В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 27
Текст из файла (страница 27)
()дним из экономных способов опнсаннп скемы копирования является методика матричного кадированип. Пусть б !п~г! — патрика порядка м х с юеисатанн пч. Ьззнмаа а аан 1 символ + аесзпачасг слаженна на валуев 2. тсгда глена «аднра- аахая зздаюся сис»евай уравасннй Ьг агу+ежа+ ... +а д з 3 агпг, 1 !...„а, юм е натри най рсрае Ь аб, ае а а ... а — н таз, сстюгсгвукхаай переда асчоиу гааамсахю; Ь Ь ... Ь вЂ” асхгаг, агаегстаунмай хадарааааааву са аысаеаг С— аарамдаммаа нахрапа «ада. Порождающая матраца кода определена неоднозначно. Кол не должен приписывать различным словам-сообщениям одно н то же кодовое слово. Можно доказать, чта зтога ие произойдет.
если первые га столбцон матрицы 0 образуют единичную матрицу. Заметим, чта вместо 2 кодовых слав достаточно знать гп слов, являющикся строками иатрииы С. Пример 2.12. !. Порождающей матрицей (1, г)-кода с повторением явля. етое матрица б П...Ц. 'так как 1...1 !б, 0...0=00. 2. Порождающей матрвцсй (2. 3)-кода с проверкой ьатносгн :является матрица (О!1! !Е 3. Рассмотрим матрицу 6 порялка ЗХбг Сообшеиня а'=100, аз=О!О, а'=001 кодируются саотшт. стасике первой, второй и третьей строкама матрицы 6.
Полный список кодирования следуклцийг а'=000 000000; а'=100-ь100110; аз=010 0100! 1; аз=-110 110101; а'.—.001-ь001111; аз=101-ь.101001; а'=011 011!00; аз= 11!-г-П!010. 2.3.3. Групповые коды Двоичный (ш, л)-код называется зруллоеыл, сели аго кодо. аме слова образуиж гругцгу. Заметам, что мкожестил всех лвоачиых слов длины лг образует коммутативную гр>ппу с операпией покоорлвиатиого сложеипя по модулго 2, в которой вмпочиястгя соотиошеипе а-г +а=О.
Следовательно, множество слов-сообшеиий и длвиы ш есть коммутатиеиая группа. Пусть 6 — порождающая матрица кола порядка гггКл. Тогда мпожество кодовых слов Ь=аб есть группа, тзк как если Ь'=а'6, Ь'=а'6, то б'+Ь*=а'6-1-аа6=(а'(-ат)6, т. е. матричиыс кеды являются групповимш В'групповом коде наименьшее расстояние мсжау кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого кодового слова, что вилис из соотношения б(бг,бг)=ю(б'+бт).
Следов;пельио. код, рассмотренный в примере 2.П, п. 2, способен исправлять . однократную огиибку к обнаруживать двойиую, так иак навмевьший вес кодового слова рааса 3. Пусть залая групповой код с порождающей матрицей' 6 и кодирование происхолит по схеме Ь=аб. Прп передаче кодоаыс слова иогут исказиться, в результате чего будет приксто сообшеиве с=си..с,. где с=Ь+е а е =сг...а — вектор 1строка) ошибок.
Предложим схему декодирования, при которой вероятиосгь того, что Р(а6)тьа, будет миккмальиой. Обозиачии через С мпожество всех слов, которве могут быть врпилтм. Это есть множество всех двоичимх слов длким л. Оио образует кочмутативиуго группу. Миожество В всех кодовых слов есть подгруппа С. Рассмотрим множество смежных 1те Иксээ 1ШШЮ ОЫФЮ ОЭКВО ОЗ01 00 ОВЮ!О ОЮОО! жюю! Чюб июио жюио ГЮ1 10 !оиио изюю И0100 1001 И !6ЮИ 1ЮИ И 16ИИ ОИИ! ЫЮ111 ошои сш ин ООМЮ ООИИО оиюи !ИХИ! ОЭООИ ОИОИ Ошгы 61000! аиюсо оюио ОП!00 111100 Озмсв 01ЩОО 0!Вез 0!И!0 ОИ 101 ОИИО1 10100! 10!ЕЫ И 1001 ИЮОО ! !эио! !ПОИ !о!мю 10ИОО с е' И01 61 010161 ицюг Игпи 1 ЮПЯ ИОИО 1!01ОЭ ! 1ШЮО Ь! И 1ШО 6!В!0 ЮЮЮ И0010 ИЫ10 И10Ю ищи ИИГ1 е! — ли ы декодировать принятое слово + , где дер, следует отыснать сто в таблице и выбрать в качестве переданного кодовое слово Ьг; находяшееск в первой строке того же столбпа, что и с.
Например, если принято слово 1!00!1, то считается. что передано слова О!0011; если принято слово 100101, то перелано слово ПО10!. а если принято слово 1!0101, то счп. таегся, что оно и было передано. Покажем, что при таком способе декодирования! 1) пспраалягатсз все строки ошибон, ивляюнгиеся лядерамн; 2) «адовое слова. стонщее в данном столбце, является ближайшим кодовым словом ко всем словам этого столбца.
Действительно! 1. Если при передаче слова Ь произошла ошибка е, где с— лидер. то с=Ь+е н есть искомое представление слова с, и при лекодированив считается, что передано кодовое слово Ь, т. е. ошибка е нсправлиется. 2. Пусть.с — слово, стоящее в том же столбце, что и коловое слово Ь( Тогда с=Ьг+е, где е — лидер саатветииуюшего смежного класса.
Нмссм д(с, Ь*)=ю(е). Если Ь! — другое коаовсе слово, то с=Ьг+е' и, поскольку Ь' — ЬэшВ, е'=Ь' — Ь!+е аежнт в том же смежном классе. что и е. Следовательно. д(с, Ь ) =ш(е') ~ю(е). классов С по В, т. е. фактор-группу С/В. Лидером смежного класса навозе» слово, имеющее наименьший вес. Поскольку смежные классы либо не пересекаются, либо совпшшют, то любой злеиснт ссвС однозначно представляется в ваде суммы с=е+Ь лидера е и кодового слова Ь. Декодирование слава с состозт в выборе кодового слова Ь в «ачестзе яерелаииого н в последующем переходе к слову а, где Ь=В(а). Данный метод кодировапил удобно реализовать с вомощью таблицы.
первая строка которой представляет собой множество кодовых стон, т. е. смежный класс О+В, состоящий из элементов О. ЬЦ ...,Ь~ ', а остальные стропи соответствуют остэльныы смежным классам по В, причем первый столбеп этой табтнцы есть столбец лидеров. Для примера 2.!2 (см. п. 3) таблица декодирования выглядит таким образом: 1эт 2.3.4. Колы Кемпинга ею! 111 01100!1 10!О!01 М,, (си !! Мз, ~ ШМОН!111!Ы1 Зоо!!!102 И !1 !!ь а=~ опсаыеопшнг Е !Оюрпооышш 4.
Запишсч систему ураниеннй ЬЫт=О. !2.7! Например, арп г=3 зта система имеет вид В, + 6, + Ь. + В, = О; Ьг+Ьг+Ьс+Ьг =0; (2.8) Ь,+Ьз+Ьз+Ь,=О. Заметим, что по построению натрвцм М в каждое из уравнений системы (2.7) входит одни и голыш олив символ Ье, индекс ксторого есть степень двойкн. б. Про «одвровапин сообщение значения контрольвьы снм. возов Ьзо Ьз ., Ьз, получил! из системы (27). Схема декодировании. Пусть прннета слово с=Ь+е, где 6 — кодовое сзсво, е— ани!бка. Тогда ЬМг=О, и, слсдоиательно, (Ь+е)Мг=ЬМ + 4.еМг еМг, Если еМг=О, то считается, что ошибки не было.
Зто действительно так прп с=О. Еелн произошла оишбка ровно в одной позиции, т. е. вектор огиибок е имеет только одну едпшшу в г-й позиции, то еЯОг 1Ы Опав!ем адин из классОв групповых кодов — коды лемминга, которые исправляют однократную ошибку, поскольку минимальный вес кодового слова равен 3. Зто (ег, л)-коды, где ги=2"— — ! — г, л=2' — 1 для любого г)2. Схема кодирования: !.
Сообщении — слова длним 2' — ! — г, где г)21 нодовые слова имеют длину 2' — 1. 2. Е кажлом кодовом слове Ь=Ьь..Вт. символы. Индексы котарыл нвмиотси степенью лвойки, т. е. Ьш. Ьр, . аз.- ьонтрольпыс, а осталтьиые — символы ссобшепив, рзс..сложен. иыс в тон лгс порядке. Например, при г=4 Ьь Ьз, Ьо Ьз — контрольные сиыволы, Ь, Вз.
Ьз. Ьг, Ьь Ьг„ЬИ. Ьа. Ьи,:"гы Вы— символы ссобшсии». 3. Рассмотрим матрицу М порилка г)((2' — !) такую. что в г-н столбце етой натрвпы стон! символы даоичао!о разг!Ожснии числа !. Тогда матрицы М нрн г=2, 3, 4 имеют соотвстст. вепна вид есть вектор, савпадаюшпй с 1-м столбцом матрицы М, авляюшнйся двоичным разложеннс» числа д В этом случае в переданном слове с=Ь+е надо изменнть самвел в 1-й позиции и вычеркнуть контрольные символы. Тогда патученнс» слово будет результатом декодирования. Если сшибка допущена более чем в одной позиции, денодировлние дает неверный результат.
Например, если строп» ошобок е будет «одавым станом, то (Ь+е)Мг=О, и, следовательно, з результате деколированяя слава не изменится. Пример 2ЛЗ. Найдем пораждаюшую матрицу лла (4,7)-кода Хеммйнга. Определим фундаментальиую систену решений системы уравнеинй (2.8): е 1 ПОООО, от= 1001100, аз=0101010, а,= ПО!001. Порожлаюшей будет матрица, составленная из этих векторов: ~мшссо ~ Юэ! 1НО О=~ амине ~ ношш Пример й14. Рассмотрим (47)-нод Хеммннга. Пусть с= =СОИ П1. Тогда с=Ь+е, где Ь =ОООН! 1 — колосов слово, е= =00!СОСΠ— строка он~вбок, н сМт=(Ь+е)М =-еМ =ОП.
Чнс ла 01! есть двоичное разложение числа 3. Следовательно, ошибка совершена а третьей позиции. Исправлял ее, понучаем иожжсс слово ОСОП11, декоднруя «оюрое, получаем слово а= =01!1. Зааачн и упражнение 1. Опрекелшь положение одиночной ошибки в искаженном слове 1!ОООН (4,7)-кода Хсмминга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
