ь н ра=р имеет и притом единственное решение в данной группе. б Пусть аа=с дли любого элемента а группы П.
Доказать, что И еомпутзтипна. 6. Доказать что любая группа порядка 3 является коммутатчяноц 7 Пусть а †элеме конечного порялка а. Тогда порядок циклической подгруппы (а) равен а. й. Разлокапь подстановки ( 12346676 ! /1234367 ) 32473618 /'17621433 а прпнзведенне незавпсиыых пиклов. 9. Найти порядок подгруппы, ворожлспиой подстановкой )1 2 З 4 В) 1О.
Пушь Н вЂ” множессио полстаповоп группы 8 . Будет ли таю подгруппой в сзедуюшнк етучаях: 1($234 )'12143 )'!3412)' 14321 Н' 11 б) -; ! ! газ ) !! гвз ) ! ззз ) !! гзз !!р 11. Озчсать все подгруппы свымвгрнческой группы 5». 12. Кайте же (с точностью ло изоморфизма) группы, содерж мвс сва п трв элемента. 13.
Каю»е вз стслующпх групп нзоморфны: а) грунпз вращенпг квадрата; б) группа саиосовмещеннб ромба; в) группа самосовмещсеэй нрямаугольпвка! г) груши нлассав вычетов по малуто 4? 14. Опксывая саыссовмешення следуюшпх геометр»шескнх ф»пуа подстановками на мнажестне вершин. указать: а! группу вращений тетрвэдра! б) подгруппы этой группы, нзаморфные цнклнческод группе втосого н третьего порялна; ь) гр»впу вращеняд куба. 13. Лохазать, что пересечение нормальных делнтелей есть кормасьсыб делитель.
13. Лаказать, что любая подгруппа индекса 2 есть порыальс !.. Определнть множество правых к левых смех»ных нлас. сав саыхстрнчссной группы 5» по Н= ((132) ). Доказать, чп! Л вЂ” нога шьный дел»пель. 13. Доказать, чта множество 2 всех элементов группы О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
