В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 23
Текст из файла (страница 23)
что любое такое преобразование есть композиции вращений вокруг точии 0 и осевых симметрий. Напримеу, при л=З группл самосовмещений правильного треугодьиика сэ стоит нз вращений Вз, фь рз против часовой стрелки иа углИ' 2л .4- О, — и†, которые переводят треугольник в себя, н трех спмт 3 3 метрий йщ фь фз относительно осей симметрии Зь 54, Зв (рис. 2.1). Из геометрических соображений попнтио, что 4Г4'* 106 с= ге, РЕ=е, (Ргф)* е, в элементы Чь фь Рг выРажаютса иерю В~ в Игг Рт Р'г.
Рг ргуь Рз=ргу~г. Если группа ссстовт на коычного числа элементов, то она дазывается опечпод, а число ее элеиентов — порядком группы. В грстнвнон случае группа называется бесконечной. 2,!.3. Циклические группы. Груипы пщгсммювок Птсть 6 — группа, И н Р— ее подгруппы. Тогда пересегеннс Э=ИЛЕ непустое, поскольку оно солержнт едннкчный элемент. Ю также «вляетс» подгруппой группы 6. Дейсгвнтельно, селе эяемевты а н Ь принадлежат Л, то нх произведение н обратные лм элементы содержатся как в И, так н в Р, н поэтому также орннадлежат 6. Анзлогвчао доназиввепж и следующее утвержденне Теорема 2.!.
Лересечеиие иабого лпожесыа подгрупп груллм С само является подеру ой этой группж Пусть 5 в пронэвсльное вепустсс полмнсл естзо группм 6. Рассмотрви всевозможпые подгруппы С, которые содержат 5 в вэчсстве подмножестве. Одной ю ннх будет, в частносгн, сама группа 6. В силу теоремы 2.! пересечение всех танях подгрупп будет полгруппой 6. которая называется полгруныой, по. роидеппой множеспюм 5.
н обозначается (5). Есдн множество 5 состоит нв одною элемента а, то порожденная нм попгруппа (а) паэываегся цикяпческой подгруп. гюй. порождевной звене!пои а Обозначнм (а-')"=а-г. Теорема 2.2. Циклическая подгруппа (а). порожденная эюлепгои а, аытонт пз есех степеней елеяепто а. Заметим, что всс степенл элемента е принадлежат попгруппе (а> н пля любого пелота й (а-')-» а". С другой стороны, этн сгеоенн сами составллют водгруппу, так «вк а а"=о ', а'=е, а обэзтпым элементу а" является элемент а . Действнтельно, «егругно домазать, по для любых целых ю н л а а«=а; (а ) а ".
Для натуральных ю в и это следует пз союноюенпй (02). Есзн пг(0, п(0, то о о =(а-'г)- (а-г) =(о ') г г >=а гд Если и(0, л)0, то а а = (а-') а" = (а-г а-') (а ..а) = — Эзэ Р г г(о- )-" ". если и( — т вто Уый гп)0, п)0 аналогичен прелыдужему. Докачатезьспю торого равенства предлагается провести самостоятельно.
!от Группа, совпадающая с одной из сво~гх цаклнческнк подгрупц. (т. е. состоящая из степеней одного нз своих элементов), аввы., ваетсн Пгисэической, а элемент, нэ степеней которого озспнп циклическая группа, — ее обрсзуюшим. Всякая цикл«чесма« группа ггоммутативна. Пример 2.3. 1. Группа (Е, +, О) — ш~клическая. Ее образующий зле! мент — чвсло 1. Это бесконечная группа. В качестве ее образу! ющего ыожно «зять н часло — 1.
2. Рассыотрим множесг«о гхпадрвтных натрии второго порядка с целыми элемшгтамн и аоре1елитслем. равным 1. Эта группа относительно операции умножения матриц (покажите сами). Тогда матраца А= (' ', ~ порождает бесконечную цнк. !О! лпческуго подгрупву, прп эгох А" 3. Длв группы самссовь:е:цеикй правильного л-упиьпика (см. пример 2.2. и, 8) подгруппа вращений относительно цент. ра — точки 0 состоит нз поэоротов на углы !э=О, в~= —... як к в„,= (и — 1) — против часоьой стрелки. Это циклическая подти группа порядка л, порожденная зле«сигом Еь Из шомстричес. ких соображений ясно, чю ш=йг', йь Г=йг и щ"=чч — Ед« «ив~же преобразовзнве.
Теорема 2.3, Всякое лсдгж чав циялическсл грулпм сома циклическая. Дсйсгввтцтьно, пусть Н=.(п) — циклическая группа с образующим элементам а н Н вЂ” подгруппа Гп отличная от сдан гч. «ой. Предположич. что наименьшая положительная степень эле; мента о, солержашняся в Н, епь о". Тогда коз) Н. Дапуст«н, что в Н сахерж«тся элемент а', где !чьО и ! нс делится нн й. Тогда, если б — па«большей общий делитель чисел й и 1, сушь ствуют тзкпс аелые числа и н '-, что ли+бе=ш и, следователь-„ но, в Н должен салеръагьсз элемент (и")" (а')" ай Но тях как И(й, то приход«н к зрмпеоречию отпоснтельно выборе элемента ад Следователыю, Й=<аь). Пусть б — произвольная группа, а — некоторый се элемент. Если все степени элемента а резшшны, то говорят, что элемекг' а имеет бескокечнып порядом Если лля некоторых и и л, тле глчьл, о =а", та а'" 1 =е, т.
е. существуют положнтельнык степени элемента 'а, равные едииичиому ваементу. Пусть д — ' на«меньшее положительное число. для ноторого пе и. Тогда говорят, что о — элемент кокгечозо порядка Е. Рассмотрим еще один вавгимй «ласс групп. Пусть Х вЂ” «овечнсе множество из л элементов. Группа асмо бискций множества Х в себя называется скипетра'юской груп.
пой степени ц Без ограниченна общности можно считать, что множество Х состоит пз алексисов (1, 2, ..., л). Каждая Опеках!) !оз , Х К называется гюдстаиоаиоа и записывнегся символом г!2...иу ), где под элементом й, 1(й~л, запювн его обраа (,и...! е(й) =й. Пропзвеленнем подстановак является композиция отображений (рр) (й)=в[!)[2)). Например, для иодсганавок р= (!234 ) ир '(!2З4 ) н„ез р (!заз ) В ме время Ре= ( 1 4 3 4 ), так что еч~ФФа. единичную (тождественную) подстановку обозначаем е= ( 1 2 ". '„'). Симметрн- ! ! 2 ...
з ' ческая грунин степени л обозначается 3, 11 содержит л! ззепентов. Пример 2аи Групп» Зг состоит ю следующих шести элементов: а — е (! 2З) а (1 23) а (! 23) и (233) Для полстааовкп и= (1 - имеем 114эат) (! 2 3 4 3! . з (1 2 3 4 31 (13324Г" (12343/ Тогда и (2) =4. и' (2) = 5,;с (2) =2.
В подстановке и элемеигм ! и 3 остаются иа месте, злемеит 2 переходит в 4. элекеыт 4 — в 5, а элемент 5 в сиона в 2. Такая полстановка назыеаетсл циклом (245) длины 3. Этат же цикл можно записать н такг (452), (524). В общак случае подстаиаикв п, перемещающая элемюггы (г, (», ..., В тэк, что з ((г ) =( г, , , :г ((з-~ ) =(ь, и ((ь) =(~ (т. е. пь ((г ) = =(гь глс й — наименьшее число, обладающее этим сюйством), и остнвлнющзя на месте остальные элементы, називается циклом ллпны й е обозначается ((», (ь). Циклы называются независимыми, еюп любые лва нз нпх не имеют общих переставляемых элементов. Теорема 2ли Ацыдач ладсгалозяа а 3„леляетсл произеедаиагм игаеаиси ых циклов Раз гахеиие лсдсгаиоеии е произведение циклов д.пеги ~2 определено однозначно с гочмосгью до порядка циклов.
Два «лемента 1 и ( множества Х называются эквввзлентиыии относительно подстановки ч, если (=и'(() для некоюрого целого чпсла з. Введеинсе отношение есть стношенпе эквивалентности иа множестве Х. Оно разбивает множество .\ ю классы эквнвалентносгя по этому отношению: К=.Х,('Х,()..4)Хр. Каждый элемент гс:.Х првналлежнт одному в толью одному навесу Хг, причем множество Хг состоит нз образов элемента г ппи дезствви степеней подстановки кгхг=(ь п(1), лз(1, ..., 1 (1)), где Ь вЂ” «оличестао элементов в Х» Множества Кг часто называют з-орбите и.
В каждом классе зквввз.тснтноеги 163 Х, выберем по овному представителю 1, к поставим ем!. в соог ветст вне цикл я, (1,. н(1,), ..., нэ ' (Ц) соогвстствуюшей длины Д,. Любой элемент, не принадлежащий Х„остается на месте прк действии степеней и,. Тогда подстановка ч есть пронзведе. нпе цннлов п =п1чэ...я г. (2.3) Залечалис 2.1. Еслн цикл и,= (Ц выест длину !. то он дед. ствует как тождественная подстановка. Такие плклы в занеся (23) можно ояускать, напрнмер: (! э з 4 э е т з~ — (!55) (33) (42) (2) — (!55) рб) (42) Докажем сдвнственность. Пусть я=а~аз...о, (2.4) есть разложенве, отличное от (2.3); а — символ, ае остаюшнбся ка месте прп дойстван подстановки и. Тогда для одного н тольао одного цнкла м, нз разложения (23) э,(1) чьг и для одного н только одного цпнла а, нз разложения (2.4) ш(!) Ф1.
Для каждого й О, 1, 2, ... имеем и",(!)=л"(г)=а",(1). Посколыгу цикл однозначно определяется действием подстановки ка счмвол 1, не остаюшнйся на месте, то н,=аь Аналогнчно доказываются совпадения в остальных циклов разложений (23) н (2.4). Цикл длины 2 называется транспознцнеб. Любой цикл можно заппсать в впде произведенпя транспатпцай, например: (1 2...!†1 Г) = ( 1 !) ( ! !†! )...
(1 3) ( 1 2) . Тогда нз теоремы 2.4 вытекает Следствае. Каждая подстановка в 5, является произведением транспозпппб. Прныер 2.5. В группе 5, (123) = ( 13) ( !2) = (23) (13) = = ( Рб)(24)(12)(14). Разложение в пронзведснке транспгнпцкй не является единственным.
Можно доказать, что если л=ю...та — разложение п в произведение транспознцпй, то число е,= ( — 1)", называемое четностью подстановки п, не зависит от способа разложения н ° - =е„э (2.5) для любых двух полстановок:г н и. Подстановка неп5, называется четной, если е,.=1, н нечетной, если в. = — 1. Все трамспознцнц — нечетные подстановки.. Множество четных подстановак степенн п образует подгруп-: пу А . которая называется знакопеременной. Действительно, согласно (2.5) «,,= 1, если е„ =е,= 1, н в э, посколькч г,= 1. Множество нечетных подстаковок ве образует группу, так как пролэведенне двух нскетных подстаноеок есть четная подстановка. 110 Действительно, если 6= <у> — беснонечная группа, то ще. степени й различны и 6 иэонорфна алдитивной группе целых чисел <Х, +, 0>. поскольну бнекиия а(й ) =ш удовлетворяет словпю (2б).
Пусть теперь 6 в конечная группа порядка у огда онз изоиорфна группе навесов вычепгв по модулю а (сц пример 2.2, н. 0). Бисяцпя ф переводит элеыепт у в класс Си и=-О. 1, ..., у — 1. Полагая ж+л=(а+г, 0<с<у. для любых ю и л инес» а(у + ) =а(у )-6,=6 +С.й ф(у-)+а(у.), Разумеется, группы одного порядка иогут не быть пзаиорф ными. Например, ыожно показать, что существуют ровно дее изоиорфпые группы четвертого парилка: цикличссиая группа чет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
